圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题

第第页圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题圆周运动(二)圆周运动中的动力学分析1.向心力的来源：向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避开再另外添加一个向心力.如图甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时.向心力由重力和弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水平路面上转弯那么是由静摩擦力提供向心力.2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.(2)分析物体的受力状况，找出全部的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.

例题1.有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如下图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.

解析：设座椅的质量为m,匀速转动时，座椅的运动半径为R=r+Lsinθ,受力分析如右图，由牛顿第二定律，有F合=mgtanθ,F合=mω2R三式得转盘角速度ω与夹角θ的关系gtanθω=.r+Lsinθ

答案：ω=

gtanθr+Lsinθ

题后反思(1)应首先确定圆心位置及半径，然后画出圆轨迹，为确定向心力打下基础.(2)匀速圆周运动的合力就是向心力.实际应用中，画出物体受力示意图后，一般按“正交分解”的方法，把各力沿半径方向以及垂直于半径方向(在圆轨迹所在平面内)分解，那么沿半v2径指向圆心方向有F向=F合=mR,垂直于半径(沿切线)有F合=0.

课堂探究小结:解决圆周运动问题的主要步骤

(1)审清题意，确定讨论对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环.(2)分析物体的运动状况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力状况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)依据牛顿运动定律及向心力公式列方程.

1.在光滑水平面上，一根原长为l的轻质弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端与质量为m的小球连接，如图17所示.当小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v1时，弹簧的长度为1.5l;当它以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v2时，弹簧的长度为2.0l.求v1与v2的比值.

解析；设弹簧的劲度系数为k,当小球以v1做匀速圆周运动时有：k(1.5l-l)=mv12/1.5L当小球以v2做匀速圆周运动时有：k(2.0l-l)=mv22/2.0L两式之比得：v1∶v2=√3∶2√2

2.“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做

圆周运动而不掉下来。如下图，已知桶壁的倾角为θ,车和人的总质量为m,做圆周运动的半径为r,假设使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，求1).人和车的速度；2).桶面对车的弹力.

解析：对人和车进行受力分析如下图，根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：mgtanθ=mv2/r,FNcosθ=mg,解得v=√grtanθ,FN=mg/cosθ。

3.质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平回旋，如下图，其做匀速圆周运动的半径为R,重力加速度为g,那么此时空气对飞机的作用力大小为析飞机在空中水平回旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力F向=mv2/R.飞机受力状况示意图如图所示，依据勾股定理得：F=m√(g2+v4/R2).

学科素养培育二.用极限法分析圆周运动的临界问题1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显说明题述的过程中存在着临界点.

2.假设题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，说明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态.

3.假设题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，说明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态.

【例1】如图7所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37,当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10m/s2,结果可用根式表示)求：(1)假设要小球离开锥面，那么小球的角速度ω0至少为多大？(2)假设细线与竖直方向的夹角为60,那么小球的角速度ω′为多大？FT

解析指导

(1)小球离开锥面：支持力为零

2FTsinm0r

mg考点定位圆周运动的临界问题

rlsinFTcosmg

g502rad/slcos2

(2)当细线与竖直方向成60角时

解题技巧找到临界状态

FTsin600m2rrlsin6000FTcos60mg

g25rad/s0lcos60

课堂探究【例2】(2022重庆8)如图5所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合.转台以肯定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60,重力加速度大小为g.图5FN60

mg

解析(1)对小物块受力分析FNcos60=mgFNsin60=mR′ω20

(1)假设ω=ω0,小物块受到的摩擦

力恰好为零，R′=Rsin60求ω0;(2)假设ω=(1k)ω0,且0k1,求小物块受到的摩擦力大小和方向.联立解得：ω0=2gR

课堂探究【例2】(2022重庆8)如图5所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合.转台以肯定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过图5fmg30

FN60

(2)由于0k1,当ω=(1

一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对+k)ω时，物块受摩擦力方0罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹向沿罐壁切线向下.由受力角θ为60,重力加速度大小为g.分析可知：FN′cos60=mg+fcos30(1)假设ω=ω0,小物块受到的摩擦力恰好为零，F′sin60+fsin30=NmR′ω2求ω0;R′=Rsin60(2)假设ω=(1k)ω0,且0k1,求小物块受3k2+k联立解得：f=mg2到的摩擦力大小和方向.

课堂探究【例2】(2022重庆8)如图5所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合.转台以肯定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过图5FN60

f

mg

当ω=(1-k)ω0时，物块受摩一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对擦力方向沿罐壁切线向上.由罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹受力分析和几何关系知角θ为60,重力加速度大小为g.

FN″cos60+f′sin60=mg-f′cos60=(1)假设ω=ω0,小物块受到的摩擦力恰好为零，FN″sin60mR′ω2求ω0;R′=Rsin60(2)假设ω=(1k)ω0,且0k1,求小物块受3k2-k所以f′=mg.2到的摩擦力大小和方向.

例题3

如下图，长度为L的细绳上端固定在天花板上

O点，下端拴着质量为m的小球.当把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角为θ=60,此时小球静止于光滑的水平面上.

(1)当球以角速度ω1=

gL做圆锥摆运动时，细绳的张力

FT为多大？水平面受到的压力FN是多大？(2)当球以角速度ω2=4gL做圆锥摆运动时，细绳的张力

FT′及水平面受到的压力FN′各是多大？

诱思启导(1)角速度越大，θ也越大.ω多大时对水平面无压力？(2)小球对水平面有压力及无压力时，它的受力状况各怎样？

【解析】

小球对水平面刚好无压力时，重力与绳的张力

FT的合力提供向心力.mgtan60=mω20Lsin60解得ω0=2gL

(1)因ω1ω0.小球受重力、支持力及绳的拉力.竖直方向：FN+FTcos60-mg=0水平方向：FTsin60=mω21Lsin601解得FT=mg,FN=mg2由牛顿第三定律可知，

绳子张力大小FT=mg,水平面受1的压力大小为mg2

(2)因ω2ω0,小球已离开水平面，设绳与竖直成α角.2F′Tsinα=mω2Lsinα

∴F′T=4mg,FN=0由牛顿第三定律可知F′T=FT=4mg,FN′=FN=0【答案】(1)FT=mg1FN=mg2

(2)FT′=4mg

FN′=0