2020-2021学年信阳市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年信阳市高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.命题“若(a—2)(6—3)=0,贝布=2或b=3”的否命题是()

A.若(a-2)(b—3)大0,贝ija大2或6丰3

B.若Q—2)(b—3)W0,则aW2且bW3

C.若(a—2)(Z?-3)=0,则a。2或力H3

D.若(a—2)(b—3)=0,则aW2且bW3

2.已知正方体4BCD-&BiCiDi中，空=：砧若荏=乂兀匕+y(荏+同)，贝心)

A.%==|B.%==1C.x=l,y=|D.久=l,y=；

ZZZJ4

3.已知％,y£R,且无>y>0,则()

.11c

A.x—y>---B.cosx—cosy<0

C.-A。D.Inx+lny>0

4.在等比数列｛a九｝中，已知的=1,a6=243,则的=()

A.9B.9或一9C.27D.27或一27

2

5.经过双曲线：上-y2=1的右焦点的直线与双曲线交于两点a,B,若48=4,则这样的直线有

417

几条()

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.在AdBC中，a=2,b=3,C=135°,则AABC的面积等于()

A.随B.3V2C.延D.3

22

7.等差数列｛斯｝的首项为1,公差d=2,则a1+a2++<25=()

A.45B.35C.25D.-15

8.方程(2-匕)/+(/；-1)*=1的图象表示曲线(；，有以下四个结论：

①当t=|时，曲线C是圆；

②当l<t<2时，曲线C是椭圆；

③当t>2时，曲线C是双曲线；

④当t=2时，曲线C是抛物线.

其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.下列结论正确的是（）

A.当笫:>蚓且发.,承1时，-—逆口

晦雷

B.当您:海峋时，病#二厂壁鬟；

C.当雷里翦时，常的最小值为2；

D.当御，*:察£罢时，富,-工无最大值；

需.

10.数列｛&J的通项公式为即=痴扁，则｛an｝的前8项之和为（）

AWB.总C.||D.g

11.在△48C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若△718C的三边a,6,c成等比数列，则cos2B+

cosB+cos（i4—C）的值为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

12.双曲线d-崎婷=：1的一个焦点坐标为1解四|，则双曲线的渐近线方程为（）

A.般=赴?雷B.般=世：需C./=整需D.需

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.条件p：2+1<0,条件q：|x+l|>2,则"是飞的条件（填充分不必要，必要不

充分，充要条件）

%+y-2<0

14.已知久，y,满足2%+y+lN0,贝!Jz=—2%+y+3的最小值是.

—2y—240

15.设蠲、禹分别为双曲线三-《=重例><副制顺的左、右焦点，点产在双曲线的右支上，且

|翻陶=；筑鬲|,焉到直线/用的距离等于双曲线的实轴长，该双曲线的渐近线方程为

16.如图，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4,AD1BC,4-

垂足为。，BE与4。相交于点F,明4尸的长为.

B

DO

三、解答题(本大题共7小题，共84.0分)

17.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a<6<c,y/3a—2bsinA.

(I)求8的大小；

(口)若a=2,6=«,求c的值.

18.数列｛即｝中，的=8,a4=2,且满足即+2—2an+i+厮=0,neN*.

(1)求数列｛时｝的通项；

(2)设Sn=+|a2|+—卜l«nl,求

19.如图，在四棱柱ABCD中，侧面ADD141和侧面CDDiG都是矩

形，BC//AD,△4BD是边长为2的正三角形，E,尸分别为4D,力道1的中

点.

(I)求证：DDi1平面48CD；

(II)求证：平面4BE1平面力D£»i&；

(HI)若CF〃平面&BE,求棱BC的长度.

20.如图已知椭圆C在久轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂

直，且右焦点坐标为(百,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线1与圆/+/=2相切，和椭圆交于2,8两点，。为原点，线段

OA,OB分另IJ和圆/+y2=2交于C,D两点，设AAOB,△COD的面

积分别为Si，S2,求金的取值范围.

21.定义在。上的函数/(久)，如果满足：对任意％CD,存在常数M20,都有，(x)|WM成立，则称

/(X)是。上的有界函数，其中M称为函数/(%)的一个上界.

x

已知函数/(久)=1+a(1)+G)x,g(x)=log2詈.

(I)若函数g(£)为奇函数，求实数a的值;

(11)在(1)的条件下，求函数或久)在区间停,3］上的所有上界构成的集合；

(HI)若函数/(%)在［0,+8)上是以7为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

22.请考生在第(一)、(二)、(三)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.(1)选修

4—1:几何证明选讲

已知AABC中，AB=AC,。是AABC外接圆劣弧上的点(不与点4,C重合)，延长8。至£

(1)求证：2。的延长线平分NCDE;

(2)若4847=30。，△48。中8。边上的高为2+、回，求448。外接圆的面积.

(2)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系久Oy中，以。为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲

穴

线C的极坐标方程为pcos(6-：)=1,M,N分别为。与万轴，y轴的交点.

(1)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

(2)设MN的中点为P,求直线0P的极坐标方程.

(3)选修4—5:不等式选讲

设函数f(x)=］x-1|+|x-a|.

(1)若a=-l,解不等式/(K)23;

(2)如果VxeR,/(%)>2,求a的取值范围.

23.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请

写清题号.

22.(本小题满分10分)

如图，A,B,C,D四点在同一圆上，RC与工。的延长线交于点5，点F在班的延长线上.

EC1ED1»DC....

(1)若一=-,—=一，求一的值;

EB3EA2AB

⑵若EF”=FAFB，证明：EFffCD-

23（本小题满分10分）已知白>0,6>0,a=2.

14

（1）求上+2的最小值；

ab

（2）求证：G+&xl

a+b

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：一般命题的否命题，就是将命题的条件与结论都否定，

所以命题“若(a-2)(b-3)=0,则a=2或b=3”的否命题是若(a-2)(b-3)40,则a丰2且6丰

3,

故选：B

直接按照否命题的定义，写出命题的否命题即可.

本题考查命题与否命题的关系，考查基本知识的应用.

2.答案：D

解析：

本题考查向量的线性运算及空间向量基本定理，属于基础题.

由图，根据向量的运算法则把向量而用三个向量再、AB.4的线性组合表示出来，由于此三个

向量是不共面的，由空间向量基本定理知，一个向量在一组基底上的分解是唯一的，由此得到系数X,

y的值，选出正确答案.

解：由题意，如图荏二村+市二初+1冗耳

又前=不图,而=超+而

1

•••~AE=AA^+-(AB+AD)

由已知荏=xAA^+y(AB+AD)

由空间向量基本定理知x=l,y=7.

故选：D.

3.答案:A

解析：解:A."x>y>0,.,•%—y—(］一?=(x-y)•曹>0,•••£一、>《一点因此正确;

A取％=47i+gy=2TT+p贝!Jcos%—cosy>0,因此不正确；

ii11

C.v%>y>0,->•*---->0,因此不正确;

D取久=/y=—,则"x+/ny=-3<0,因此不正确.

故选：A.

利用不等式的基本性质、取特殊值法即可得出.

本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.答案：A

解析：

解：根据题意，等比数列｛即｝中，其公比为q,

已知名=1,46=243,则q5=£=243,解可得q=3,

则他—a1=9；

故选：A.

根据题意，由等比数列的通项公式可得q5=£=243,解可得q的值，又由a3=的/，计算即可得

答案.

本题考查等比数列的通项公式，关键是求出该数列的公比.

5.答案：C

解析：解：由题意，a=2,b=1.

若4B只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为空=1,

a

•••=4>1,.•.此时有两条直线符合条件；

若48与双曲线的两支都相交时，此时48的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4,距离无最

大值，

■-AB=4,.•.此时有1条直线符合条件；

综合可得，有3条直线符合条件；

故选C

根据题意，求得a、6的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①4B只与双曲线右支

相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得

答案.

本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情

况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算.

6.答案：C

解析：解：在4ABC中，a=2,b=3,C=135°,则44BC的面积S=-absinC=-x2x3x-=—.

2222

故选c.

直接利用三角形的面积公式，求解即可.

本题是基础题，考查三角形的面积的求法，考查计算能力.

7.答案：C

解析：解：由题意可得：+a2+a3+a4+a5=5a3=5x(1+2x2)=25.

故选：C.

利用等差数列的通项公式与性质即可得出.

本题考查了等差数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.答案：B

解析：解:方程(2—+1)*=1的图象表示曲线c,有以下四个结论：

①当"泄，即/+y2=2曲线C是圆；①正确；

②当且t短时，2-t>0,-1>0曲线C是椭圆；②错误；

③当t>2时，2-t<0,t-1>0曲线C是双曲线；③正确；

④当t=2时，2-t=0,t-1=1曲线Cy?=1是直线.④错误.

故有2个正确，

故选：B.

讨论参数3利用圆锥曲线的定义进行判断即可.

本题考查了曲线与方程，考查了圆锥曲线的定义，是中档题.

9.答案:B

解析：试题分析：基本不等式的应用要把握：一正二定三相等.力选项中0<x<l时lgx<0.所以4选

项不成立.C选项中当扃・普工取到最小值时x=1.所以不包含在京漫窜中.所以排除CD选项中客-工是

关于x递增的代数式，当x=2时取到最大值.所以排除。.8选项符合了一正二定三相等的条件.故选

考点：1.基本不等式的应用.2.对数知识，函数的单调性知识.

10.答案：C

解析：解：数列｛厮｝的通项公式为厮=1=久;一京)，

所以则｛。九｝的前8项之和为：++++…+]_3)

Z3243b46o1U

1111

=-X(14---------------)

212910J

29

=«•

故选：c.

化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可.

本题考查数列的通项公式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力.

11.答案：B

解析:解：•••在△4BC中,若a,b,c成等比数列，炉=ac,

利用正弦定理可得si/B=sinAsinC.

cos(4—C)+cosB+cos2B=cos(X—C)—cos(4+C)+cos2B

=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+(1—2sin2B')=1.

故选艮

运用等比数列的性质和正弦定理可得，sin2B=sinAsinC,利用三角形的内角和，两角和与差的三角

函数化简cos(4-C)+cosB+cos2B,然后利用二倍角公式化简即可.

本题考查三角函数和正弦定理及等比数列的知识，解题时要注意公式的合理选用，考查计算能力，

属于中档题.

12.答案：C

„0,/_,展'_7

解析:试题分析：因为双曲线/-野产=?,可化为丁一」,有因为其中一个焦点坐标为||居期

__4A

所以：H1=《、阂比二嬲=土所以双曲线的方程为/-K=，由双曲线渐进线公式般=可得

㈱44阈

/=■常.故选c,

考点：1.圆锥曲线的标准方程2圆锥曲线的性质3转化的思想.

13.答案：必要不充分

解析：解：解不等式二7+1<0，得：2<%<3,

p：2<%<3,~p：%Z3或久42,

解不等式|x+l|>2,得：久>1或久<-3,

q：X>1或X<—3,-q：—3<X<1,

「P是%的必要不充分条件，

故答案为：必要不充分.

分别求出关于p,q的不等式，求出满足"，飞的x的范围，结合充分必要条件的定义，从而得到

答案.

本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题.

14.答案：—1

解析：解：由z=-2x+y+3,得y=2x+z-3

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图象可知当直线y=2x+z—3过点力时，直线y=

3的在y轴的截距最小，此时z最小，

由k1二二2得42，。），

此时z=-2%+y+3=-1,

故答案为：-1.

作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

15.答案：承=北三富,

3

解析:试题分析:过,弱做,躅的垂线,垂足为E,在/EF/2中，因为&尸2=2C,EF2=2a,所以E&=2b。

所以p&=46,由双曲线的定义知：PFr-PF2=2a,即4b-2c=2a,平方得:

辎守书售多,用颖窘=谡,"又%产=/*所有泻,所有双曲线的渐近线方程为…铲。

考点：双曲线的定义；双曲线的简单性质。

点评：双曲线的渐近线方程为般=近也富；双曲线£-W=：i的渐近线方程为

:靖黯：踊：前~,Sr

16.答案:

解析：如图,

连接CE,AO,AB.mA,E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得/CEB=90°,乙CBE=30°,

^AOB=60°,故A40B为等边三角形，AD=&OD=BD=1,DF=^.,AFAD-DF=

17.答案：解：(I)由遍。=2加讥/,得=2sinBs讥A,

因为0<A<兀，所以sinA。0,

所以sinB=—,

2

因为0<B<兀，且a<b<c,

所以8=60°.

(II)因为8=60。，a=2,匕=夕，

所以，由余弦定理可得：b2=a2+c2—2accosB,即：7=4+c2—2x2xcx1,整理可得：c2—

2c—3=0,

所以解得：。=3或一1(舍去).

解析：(I)由75a=2bsinA,利用正弦定理得=2sinBsinAf从而可得sinB=与，结合0<BV

n,且a<b<c,可求B.

(n)利用余弦定理即可解得c的值.

本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的数形结合思想和计算能力，属于中档题.

18.答案：(1)由题思，出1+2—=。九+1—，

・•.数列是以8为首项，-2为公差的等差数列

・•・an=10—2n,nEN

(2)(2)van=10—2n,令c1n—0,得n=5.

当n>5时，an<0；当n=5时，an=0；当n<5时，an>0.

・♦•当71>5时，Sn=|%|+|gI+…+||=%+劭+…+。5—（。6+。7+…+^n）=75—（Tn-

75）=2T，-Tn，Tn=ar+a2-----Fan.

当九<5时，Sn=|fli|+\a2\H-----F\an\=ar+a2-\-----an=Tn.

』=[-叱吗？N

In2—9n+40n>6

解析：（1）首先判断数列｛%｝为等差数列，由的=8,a4=2求出公差，代入通项公式即得.

（2）首先判断哪几项为非负数,哪些是负数，从而得出当n>5时，Sn=同+|a2|+••­+\an\=^+

a2+…+。5—（。6+。7+…+求出结果；当n<5时,Sn—+\o-21+…+|on|=a1+a2+

…+即当，再利用等差数列的前71项和公式求出答案.

考查了等差数列的通项公式和前几项和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）问的关键是断哪几

项为非负数，哪些是负数，属于中档题.

19.答案：（I）证明：因为侧面和侧面CDDiQ都是矩形，

所以gl/W,S.DD11CD.

因为4。PtCD=D,

所以DDi_L平面ABCD.

（U）证明：因为AABD是正三角形，且E为4。中点，

所以BE14D.

因为。Di_1_平面ABC。，

而BEu平面力BCD,

所以BE1DD「

因为ADCl皿=D,

所以BE1平面

因为BEu平面&BE,

所以平面&BE_L平面

（HI）解：因为BC〃40,F为4也的中点，

所以BC〃2/.

所以B、C、F、&四点共面.

因为第7/平面&8E,

而平面BCF&n平面&BE=ArB,

所以C77/&A

所以四边形BCF&是平行四边形.

所以BC=F&=\AD=1.

解析：（1）证明。。114。，且DDilCD,即可证明：D£）i_L平面4BCD；

（II）证明BE_L平面4DD12.即可证明：平面4BE1平面40£»14；

（HI）证明四边形BCF4是平行四边形，求棱BC的长度.

本题考查线面垂直、面面垂直，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

20.答案：解：⑴设椭圆的标准方程为5=l（a〉6>0）.

如图所示，△&F4为等腰直角三角形，。尸为斜边的中线（高），…a/

分）弋岁力

且|。/|=c,M1/2I=2b,c=b=遮，a2=h2+c2=6...（3分）

故所求椭圆的标准方程为次+4=「..（4分）

（2）①当直线/斜率不存在时，其方程为久=±四，

由对称性，不妨设为刀=或，

此时4（鱼，企）,8（逐一期,（7（1,1）,。（1,一1）,故怖=|=2...（5分）

②若直线I斜率存在，设其方程为y=kx+小，由已知袅=/今血2=2（i+l）…伯分）

设3（%2，、2），将直线，与椭圆联立得（21+1）%2+4kmx+2m2—6=0…（7分）

由韦达定理/+“2=—建？=黑・・（8分）

结合|OC|=\OD\=&及比=3-泊,-yl=3-|xj,

可知：I；=泰;靠：:黑=l\°A\-\°B\=*好+比-&+犬-«分)

22

=1J(3+.*)(3+打分=|^9+|[(%!+x2)-2x1x2]+^(x1x2),

将韦达定理代入整理得包=i19+诬廿6而+36修；18+(田3(…分

22

S227(2fc+l)'J

结合恒2=2*2+1)知1=15+28心:％互设t=2卜2+12LU=；e(0,1],

2

则皂=45+7t2+J-8=11_88+16=人-8&2+8十+16=-l-8(u--)+18,

2

S22\t27t2t22q12，

当〃=泄，表达式取得最大值：|V2,11=1时，表达式取得最小值：2,

所以金e[2,|@,

综上金的取值范围为…(12分)

解析：(1)设椭圆的标准方程为《+5=l(a>6>0).利用已知条件求出a,b,即可求解椭圆的标准

方程.

(2)①当直线/斜率不存在时，就是求解,；②若直线/斜率存在，设其方程为y=+由已知

^===V2=>m2=2(1+/c2),设4(久】,乃)，8(久2，丫2)，将直线】与椭圆联立得(2A：2+l)x2+4kmx+

2m2-6=0,由韦达定理，结合三角形的面积，化简所求比值，利用换元法以及二次函数的性质求

解求值范围即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想

以及计算能力，是难题.

21.答案：解:(I)因为函数gQ)为奇函数,所以羊(―x)=—g(x),

即2。比一=/。次土彳恒成立，即—=乎解得a=±1，

--x-1dx-1-x-11-ax

而当Q=1时不合题意，故Q=—1.

（口）由（I）得:g（x）=log2—,g（%）定义域为（-8,-1）u（1,+8）,

而g(%)=log2詈=log2(l+看)，令九(%)=(1+占,

易知九(%)在区间(1,+8)上单调递减，

所以函数9(©=⑹2詈在区间停,3］上单调递减，

所以函数9(")=/。比詈在区间专3］上的值域为［1,3］，

所以|g(x)|<3,

故函数或久)在区间停,3］上的所有上界构成集合为［3,+8).

（皿）由题意知，IfQ）|W7在［0,+8）上恒成立.一W7,-8-尸

...一8.2、一<a<6-2x-（3工在［0,+8）上恒成立.

•••［-8•2、一©力max<«<［6-2--（jy］min,

设2，=t,q（t）=-8t—p（t）=6t—p

由久G[0,+8）得1>1,

（12-11）（8字2-1）（右一七）（61江2+1）

设1Wti<t2,q（L）-q（t2）=>°，P（ti）-P（t2）=<0,

所以q(t)在［1,+8)上递减，p(t)在［1,+8)上递增，q(t)在［1,+8)上的最大值为q(l)=-9P⑷在

［1,+8)上的最小值为p(l)=5,

所以实数a的取值范围为［-9,5］.

解析：(I)通过g(-x)=—g。),转化求解即可.

(U)h(x)=(1+三)，在区间(1,+8)上单调递减,推出|g(x)|W3,然后推出结果.

(m)|/(x)|<7在［0,+8)上恒成立.—7</(%)<7,-8-G尸<a(》x<6-(^)x,得到［—8-2X-

x

^)］max<a<［6-2^-设*=t,q(t)=-8t-i,p(t)=6t-p通过核对的单调性求解

函数的最小值与最大值，然后推出结果.

本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数的最值的求法，考查转

化思想以及计算能力，是中档题.

22.答案：(一)解：⑴证明：如图，设F为4。延长线上一点.

•••4B,C,。四点共圆，

乙CDF=/.ABC.

XAB=AC,AABC=AACB,

5.^ADB=Z.ACB.：.4ADB=/.CDF.

对顶角NEDF=NADB,故NEDF=NCDF,

即40的延长线平分aDE.5分

(2)设。为外接圆圆心，连接4。交BC于H,则2H1BC.

连接。C.由题意乙。4。=N0C4=15。，ZXCB=75°.

•­•LOCH=60°.

设圆半径为r,则r+走r=2+g，得r=2,外接圆面积为47r.i。分

2

(二)解：(1)由pcos(6-g)=1得

1J3

灰一cos6+2—sin&)=1-

22

从而C的直角坐标方程为

1g

—x+——V=1，

22

即x+=2.

e=o时，p=2,所以M（2,0）;

6=二时，（=空，所以N（述,3）.5分

2口332

（2）M点的直角坐标为（2,0）,

N点的直角坐标为（0,卫）,

3

所以P点的直角坐标为（1,走），则P点的极坐标为（过1,-）.

336

所以直线。P的极坐标方程为6=—,pe（-8,+8）.10分

P

（三）解：（1）当a=-l时，/（%）=|x-l|+|x+l|.

由/'（X）>3得

|x-1|+|x+1|23,

①xW—1时，不等式化为

1—x—1—%之3,即-2%Z3.

x<—1,3

不等式组V“、.的解集为（一8,一-J.

②当—1<%<1时，不等式化为

l-x+x+l>3,不可能成立.

-1<x<1,

不等式组〈“、.的解集为。.

③当x>l时，不等式化为

X—l+x+l>3,即2久