浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（含答案）

学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．2．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（）A． B． C． D．3．已知函数则等于（）A． B． C． D．4．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．5．在中，是边上的一点，且平分，若，，，，则（）A． B． C． D．6．在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（）A． B． C． D．8．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（）A．10 B．11 C．12 D．13二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（）A． B． C． D．10．如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点，下列说法正确的有（）A．多面体是三棱柱B．直线与互为异面直线C．平面与平面的交线平行于D．四棱锥和四棱锥的体积之比为11．定义一种向量运算“”：其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（）A．若，则B．若，则C．D．若，则非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。12．设为虚数单位，且，则______．13．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．14．已知函数，若实数满足，则的最大值是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）已知，，且满足（1）求实数的值；（2）设，求与的夹角的余弦值．16．（本小题15分）设函数．（1）若角满足，求的值；（2）求函数的值域．17．（本小题15分）如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．（1）求证：平面（2）若，求四棱锥的表面积．（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．18．（本小题17分）已知在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求；（2）若，求的面积；（3）求的最大值，并求其取得最大值时的值．19．（本小题17分）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．（1）若，求集合；（2）若，求的所有可能的值组成的集合；（3）若，求证：．2023学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BCCDCAAB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。题号91011答案ABCBCDBCD三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．12． 13． 14．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）（1），，，解法2，，，（2）设，，（此处公式代入正确得2分，消元1分，答案正确2分，只有一个答案扣1分）与的夹角的余弦值为另解：由题意可不妨令又与的夹角的余弦值为16．（本小题15分）解：（1）已知，则，则，所以当，，当，．（2），所以，所以，所以的值域为．17．（本小题15分）解：（1）取中点，连，，且，同时，且四边形是平行四边形，又平面平面平面（2），四棱锥的面积（3）由（1）知平面，平面平面，又，，18．（本小题17分）解：（1）方法一：，，又，，又在中，，，，，又在中，，方法二：，，，，．，又在中，，．（2），，即，解得或，当时，当时，（3），，．其中，，，在中，，当时，取到最大值，此时，．19．（本小题17分）解：（1）由，则，．（2）当，不妨记集合为，且让，则必有，和中剩下的满足，并且，下列有四种可能：一是，则；二是与与与三对数有两对相等，另一对不相等，则；三是与与与三对数有一对相等，其它两对不相等，则；四是与与与三对数全不相等，则；综上述，的所有可能的值组成的集合为（要求写明得到每个值的原因）．（3）当，不妨记集合为，且让，则必有，和中剩下的元素为，满足，所以有两种可能，当，；当，；ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让，则必有，所以；ⅱ）当，，不妨记，，，，，则，则必有，积中剩下的满足，则，下面先证明．假设，由，则，即，所以，令，由，则，所以，则，与事实不符，所以．下面再证明．由上述分析知：要使，积中剩下的满足，必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况：一是，则可推得，令其比值为，则，于是，由，则，则，显然无解，故此情况不能；二是，则可推得，令，显然，由，则，所以，而显然，故此情况不可能；三是，则可推得，令其比值为，则，由，又，则，这与矛盾，故