2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用练习新人教A版必修第一册

4.5.3函数模型的应用

对点练

知识点一指数型函数模型

1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子•天下篇》中说：“一尺之梗，日取其半，万世

不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩

下的部分都是前一天的一半.如果把“一尺之趣”看成单位“1”，那么X天后剩下的部分y

与x的函数关系式为()

1、2,、

A.y=gx(x£N+)B.y=x(x£N+)

C.尸2"(x£N+)D.p=/(x£N+)

答案D

解析由题意可得，剩下的部分依次为〈，P(，…，因此X天后剩下的部分了与X的函

Z4o

数关系式为y=，(xWN+),故选D.

2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2016年全年投入研发奖

金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研

发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：1g1.12-0.05,1g1.3-0.11,lg

2-0.30)()

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

答案C

解析设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130X(l+12%)'=200,1.12'

2020lg20lg13

x=10gi.i2—logi.I20

132lg1.12lg1.12

lg2+lg10lg1.3+lg100.3+1-0.11-1

------------------------y--------------二---------=3.8.即3年后不到200万元，第

lg1.12

4年超过200万元，即2020年超过200万元.

3.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：。C)满足函数关系y=e**+〃(e

=2.718…为自然对数的底数，k,6为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在

22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时.

答案24

48,

解析由已知条件得e〃=192.又48=6.+〃=1926次=192(小乍，・■

192

1

21

~=5.设该食品在33℃的保鲜时间是2小时，则t=e3k+b=192e33A=192(e11A)3=192X1)

=24.

4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是几经

过一定时间［后的温度是T,则？一北=(4—北)•《J2,其中，表示环境温度，人称为半衰

期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要

20min,那么降温到35°C时，需要多少时间？

20

解由题意知40—24=(88—24)•自'，

20

故7—24=(88—24)•⑸.

将7=35代入上式，得

tt

35-24=(88-24)-Id，即团=而

两边取对数，用计算器求得t«25.

因此，约需要25min,可降温到35℃.

5.某地区为响应上级号召，在2015年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供

困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的

年平均增长率只能达到5%.

(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求了=『(工)的表达式，并求此函数的

定义域；

(2)作出函数尸/<x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到

300万平方米？

解(1)经过1年后，廉价住房面积为200+200X5%=200(l+5%)；

经过2年后为200(1+5%)?；

经过x年后，廉价住房面积为200(1+5%)*,

所以y=f(x)=200(l+5%)，(xGN*).

（2）作函数尸f（x）=200（l+5%）"（xeN）的图象，如图所示.

万平方米

3

200

250

100

150

00

50

0123456789”年

作直线y=300,与函数y=200（l+5%），的图象交于/点，则/（刘，300）,4点的横坐标

益的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为8〈刘〈9,则取刘=9,即经过9年后,

该地区的廉价住房能达到300万平方米.

知识点二对数型函数模型

6.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关

系y=alog3（x+2）,观测发现2014年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2020年

冬有越冬白鹤（）

A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只

答案C

解析当x=l时，y=alog33=a=3000,...y=30001og3（x+2）.当x=7时，y=30001og39

=6000,即2020年冬有越冬白鹤6000只.

7.某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x（万元）在8万元以下，没有奖金；②年

销售额x（万元），xe[8,64]时，奖金为y万元，且尸log,[3,6],且年销售额越大，

奖金越多；③年销售额x（万元）超过64万元，按年销售额的10%发奖金.

（1）求奖金y关于x的函数解析式；

（2）某营销人员争取年奖金昨[4,10]（万元），求年销售额x在什么范围内.

解（1）依题意知y=log，在xe[8,64]上为增函数，

[loga8=3,

由题意得，…「所以a=2,

〔log464=6,

~0,0Wx〈8,

「一，logzx,8Wx<64,

所以

1

x>64-

（2）易知x28.

当8WV64时，要使ye[4,10],

贝U4Wlog2；s<10,所以16WH024,所以16Wx（64.

当x〉64时，要使昨[4,10],则泵^[4,10],

即40Wx(100,

所以64<^<100.

综上，当年销售额x在［16,100］（万元）内时，年奖金ye［4,10］（万元）.

知识点三建立拟合函数模型解决实际问题

8.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.

时间1234

利润（千元）23.988.0115.99

现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（）

A.y=log2XB.尸2"C.y^xD.y—2x

答案B

解析把x=l,2,3,4代入，只有y=2'的值最接近表格中的对应值.

9.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积

雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.

年序最大积雪深度x（cm）灌溉面积y（公顷）

115.228.6

210.421.1

321.240.5

418.636.6

526.449.8

623.445.0

713.529.2

816.734.1

924.045.8

1019.136.9

（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

（3）根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公

顷？

解（1）描点、作图，如图甲所示：

50/

40...

30[..

20f-

0|1020

甲乙

（2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最

大积雪深度x满足一次函数模型y=a+bx（a,b为常数且6W0）.取其中的两组数据

(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入尸a+法,得[扁21.&li=a+10.4一6,用计算器可得.2,

gl.8.这样，得到一个函数模型：y=2.2+1.8x,作出函数图象如图乙，可以发现，这个函

数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.

⑶由⑵得到的函数模型为尸2.2+1.8右则由尸2.2+1.8X25,求得尸47.2,即

当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.

易错

易错点函数模型选择不当致误

某城市出租车起步价为10元，最远可租乘3km（含3km）,以后每1km增加1.6元（不

足1km按1km计费），则出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为

易错分析本题中，当乘坐里程x>3时，极易选择一次函数模型导致错选了D.

答案C

正解出租车起步价为10元（最远3km的行程），即在（0,3］内对应y值为10,以后每1

km增加1.6元，故选C.

课时

一、单项选择题

1.某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=Rog2（x+l）,设这种动物第一年

有200只，到第7年它们发展到（）

A.300只B.400只

C.500只D.600只

答案D

解析由已知第一年有200只，得〃=200.将0=200,x=7代入尸血og2（x+l）,得y

=600.

2.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率，那么经过x年（xGN*）,该产品

的产量y满足（）

A.尸a（l+5%x）B.y=a+5%

C.y=a（l+5%）iD.y=a（l+5%）*

答案D

解析经过1年，y=a（l+5%）,经过2y=a（l+5%）2,­••,经过x年，y=a（l+5%）\

3.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,大的数据，将其整理得到如图所示的图形,

下列函数中，最能近似刻画y与力之间关系的是（

23456789101112131415161718

A.y=2fB.y=2/

3

C.y—tD.y=log2t

答案D

解析由题图知可能是尸10g2力

4.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,

则x,y的函数关系是（）

A.y=(0.9576)B.尸(0.9576产

29576'

C.尸D.y=l-(0.0424)

100

答案A

解析设镭一年放射掉其质量的设，则有95.76%=1•（1—设）加，1—设=（0.9576）

5.已知函数t=-1441g（1一击）的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中大表示

达到打字水平M字/分）所需的学习时间（时），”表示每分钟打出的字数（字/分），则按此曲线

要达到90字/分的水平，所需的学习时间是（）

A.12小时B.90小时C.100小时D.144小时

答案D

（90、

解析当代90时，t=—1441g11—扁=144.

6.某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二月销售200台，第三个月销售

400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y（台）与投放市场的月数x

之间的关系的是（）

A.y=100xB.y=500/—50x+100

C.y=50X2'D.y=1001og2^+100

答案C

解析对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x=3或4时

误差也较大；对于C中的函数，当x=l,2,3时，误差为0,当x=4时，误差为10,误差很

小；对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300,与实际值790相差很远，故

选C.

7.某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的

年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第

二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么，将第〃年企业付给工人的工资总额

y(单位：万元)表示成〃的函数，其表达式为()

A.y=(3〃+5)X1.2"+2.4

B.y=8X1.2"+2.4〃

C.y=(377+8)XI.2n+2.4

D.y=(3z2+5)Xl.2^+2.4

答案A

解析第一年企业付给工人的工资总额为1X1.2X8+0.8X3=9.6+2.4=12(万元)，

而对于4个选项而言，当〃=1时，C,D相对应的函数值均不为12,故可排除C,D.再考虑

第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11X1.2?

+2.4)万元,故选A.

8.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a,经过C天

4

后体积，与天数t的关系式为：-a-e..已知新丸经过50天后，体积变为胪.若一个新丸

体积变为令a,则需经过的天数为()

A.125B.100C.75D.50

答案C

1

4，4、50QQ

解析依题意，萨丁•"叫.,一=匕.设经过G天后，新丸体积变为方a,则方a

13口口

=a,e—ktl,••而在=亍即575.

二、多项选择题

9.化学上常用pH值来表示溶液酸碱性的强弱，pH=—lg(c(H+)),其中c(H+)表示溶

液中H+的浓度，下列说法中正确的是()

A.pH随着溶液中H+浓度的增加而增大

B.纯净水的C(H+)=1X10Tmol/L,则纯净水的pH值为7

C.若一杯胡萝卜汁的c(H+)moi/L,则这杯胡萝卜汁的pH值为5

D.pH值为3的溶液的C(H+)=1X1C)Tmoi/L

答案BCD

解析VpH=-lg(c(H+))为减函数，；.pH随着溶液中酎浓度的增加而减小，故A错

误；当c(H+)=1X10一］mol/L时，pH=7,当c(H*)=1XICP'mol/L时，pH=5,故B,C正

确；当pH=3时，c(H+)=1X1()Tmol/L,故D正确.故选BCD.

10.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量

变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T,现测得某种放射性元素的剩余质

1

量A随时间t变化的6次数据如下:

公单位时间)

则下列结论正确的是()

A.这种元素的半衰期为4个单位时间

B.剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)=320-2,

C.t—12时，A(t)=45

D.t=16时，/(力=20

答案AD

解析从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，故A正确；由初始质量为4=320,

则经过时间t的剩余质量为40=4•0-=320•2*》0),故B错误；当t=12

时，/(。=40,故C错误；当2=16时，A(t)—20,故D正确.故选AD.

11.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间

乂月)的近似函数关系：尸a'(t20,a>0且aWl)的图象，则()

4"月

2

A.第3个月有害物质的剩留量是二

B-第4个月时,剩留量就会低于g

C.每月减少的有害物质质量都相等

D.当剩留量为上，（，（时，所经过的时间分别是3tz,t3,则tl+tz=tz

答案BD

解析由于函数的图象经过点（2,胃，故函数的关系式为尸仔）•当2=3时，

8[6]2]

=而，故A错误；当方=4时，y=—<-,故B正确；当力=1时，7=29减少于当Z=2时,

11

491解得

y=a，减少I故每月减少的有害物质质量不相等，故c错误；分别令尸5，4-8-

yyz

=10g力2=10g13=10g所以方1+力2=方3,故D正确.故选BD.

222428

333

12.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状

态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位,

1ppm表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳

浓度y（ppm）与排气时间公分钟）之间存在函数关系y=（""（c’/为常数）.贝U（）

A.c=128

1

C.排气16分钟后，一氧化碳浓度为8Ppm

D.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车

库中一氧化碳的含量达到正常状态

答案ACD

d2I=64,c=128,

解析由题意可得1解得《1

A正确，B错误；y=128义

加餐32,

1

-

41

,当力=16时，7=128><（目"=8,C正确；令128义解

2-

得t^32,即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态,D正确.故

选ACD.

三、填空题

13.在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据:

给出下列几个函数：

@y=a+bx-,®y=a+（§）y=ax+Z）；@y=a+A

其中可以近似表示这些数据满足的规律的是.

答案②

解析明显不是一次函数，排除①；③是二次函数，且对称轴为x=0,y值不关于x=0

对称，故排除③；④中函数的定义域为（-8,0）U（0,+8）,x/o,故排除④.

14.家用电器（如冰箱）使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧量0呈指数

函数型变化，满足关系0=^°m25t,其中《是臭氧的初始量，则年以后将会有一

半的臭氧消失.（参考数据：6处=看结果保留整数）

答案277

解析令3"，即e—a。吟-o.0025（fe—tj）=-0.6932,解得

Mi/乙乙

t2-t钓217,即277年后臭氧减少一半.

15.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中OdB是人能听到

的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB,则有/■（x）=101g

x

i等级为0dB的声音强度是________,90dB与60dB的声音强度之比是________.

1A1U

答案1（）T1000:1

解析当广（才）=0时，*=10-12；当_f（x）=90时，^=10-3；当广（才）=60时，x=l。-6,

10-3

y^6=103.所以等级为0dB的声音强度是10-12'90dB与60dB的声音强度之比是1000：1.

16.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有aL水，桶2中无水，力分钟后,

桶1中剩余水为KL,满足函数关系式K=ae-%假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样

多，则再过分钟，桶1中的水只有5L.

O

答案10