专升本高等数学二(多元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学二（多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题1．函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在是它在该点处可微的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．无关条件正确答案：B解析：对于多元函数，可微必可偏导，而可偏导不一定可微，故可偏导是可微的必要条件．知识模块：多元函数积分学2．设函数f(x，y)=xy+(x一1)tan，则fy(1，0)=()A．0B．1C．2D．不存在正确答案：B解析：因f(1，y)=y，故fy(1，0)=f’(1，y)｜y=0=1．知识模块：多元函数积分学3．设二元函数z=x2y+xsiny，则=()A．2xy+sinyB．x2+xcosyC．2xy+xsinyD．x2y+siny正确答案：A解析：因为z=x2y+xsiny，所以=2xy+siny．知识模块：多元函数积分学4．设函数z=xy2+=()A．0B．1C．2D．一1正确答案：C解析：因z=xy2+，从而z｜(x，1)=x+ex，于是=1+e0=2．知识模块：多元函数积分学5．设z=ln(x3+y3)，则dz｜(1，1)=()A．dx+dyB．(dx+dy)C．(dx＋dy)D．2(dx+dy)正确答案：C解析：，还可由一阶全微分形式不变性得dz=(3x2dx＋3y2dy)，所以dz｜(1，1)=(dx＋dy)．知识模块：多元函数积分学6．设f(x，y)在点(a，b)处有偏导数，则=()A．0B．2fx(a，b)C．fx(a，b)D．fy(a，b)正确答案：B解析：=fx(a，b)＋fx(a，b)=2fx(a，b)．知识模块：多元函数积分学7．在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()A．只有1条B．只有2条C．至少有3条D．不存在正确答案：B解析：对应于t0处曲线切线的方向向量为τ=(1，一2t0，3t02)，该切线与平面x+2y+z=4平行τ与该平面的法向量n=(1，2，1)垂直t0=1或t0=，所以τ=(1，一2，3)或τ=，故只有两条，答案选B．知识模块：多元函数积分学8．函数z=x3+y3一6xy的驻点为()A．(0，0)和(1，1)B．(k，k)k∈RC．(0，0)和(2，2)D．无穷多个正确答案：C解析：=3x2－6y，=3y2－6x，解得x=2，y=2或x=0，y=0．知识模块：多元函数积分学9．二元函数z=x3一y3+3x2+3y2一9x的极小值点为()A．(1，0)B．(1，2)C．(一3，0)D．(一3，2)正确答案：A解析：因z=x3一y3+3x2+3y2一9x，于是得驻点(－3，0)，(－3，2)，(1，0)，(1，2)．对于点(一3，0)，A=一18+6=一12，B=0，C=6，B2一AC=72＞0，故此点不是极值点．对于点(－3，2)，A=一12，B=0，C=一12+6=一6，B2一AC=一72＜0，故此点为极大值点．对于点(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2一AC=一72＜0，故此点为极小值点．对于点(1，2)，A=12，B=0，C=一6，B2一AC=72＞0，故此点不是极值点．知识模块：多元函数积分学10．设z=x3一3x—y，则它在点(1，0)处()A．取得极大值B．取得极小值C．无极值D．无法判定正确答案：C解析：=一1≠0，显然点(1，0)不是驻点，故在此处无极值．知识模块：多元函数积分学填空题11．设f(x，y)=ln(y+)，则fy(1，1)=_________．正确答案：解析：f(x，y)=．令x=1，y=1，得fy(1，1)=．也可将x=1代入f中得f(1，y)=ln(y＋)，再求fy，然后令y=1就得所要求的结果．知识模块：多元函数积分学12．设f(x，y)=f(x，y)=_________．正确答案：解析：因为(1，0)是f(x，y)定义域内的点，所以f(x，y)在(1，0)连续，故．知识模块：多元函数积分学13．设函数z=3x+y2，则dz=________．正确答案：3dx+2ydy解析：因为z=3x+y2，所以=2y，则dz=3dx+2ydy．知识模块：多元函数积分学14．设z=f(x2+y2，)可微，则=________．正确答案：2yf1’－f2’解析：=f1’．2y+．知识模块：多元函数积分学15．设μ=x3+2y2+xy，x=sint，y=et，则=________．正确答案：5解析：=(3x2+y)．cost+(4y+x)et，当t=0时，x=0，y=1，故=1+4=5．知识模块：多元函数积分学16．设z==________．正确答案：解析：由z=．知识模块：多元函数积分学17．曲线x=2t2+7t，y=4t一2，z=5t2+4t在点(一5，一6，1)处的切线方程为_______．正确答案：解析：点(一5，一6，1)对应的t值为t=一1，则切线的方向向量为(x’(t)，y’(t)，z’(t))｜t=－1=(4t+7，4，10t+4)｜t=－1=(3，4，一6)，故切线方程为．知识模块：多元函数积分学18．函数z=xy(9一x—y)的极值点是_________．正确答案：(3，3)解析：=y(9一x－y)一xy，=x(9一x－y)一xy，对于点(0，0)，A=0，B=9，C=0，△=81＞0，不是极值点；对于点(9，0)，A=0，B=一9，C=一18，△=81＞0，不是极值点；对于点(0，9)，A=一18，B=一9，C=0，△=81＞0，不是极值点；对于点(3，3)，A=一6，B=一3，C=一6，△=一27＜0，A＜0，故为极大值点．知识模块：多元函数积分学解答题19．设f(x+y，)=x2一y2(x≠0)，求f(x，y)．正确答案：f(x+y，)=(x—y)(x+y)=(x+y)2．故f(x，y)=x2(y≠一1)．涉及知识点：多元函数积分学20．计算极限．正确答案：因为x→0，y→0时，(x+y)→0，≤1，所以=0．涉及知识点：多元函数积分学21．设z=．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学22．设z=，求dz．正确答案：所以dz=[(3x2+y2)dx+2xydy]．也可用一阶全微分的形式不变性解为涉及知识点：多元函数积分学23．z=f(x，ex，sinx)，求．正确答案：令μ=ex，ν=sinx，则z=f(x，μ，ν)，于是涉及知识点：多元函数积分学24．设z=x3f(xy，)，f具有连续的二阶偏导数，求．正确答案：=x4f1’+x2f2’，=x4(xf11’’+f12’’)+x2(xf21’’+f22’’)=x5f11’’+2x3f12’’+xf22’’，=4x3f1’+x4(yf11’’一f12’’)+2xf2’+x2(yf12’’一f22’’)=4x3f1’+2xf2’+x4yf11’一yf22’’．涉及知识点：多元函数积分学设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0．25．验证f’’(μ)+=0；正确答案：求二元复合函数z=的二阶偏导数中必然包含f’(μ)及f’’(μ)，将的表达式代入等式=0中，就能找出f’(μ)与f’’(μ)的关系式，由题意可知μ=，则涉及知识点：多元函数积分学26．若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式．正确答案：在方程f’’(μ)+=0中，令f’(μ)=g(μ)，则f’’(μ)=g’(μ)，方程变为g’(μ)+=0，这是可分离变量微分方程，解得g(μ)=，即f’(μ)=，由初始条件f’(1)=1C1=1，所以f’(μ)=，两边积分得f(μ)=lnμ+C2，由初始条件f(1)=0C2=0，所以f(μ)=lnμ．涉及知识点：多元函数积分学27．设x是x，y的函数，且xy=xf(z)+yφ(z)，xf’(z)+yφ’(z)≠0，证明：[x一φ(z)]=[y一f(z)]．正确答案：令F(x，y，z)=xy—xf(z)一yφ(z)，则Fx=y一f(z)，Fy=x一φ(z)，Fz=一xf’(z)一yφ’(z)，涉及知识点：多元函数积分学28．设z=+(x一1)ylnx，其中f是任意的二次可微函数，求证：x2=(x+1)y．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学29．求曲线，z=t2过点(，2，1)的切线方程及法平面方程·正确答案：x’(t)=，y’(t)=，z’(t)=2t．该点为t=1时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为s=(，一1，2、)．所求切线方程为：．法平面方程为：一(y一2)+2(z一1)=0，即2x一8y+16z一1=0．涉及知识点：多元函数积分学30．求空间曲线：x=∫0teμcosμdμ，y=2sint+cost，z=1+e3t在t=0处的切线方程和法平面方程．正确答案：当t=0时，x=0，y=1，z=2，x’=etcost，y’=2cost—sint，z’=3e3t，则x’(0)=1，y’(0)=2，z’(0)=3，于是，切线方程为：，法平面方程为：x+2(y一1)+3(z一2)=0，即x+2y+3z一8=0．涉及知识点：多元函数积分学31．求曲面z=+y2平行于平面2x+2y—z=0的切平面方程．正确答案：设切点为P(x0,y0,z0)，曲面z=+y2在P点的法向量为(x0，2y0，一1)，所给平面的法向量为(2，2，一1)，由题设条件有+y02，由此得切点坐标为x0=2，y0=1，z0=3．于是所求切平面方程为2(x一2)+2(y一1)一(z一3)=0，即2x+2y—z一3=0．涉及知识点：多元函数积分学32．求函数f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的极值．正确答案：=2e2x(x+y2+2y)+e2x=e2x(1+2x+2y2+4y)，=e2x(2y+2)=2e2x(y+1)，而=2e2x(1+2x+4y+2y2)+2e2x=e2x(4+4x+8y+4y2)，=4e2x(y+1)，所以点=2e．因此f(x，y)在点(，一1)处△=一4e2＜0，且A＞0，故f(x，y)在点(，一1)取得极小值，且极小值为e．涉及知识点：多元函数积分学33．某工厂生产某产品需两种原料A、B，且产品的产量z与所需A原料数x及B原料数y的关系式为：z=x2+8xy+7y2．已知A原料的单价为1万元／吨，B原料的单价为2万元／吨．现有100万元，如何购