数学（理科）四川省成都市成华区某校2024届高三下学期三诊试题试题和答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()3．若角C的终边位于第二象限，且sinC=，则sin(+C)=()5．14C同位素测年法最早由美国学者WillardFrankLibby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后14C的含量Pn满足关系式nlg2=5730lg（其中动植物体内初始14C的含量为P)．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年---------A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间．现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有()A．6种B．18种C．24种8．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为()第A．-85B.85C.120D.-120>0)的左，右焦点，点M(x0，y0)(y0子0)是双曲线E上的点，点C是△MF1F2内切圆的圆心，若S‘CMF=S‘CMF+S‘CFF，则双曲线E的渐近线为()11．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的表面上，若经ACB=30。，则当三棱锥S-ABC的体积最大时，BS=()对数的底数，则()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若抛物线y2=-2px过点(-1,2)，则该抛物线的焦点为.14．曲线f(x)=excosx+x在点(0，f(0))处的切线方程为.15．在ΔABC中，cosA=-,AB=7,BC=8，则BC边上的高为.现沿折痕AC将ΔADC折起，直至满足条件DC」BC，此时cos经EGF=.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ΔABC中，A=,b=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B的大小；（2）ΔABC的面积.条件①：b2+ac=a2+c2；条18本小题满分12分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X的分布列；（2）若满足P(X>n)<0.6的n的最小值为n0，求n0；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较n=n0一1与0哪种方案更优.19本小题满分12分）（1）证明：EF」BD；4（2）若AC=2DF且ΔABC4值.20本小题满分12分）,求CF与平面ABD所成角的正弦（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为k1，1212,当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程.21本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx一ax+1，其中实数aER.（1）求证：函数f(x)在(1，f(1))处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1>2x2，求a的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式．现有一个标准的铅球场地如图，若一一场地边界曲线M分别由两段同心圆弧BC,AD和两条线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，（1）分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；（2）若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲（1）当a=2时，求不等式f(x)<4； （2）对任意mE(0,3),关于x的不等式f(x)< m+2总有解，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：CBDBBCDCAADB三、解答题又Be(0,π)，所以B=；所以ΔABC的面积为SΔABC=absinC=xxx=．………选择条件②：acosB=bsinA.（1）由正弦定理得=，所以asinB=bsinA；又acosB=bsinA，所以sinB=cosB，所以tanB=1又Be(0,π)，所以B=；……所以ΔABC的面积为SΔABC=absinC=xxx=．………181）设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则P(ξ=5)=P(ξ=7)=P(ξ=8)=0.2，P(ξ=6)=0.4，X的分布列为XP0.040.160.240.240.20.080.04（3）由（2）可知n=n01=12，在灯带安全使用寿命期内，当n=12时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当n=13时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，E(v)<E(u)，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，n=n0比n0一1的方案更优.………12分2H2，解得DH=2，所以CD2=CH2+DH2，所以DH」AC，又因为平面ACFD」平面ABC，平面ACFD（平面ABC=AC，DH一平面ACFD，所以DH」平面ABC，因为BC一平面ABC，所以DH」BC，又因为BH」BC，BHnDH=H，BH一平面BDH，DH一平面BDH，所以BC」平面BDH，.....3分因为DB一平面BDH，所以BC」DB，……………4分又因为BC//EF，所以EF」DB；……………5分（2）在RtΔBHC中，CH=2，BC=，=xACxBCxsin30。，解得AC=3，------由（1）知DH」平面ABC，则以H为原点，HC，HD的方向为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，一1，0)，B(,,0)，D(0,0,2)，C(0，2，0)，F(0,,2)，---3---1---3---1设CF与平面ABD所成角为θ,则sinθ=|cos<,>|=所以CF与平面ABD所成角的正弦值为49--- ---------222y2y22，所以椭圆C的标准方程为+（2）①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，22--②当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，-y0)，所以此时直线AB也过点M(,-)，……………10分因为点M(,-)在椭圆C的内部，所以当直线AB垂直于OM时，坐标原点O到直线A的距离最大，此时直线AB的方程为6x-3y-5=0. 211）证明：因为f(x)=lnx-ax+1，所以f,(x) x-a，所以f,(1)=1-a，又f(1)=1-a，所以切线方程为y-(l-a)=(1-a)(x-1)，即y=(1-a)x，（2）解：因为f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0,+伪)，所以f,(x)= -a= xx,ⅆⅆⅆⅆⅆ5分当a<0时，f,(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+伪)上单调递增，故f(x)不可能有两个零点，故舍去； 1当a>0肘，令f,(x)>0，解得0<x 1a令f,(x)<0，解得x> 1,a所以f(x)在(0,)上单调递增，在(，+伪)上单调递减，所以f(x)max=f()=ln，要使f(x)有两个零点，则f(x)max=f()=ln>0，解得0<a<l，……………7分又f()=ln-a.+1-<0所以当0<a<1时，f(x)在(，)和(，)上各有一个零点x2，x1且x1>x2，所以〈由f(x)单调性知，当xe(x2，x1)时，f(x)>0，当xe(x1，+伪)时f(x)<0，因为x22<x1，所以f(2x2)>0，即ln(2x2)a2x2+1>lnx2ax2e一221）由题以O为原点，AD的垂直平分线为极轴建立极坐标系，线段AB:θ=经AOD=(1<P<20)；弧:P=1(0<θ<,<θ<2π)；弧:P=20(0<θ<,<θ<2π)．……………6分（2）求警示区域最小