导数与微分(教案)

《微积分》教案

（上册）

章节名称：第三章导数与微分

主讲教师：岳斯玮

联系方式/p>

《微积分》（上册）教案

第三章导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切

线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复

合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。

了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，

以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解导数在经济中的应用

本章教学重点与难点

1.导数概念及其求导法则；

2.隐函数的导数；

3.复合函数求导；

4.微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§3.1导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.

2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.

3.了解导数与导函数的区别和联系.

4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.

教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

教学过程

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念

直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.这是由英国数

学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几何学过程中建立起来

的.

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念.

66

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1.瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为S=s(f),小为某一确定时刻，求质点在时刻的速度。

在中学里我们学过平均速度竺，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致

&

情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车

运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭

升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.

不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动

定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变

化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀设质点运

动的路程是时间的函数S”)，则质点在tQ到%+△/这段时间内的平均速度为

-sQo+Ar)-s"o)

v=---------------

Ar

可以看出它是质点在时刻小速度的一个近似值，山越小，平均速度V与时刻的瞬时速

度越接近.故当△/f()时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时

刻的瞬时速度，即物体在九时刻的瞬时速度为

].-..+△/)—S«o)

v=limv=lim-------------—

Ar->0加->0Z

思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？

因为自由落体运动的运动方程为：

按照上面的公式，可知自由落体运动在4时刻的瞬时速度为

5&+加)一S4)].犷。+加)2-理：1

<)=M-------工-----=蚣--------&-------=啊W。+/加)=g'。。

这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.

2.切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆

周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.

(1)切线的概念

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曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点M作割线MN,当点N沿曲线C趋

向点用时，如果割线绕点M转动而趋向极限位置直线〃城叫做曲线C在点M处的切

线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长|MN|趋于0,

设曲线C为函数y=/(x)的图形，GC，则%=/(/)，点

N(x。+Ax,%+与)为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

.0-与_/60+&)一""0)

idn<p--------------------------

AxAx

根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于MB寸，即AtfO,割线的斜率趋向于切线的

斜率。也就是说，如果Axf0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为女，即

/*「与1.f(x+/^x)-f(x)

k=tana=lim=lim------0----------------0(2)

&T0Ax'—0AX

3.边际成本

设某产品的成本C是产量X的函数C=C(x),试确定产量为/个单位时的边际成本。

用前两例类似的方法处理得：

—=C(Xo+»-C(x°)表示由产量为变到%+Ar时的平均成本，如果极限

ArAr

△CC(x0+Ax)-C(x0)

urn----=-------------------------\JJ

Ar->0AxAr

存在，则此极限就表示产量为X。个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题,

分属不同的学科，但问题都归结到求形如

11m――⑷

小->。X

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的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等

问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如(4)的极限问题.为了统一解决这

些问题，引进“导数”的概念.

二、导数的定义

1.导数的概念

定义设函数y=/(x)在点4的某邻域内有定义，当自变量x在点处取得增量©

(点/+Ar仍在该邻域内)时，函数相应地取得增量Ay=/(Xo+Ar)-/(Xo)，如果极

限

..Ay/(x+Ax)-/(x)

lim—=rlim---0--------------0

Ar->0&-Ar

存在，则这个极限叫做函数/(x)在点/处的导数，记为

儿气"'。。),9『或呼

当函数/(X)在点X。处的导数存在时，就说函数/(X)在点X。处可导，否则就说/(X)在

点X。处不可导.特别地，当Avf0时—，包-00,为了方便起见，有时就说y=/(x)在

Av

点与处的导数为无穷大.

关于导数有几点说明：

(1)导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

/(%+〃)-/(尤o)

f'(x0)=lim

h

f50)=11m..........—

EoX-XQ

(2)包二/(X。+——"x。)反映是自变量x从4改变到x0+&v时，函数/(X)的

AxAx

平均变化速度，称为函数/(%)的平均变化率；而导数/(%)=lim包反映的是函数/(x)

-Ax

在点X。处的变化速度，称为函数/(X)在点X。处的变化率。

2.导函数的概念

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上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数y=/(x)在开区间I的每一点都可导，就称

函数y=/(x)在开区间/上可导，这时，VxeZ,都对应/(x)的一个确定的导数值，就构

成一个新的函数，这个函数叫做y=/(x)的导函数，记作：

yj(x),字或萼

axax

即，导函数的定义式为：

y=11m——或f(x)=11m—+〃)T(x)

Ar->0AraT。h

在这两个式子中，X可以取区间/的任意数，然而在极限过程中，X是常量，Ar或〃才

是变量；并且导数/(X。)恰是导函数/'(X)在点与处的函数值.

3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据

左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义极限lim/(/+以)-)(尤0)和11mf(Xo+Ax)-/(Xo)分别叫做函数

Ar->(rAYAX->O+AX

f(x)在点X。处的左导数和右导数，记为£(%)和£(4).

如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数/(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数r(x0)和右导数力(尤。)都存在并

且相等.

还应说明：如果/(x)在开区间(。,3上可导，且力(。)和£S)都存在，就说/(x)在

闭区间［a,村上可导.

三、按定义求导数举例

1.根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为：

①求增量：Ay=/(x+Ax)-/(x)

②算比值：毁/("――/⑴

AxAx

③求极限：y'=lim”

加“。AX

2.运用举例

70

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例1求y=C的导数（C为常数）.

解求增量Ay=C-C=0

作比值”=0

Ax

取极限lim包=0

所以(0=0

即常量的导数等于零.

例2求函数y=x"(xeN+)的导数.

解与=5+&)"一/+/々(Ax-+...+(.)",

△y„-i„.7.,.、“_1

—=7U+------x-Ax+---+(Ax),

Ax2!

'].Ayn-\

y=lim——=nx，

-->oAJC

即

(x")'=〃x"T

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(X")'="T.(〃eR)

例如：(五)=二~尸，(％T)=—一T

例3求/(x)=sinx的导数.

解(sin解=lim8+止/⑶=丽sg+6sinx

20h°h

s力

in2-

〃

一=cosx

九To2

即

(sinx)=cosx.

用类似方法，可求得

(cosx)=-sinx.

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例4求>=108“双。〉0,4/1)的导数.

妙loga(x+/z)-log(,xlog„(l+-)

解y=hm—--------出一=hm.......-

ioh10h

log〃(l+")11h土

=lini-------=log(1+-)h

,/_>

/TOnxx°x

x

11

=Tog〃e

X

所以

1

(log/)=-log,"

x

特别地，当。二e时，有

(lnx)=—

x

例5教材例3.4

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数y=/(x)在点/处的导数/'(x0)

在几何上表示曲线y=/(x)在点M(/，/(x。))处的切线的斜率。因此，曲线y=/(x)在

点M(x0,/(x0))处的切线方程为

y-y0=f'(x0Xx-x0).

思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点M处切线的斜率求点M处的法

线方程？

根据法线的定义：过点M(%,/(乙))且垂直于曲线y=/(x)在该点处的切线的直线

叫做曲线y=/(x)在点M(x0,f(x0))处的法线.如果/(x0)丰0,根据解析几何的知识可

知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为:

1,、

y-y=--,.-(x-x).

0/(%)0

例6求双曲线y在点(L,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

x2

程.

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解根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

k=yy=(-),1=41=-4

2X2X2

所以切线的方程为

y-2=-4(x-g),

即4x+y-4=0.

法线的方程为

c1/1、

即2x—8y+15=O.

五、可导与连续的关系

定理函数在某点处可导，则一定在该点连续.

证明：因为如果函数y=/(x)在点x处可导，即

呵半=/也)

A—oAx,

从而有

，=/'(Xo)+c

其中，cif—>0(Ax—>0),于是

z

Ay=/(A0)Ar+6tAr

因而，当Axf0时，有Ay—0。这说明函数/(幻在点工处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例7讨论函数/(x)=W在尤=0处是否可导。

解因力(0)=lim、(0tA^)/(°)=所生=1,

A->O+AxA->O+Ar

「，小、„/(O+Ax)-/(O)-Ax,

j_(U)=1l；im-------------=nI：mm----=-1,

■A->0-AxA-*0-Ax

即/(x)在点x=0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而/(x)=W在X=()处不可导。

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注意：通过例7可知，函数/(x)=W在原点(0,0)处虽然连续，但该点却不可导，所

以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.

课堂小结

1.导数的表达式：lim丝=lim"马十»一”当)

AXAr&->0Ax

2.基本初等函数的导数：

(C)'=0(xz,)=nx"~'(sinx)=cos%(cos%)=-sin%

1x

(logux)'=-logae(Inx)'=-(a)'=a]na(")'=/

xx

3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。

4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

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§3.2求导法则与导数的基本公式

教学目标与要求

1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则

2.理解反函数的导数并能应用；

3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；

4.掌握隐函数的求导方法；

5.掌握并能运用对数求导法；

6.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。

教学重点与难度

1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；

2.会求反函数的导数；

3.会求复合函数的导数

4.会求隐函数的导数以及能运用对数求导法。

教学过程

前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都

用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几

个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能

比较方便地求出常见的函数一一初等函数的导数。

一、函数的和、差、积、商求导法则

1.函数的和、差求导法则

定理1函数“(X)与u(x)在点x处可导，则函数y=a(x)±v(x)在点x处也可导，且

y=fw(x)±v(x)]=w(x)±v(x)o

证(“+1，y=lim+―)+v(x+人)]T〃(x)+v(x)]

Ar—>0Ax

[〃(x+Ax)-〃(x)]+[v(x+Ar)-i，(x)]

Ar->0Av

〃(x+Ax)—〃(x)v(x+Ax)—v(x)

=lim----------------------Flim----------------------

AtTOAvAr—>0Av

=/(X)+Y'(X).1

同理可证：[u(x)-v(x)]=w(x)-v(x)

即证。

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注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即

[w,(x)±u2(x)±±w„(x)]=u(X)±u(X)±+u(X),

即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1教材例3.9

2.函数积的求导公式

定理2函数“(X)与u(x)在点x处可导，则函数y="(x)・u(x)在点x也可导，且

y=[w(x).v(x)]=w(x).v(x)+w(x).v(x)»

证AF=u(x+Ax)v(x+z\x)-n(x)v(x)

=[〃(x+Ax)v(x+Ax)-z/(x)v(x+Ax)]

+[«(A-)v(x+Ax)-“(x)v(x)]

=An-v(x+Ar)+〃(x)•Av,

因为v(x)可导，必连续，故limv(x+Ax)=v(x),于是

.Ai,NiiAv

lim=lim-----limv(x+Ar)+〃(x)•lim——

AxTOArAr->0ArAv->0Ar^

注意：1)特别地，当4=c(C为常数)时，

y-[cv(x)]=cv(x),

即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：

y=[au{x)±hv{x)]=au(%)±hv(x)o

2)函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即

〃“+〃必〃“++〃|〃2Un°

例2求下列函数的导数。

323

1)y=3x+2x-5x+4sinx；2)y=3x+41nx-5cosxo

解1)

y9=(3x3)r+(2x2/—(5.v)f+(4sinx)f

=9x2+4x-5+4cosx.

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2)y=4xd----l-5sinx

x

例3求下列函数的导数(教材例3.10)。

1)y=d+44・sinx；2)y=x3.lnx»cosx

解D

y=(x3+4Vx»sinx)=(x3)+4[(>/x)sinx+Vx(sinx)]

=3x2+4(^=»sinx+>/x«cosx)=3x2+2拳'+4>/x•cosx

2y/xy/x

2)

y=(x3«lnx.cosx)=(x3)*lnx#cosx+x3*(lnx).cosx+x3»ln^(cosx)

=3x-lnx*cosx+*cosx-x3Anx.sinx

x

=x2(3Inx.cosx+cosx-x»lnx.sinx)

3.函数商的求导法则

定理3函数”(x)与贝x)在点x处可导，且u(x)/0,则函数y="立在点x处也可

v(x)

导,且

M(x)._U(x)»v(x)-«(x)»v(x)

y=[

V(x)v2(x)

z/(x+Ar)u(x)u(x+Ax)v(x)-«(x)v(x+Ax)

证Ay=

r(x+Ax)v(x)v(x+Ax)v(x)

[«(x+Ax)v(x)-n(x)r(x)]-[«(x)v(x+Ax)-“(x)v(x)]

y(x+Ax)”x)

v(x)A/z-z/(x)Av

v(x+Ax)-v(x)，

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《微积分》（上册）教案

所以,、AH,、Ai'

Ail，=A-x一"@)丁Av

Axv(x+Ax)v(x)

因为v(x)可导,必连续，故limv(x+Ax)=r(x),于是

ZLr^O

Av(x)-lim--n(x)-lim-

),，_jjm曳=、旬Ax从…Ar

-oAxv(x)-limi'(x+Ax)

Ar—M)

u'(x)v(x)-u(x)v'(x)

2

V(x)R

注意：特别地，当〃=C（c为常数）时,

c.CU(X)//、八、

y=[r--]=--7—(v(x)*o)

V(x)v-(x)

例4求.r=tanx的导数.

，，、，sinx,

解y=(tanx)=(------)，

cosx

_(sinx)'cosx-sin“(cost)'

cos2X

_cos2x+sin2x12

=-----------=---；—=sec-x,

cosxcos2x

即(tanx)r=sec2x

类似可得(cotx)'=—esc?x

例5求尸=§€©*的导数.(

解y'=(sec.v)'=(―i―)'

cosx

-(cosxVsinx

=--------=---一=secxtanx.

cosXcosX

即(secx)r=secxtanx

类似可得(esc*)'=—cscxcotx

思考：请各位同学总结一下三角函数的导数公式。

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《微积分》(上册)教案

总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为:

(sinx)'=cosx,

(cosx)'=-sinx,

(tanx)z=sec2x,

(cot=-esc2x,

(secx)'=secxtanx,

(escx)'=-escxcotx.

二、反函数的导数

想一想：在基本初等函数中，还有那么函数没有求导法则？

在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？

易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对

数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函

数的导数：

定理4设函数y=/(x)在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且

/(x)wO,则它的反函数x=/T(y)在相应区间内也处处可导，且

1

7w

或

1

[/(X)]'=

[f-'M]

证因为函数y=/(x)在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数尤=/T(y)在相

应区间内也是单调连续函数。

当y=/(x)的反函数x=(y)的自变量y取得改变量力(每。0)时，由x=/-'(>')

的单调性知Ax=/t(y+Ay)—/t(y)w0,于是

Ar_1

Ay—A>,

Ax

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《微积分》（上册）教案

又因为x=/T(y)连续，所以当Ayf0时，AxfO。由条件知/(X)HO,所以

[/-l(y)]=lim—=lim[=——!—=-4—

■ATAyA1OAy.包/(x)

Av6ToAx

故

.11

rr'(x)i=——或[/(X)]=—：ro

f(x)"%)]

即证。

例6求下列反三角函数的导数。

1)y=arcsinx；2)y=arccosx；

3)y=arctanx；4)y=arccot尤。

解…sin,在5-秀）内单调、可导,

且（sinj，）'=cosy>0,在Ix=（—1,1）内有

(arcsin*)'=--------=-----=/,==/

(sinj)cosyJl-shrj，Ji-f

(arcsinx)'=/.类似有(arccosx)'=——/,

y/l-x1Vl-x2

/,、，

(arctanx)------1---(arccotx)‘=--------：

1+x1+x

例7求函数｝；=优（。>0,。声1）的导数。

解由于了=优0€（-8,+00））为对数函数尤=108“义,€（0,+8））的反函数，根据反

函数的导数法则得

y=（相）=-------r=y»lna-axIna

（log.y）

所以，指数函数的导数公式为

（优）=axIna

特别地，当。=e时，有.

d

三、复合函数的求导法则

80

《微积分》(上册)教案

综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求

导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运

算外，还有复合函数形式，例如：y=sin2x。

思考：如果y=sin2x,是否有(sin2x)'=cos2x?

因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。

定理设函数"=°(x)在点x处有导数公=*(x),函数y=/(〃)在对应点"处有导

数”=/(〃)，则复合函数y=〃奴x)］在点x处也有导数，且

(/［。⑶］)'=八〃)•8(x)

简记为字=生押或y；=yu>ux。

axdudx

(证明略)

注意：(1)复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间

变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。

(2)复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设y=/(〃)，

u=g(v),v=(p(x),则

dydydudv•■■

一=一,——•一或”=J匕

dxdudvdx

(3)在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住

哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。

例8教材例3.15

例9教材例3.16

例10求幕函数'=/的导数。

解口明仁巫")」一**

X

=xu—-.

X

例11教材例3.17(抽象函数求导)

例12求下列函数的导数。

I)y=/d)；2)y=ef(x\

81

《微积分》(上册)教案

解1.加八与&=-*).

XXXX

2./=e/w-/，(x)=/V)e/(x).

四、隐函数的导数及对数求导法

1.隐函数的导数

(1)隐函数的概念

函数y=/(x)表示两个变量y与X之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的

方式表达。例如y=sinx,y=lnx+l等，用这种方式表达的函数称为y是x得显函数。而

有些函数自变量x与因变量y之间的对应规律是由一个包含x,y的方程F(x,y)=0来确定

的，例如/+｝；2=1,3；3+5>)—》5=0等，用这种方式表达的函数称为y为x的隐函数。

(2)隐函数的求导方法

1)可以化为显函数的隐函数：先化为显函数，再用前面所学的方法求导。

2)不易或不能化为显函数的隐函数：将方程两边同时对自变量x求导，对与只含x的

项，按通常的方法求导，对于含有)，以及y的函数的项求导时，则分别作为x的函数和x的

复合函数求导。这样求导后，就得到一个含有x,y,y的等式，从等式中解出y,即得隐

函数的导数。

(3)隐函数求导举例

例13(教材例3.18)由方程e，+孙—e=0确定y是x得函数，求y的导数。

解将方程中的y看成x的函数y=/(x),利用复合函数的求导法则，将方程两边同

时对x求导得

ey»y+y+x.y-0=0,

解出y'=-----(x+ey/0)。

x+ey

例14教材例3.19

2.对数求导法

(1)方法

对于某些类型的函数，可以采用先取对数，变成隐函数，利用隐函数的求导方法：对X

求导,解出y的方法求导。即所谓的对数求导法。

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《微积分》(上册)教案

(2)适用范围：

对数求导法对塞指函数y=与多个函数乘积的形式特别方便。它可以使积、

商导数的运算化为和、差的导数运算。

例15求函数y=x*(x>0)的导数。

解等式两边取对数得

上式两边对x求导得

—1v,=.Inx+1

尸

jJ=j(Inx+1)=x*(Inx+1).

或解(xX)'=(eM＜、)'(eXinx)'=e'M'・(xinx)'

=eJclDA(lnx+l)=xA(lnx+l).

例16教材例3.22

课堂小结

想一想：求导法则、基本初等函数的公式、反函数求导法则、复合函数的求导法则？

通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函

数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问

题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：

1.求导法则

(1)(M±V]=M±V(2)(MV)=UV+UV

(3)(cw)=cu(c为常数)⑷(―)=UV/<V(v0)

VV

(5)(£),=一之(c为常数)

VV

..1.

(6)[F(y)]=--(/U)*0)

fM

⑺=其中y=/(“),〃=e(x)

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《微积分》（上册）教案

2.基本初等函数的导数公式

(C)'=0,

(xa)'=axa-1,(后=去，

(aY)r=aYln«,(e")‘=e",

(log"X)'=—,(In<)，=•1,

xlnax

说明：x>0,(lnx)r;

x

x<0,[ln(—1)丫=工(_*)，=工，所以an|x|)'=’.

一XXX

(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx.

(tanx)'=se」x,(cotx)'=-csc?x,

(secx)'=secxtanx,(escx)r=-escxcotx,

r

(arcsinx)=/1,(arccosx/=——/

Jl—x"V1—x"

(arctanx)，=-------(arccotx)，=-------：

1+x1+x

84

《微积分》(上册)教案

§3.3高阶导数

教学目标与要求

1.高阶导数的定义以及求法；

2.熟记一些常见函数的高阶导数公式。

教学重点与难点

高阶导数的求法

教学过程

一、回顾一阶导数的相关概念

1.导数的定义

2.到函数的概念

二、高阶导数

1.高阶导数的定义

思考：什么是变速直线运动物体的加速度？

前面讲过，若质点的运动方程s=sQ),则物体的运动速度为v(z)=s'Q)，或v(r)=—,

dt

而加速度a«)是速度v(f)对时间/的变化率，即a(f)是速度vQ)对时间/的导数：

a=a(t)=—=。=&(包)或c=u'(f)=(s'Q))',由上可见，加速度a是s(f)的

dtdtdt

导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：

定义若函数y=/(x)的导函数/'(x)在x点可导，就称/'(X)在点x的导数为函数

y=/(x)在点x处的二阶导数，记为y"，r(x)或?=色(半)，即

ax~axax

/(x+Ax)-/'(x)

y=/(x)=lim

AXTO

此时，也称函数y=/(x)在点x处二阶可导。

关于高阶导数有以下几点说明：

1)若y=/(x)在区间/上的每一点都二次可导，则称/(%)在区间/上二次可导，并

称f\x),xe/为/(x)在/上的二阶导函数，简称二阶导数;

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《微积分》（上册）教案

2）仿上定义，由二阶导数/〃（x）可定义三阶导数/"（x）,即

/”(x+Ax)-7"(x)

/=/-(x)=lim

Ar->0\x

由三阶导数/M（x）可定义四阶导数/⑷（x）,一般地，可由〃-1阶导数-1）（幻定义〃阶

导数「"＞（幻；

3）二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为:

门或立『与"小），严⑴，簧或营

/⑻(%),严(%),黑

axdxn

4）开始所述的加速度就是s对f的二阶导数，依上记法，可记a=T•或a=s"Q）；

dr

5）未必任何函数所有高阶都存在；

6）由定义不难知道，对y=/（x）,其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二

阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，〃-1阶导数的导数为“阶

导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的

求导方法就可以了。

2.求高阶导数举例

例1y-ax'+hx+c,求)”,y”,y⑷。

解y'=2ax+b=y"—2a=>ym-0,>,(4)-0,

例2教材例3.23

例3y=e"求各阶导数。

解y=",黄=",y(4)=,显然易见，对任何〃，有y(〃)=e"

即(/严=e，。

例4y-sinx,求各阶导数。

解y=sinx,y