高中数学第二章平面向量2 2向量的线性运算2 2 1向量的加法教案苏教版必修4

2．2.1向量的加法eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))设计思想数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．教学内容分析本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．教学目标分析理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))1．情景设置从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？探索讨论：已知向量a和b，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，连结OB得到新向量eq\o(OB,\s\up6(→))；按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，得到新向量eq\o(OC,\s\up6(→)).当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，也就说明由“平行四边形”法则得到的eq\o(OC,\s\up6(→))(见图1(2))与由“三角形”法则得到的向量eq\o(OB,\s\up6(→))(见图1(1))是相等的．(1)(2)图12．向量加法定义我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a与b的和，记作a＋b，求两向量和的运算叫做向量的加法．3．验证向量加法满足交换律、结合律利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：a＋0＝0＋a＝a.a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.a＋b＝b＋a(加法交换律)(见图2(1))．(1)(2)图2(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法结合律)(见图2(2))．思考讨论：(1)eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＋eq\o(AnA1,\s\up6(→))＝？(多个向量相加法则)(2)|a＋b|与|a|±|b|的大小关系．(数形结合)4．例题选讲(以学生活动为主)例1如图3，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：图3(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)).解：(1)因为四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)因为eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))方向相同且长度相等，所以eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))是相等向量，故eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，长度为eq\o(BC,\s\up6(→))长度的2倍，因此，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))可用eq\o(AD,\s\up6(→))表示．所以eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(3)因为eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))是一对相反向量，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝0.例2在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？分析：如图4，渡船的实际速度eq\o(AC,\s\up6(→))、船速eq\o(AD,\s\up6(→))与水速eq\o(AB,\s\up6(→))应满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).图4解：如图4，设eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示渡船的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))表示渡船实际垂直过江的速度．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝25，所以∠CAD＝30°.答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.例3在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取两点E、F，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF也是平行四边形.分析：要证四边形AECF是平行四边形，只需证eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→)).图5∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，又四边形ABCD是平行四边形，BE＝DF，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→)).小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？5．练习与反馈(1)如图6，已知向量a、b，作出a＋b.(1)(2)图6(2)已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→))D.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))≠0(3)在△ABC中，求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0.(4)一质点从点A出发，先向北偏东30°方向运动了4cm，到达点B，再从点B向正西方向运动了3cm到达点C，又从点C向西南方向运动了4cm到达点D，试画出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))以及e