2020-2021学年南昌外国语学校九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年南昌外国语学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1,下列六个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）个

线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、圆、平行四边形.

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.从分别写有数字一4、—3、-2、-1、0、1、2、3、4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片,

所抽卡片上数字的绝对值小于3的概率是（）

A-%B3c-i

下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）

4.如图，用一个半径为30cm,面积为4507TC7H2的扇形铁皮，制作一个无

底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径丁为（）

A.5cm

B.10cm

C.15cm

D.5ricm

5.如图，D、E、F分另1J为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（)

A.LADE-^ABC

B.S^ABF=AFCB

C・S^ADE=

D.DF=EF

如图，在平面直角坐标系中，△04B的边04在无轴正半轴上，其中

乙。48=90。，4。=48,点C为斜边。8的中点，反比例函数y=

£（k>0,x>0）的图象过点C且交线段48于点。，连接CD,OD,若

S^OCD=|）则k的值为（）

A.3

D.1

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

7.若关于x的一元二次方程?n/+(m-l)x-10=0有一个根为2,则m的值是______

如图，点4、B、C在。。上，AC//OB,若NOBA=25。，贝！UBOC

9.如，直线2B交双曲线y=/于4B,交x轴于点C线段AC的中，过点B作BM轴于M,连结

OA.0M2MCSAOAC=12.则的为.

10.二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则/c=.

11.如图，货车卸货时支架侧面是RtaABC,其中乙4cB=90。，已知4B=2.5m,AC=2m,则BC

的长为m.

12.已知点4(4,0)和点B(0,a)两点，过4、B两点作直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为6,则点B

的坐标是.

三、解答题(本大题共11小题，共84.0分)

13.如图，在等腰梯形4BC0中,AD//BC,AD=3,BC=7,乙B=60°,

P为BC边上一点(不与B、C重合),过点P作乙4PE=NB,PE交CD于E.

(1)求4B的长；

(2)求证：AAPB-APEC；

(3)若CE=3,求BP的长.

14.在黄山市“汉字听写大赛”中，最终甲、乙两校参与决赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数

的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成

绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等。现根据甲、乙两校选手的成绩绘

制如下两幅统计图，请补全条形统计图并回答下列问题。

(甲学校学生成绩的条形统计图)(乙学校学生成绩的扇形统计图)

(1)甲校选手所得分数的中位数是,乙校选手所得分数的众数是;

(2)比赛后，市教育局决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取

两位选手参加省里的决赛,请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率。

15.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率；

(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少

于3480元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

16.如图，已知E为圆内两弦4B和CD的交点，直线E77/CB,交4。的延长

线于F,FG切圆于G.求证：EF=FG.

17.已知关于％的一兀二次方程/—4x+c=0有一个根是x=3,求c与另一个根.

18.如图，矩形中，AD=3,28=4,点P是对角线4C上一动点(不与4C重合)，连接BP,

作PE1P8,交射线DC于点E,以线段PE,PB为邻边作矩形8PEF.过点P作GH1CD,分别交4B、

CD于点G、H.

(1)求证：APGB-AEHP；

(2)求募的值;

(3)求矩形BPEF的面积的最小值.

19.如图，反比例函数y=>0)的图象与一次函数y=3x的图象相交于

点4其横坐标为2.

(1)求k的值；

（2）点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3.过点B作CB〃04交工轴于点C,求点C的坐标.

20.已知4B是。。的直径，C是。。上一点，连接4C,过点C作CD于点D.

（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交O。于点F,4F与CD的延长线交于点6（

如图①）.

求证：AC2=AG-AF.

（2）李明证明⑴的结论后，又作了以下探究：当点E为4D上任意一点（点4D除外）时，连接CE并延

长交O。于点F,连接4尸并延长与CD的延长线在圆外交于点G,CG与。。相交于点”（如图②）.连

接FH后，他惊奇地发现NGF”=N4FC.根据这一条件，可证6尸-64=6"-6。,请你帮李明给出

证明.

（3）当点E为4B的延长线上或反向延长线上任意一点（点4、B除外）时，如图③、④所示，还有许多

结论成立.请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等

或不相等的关系除外）（不要求证明）.

21.在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18久的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如

图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭.大棚内温度y（°C）随时间》（时）变化的函数图

象，其中BC段是函数y=§（k>0）图象的一部分.

(1)分别求出0<%<2和比>12时对应的y与x的函数关系式；

(2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于12久，则这天该种蘑菇适宜生长的小丫(℃)

t

时间是多长？\

18

22.如图，在平面直角坐标系％Oy中，一次函数y=七％+b与反比例10

212x（时）

函数y=合的图象交于点4(-3,2)和点8(1,zn),连接B。并延长与

反比例函数y=晟的图象交于点C.

(1)求一次函数y=krx+b和反比例函数y=占的表达式；

(2)是否在双曲线y=铁上存在一点D,使得以点2、B、D、C为顶点的四边形成为平行四边形？若存

在，请直接写出点。的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由.

23.如图，在RtzkABC中，AACB=90°,AB=10,AC=6,点。为Fz__XC

BC边上的一个动点，以CD为直径的。。交4。于点E,过点C作(/j\

CF//AB,交。。于点F,连接CE、EF.\

(1)当NCFE=45。时，求CD的长；BA

(2)求证：ABAC=^CEF；

(3)是否存在点D,使得ACFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试

说明理由.

参考答案及解析

L答案：B

解析：解：线段、正方形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，

故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.答案：C

解析：解：•写有数字—4、-3、—2、-1、0、1、2、3、4的九张一样的卡片中，数字的绝对值小于

3的有—2、—1、0、1、2,

・•・任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于3的概率是：

故选C.

由写有数字—4、-3、—2、—1、0、1、2、3、4的九张一样的卡片中，数字的绝对值小于3的有—2、

-1、0、1、2,直接利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

3.答案：D

解析：解：4、只包含图形的旋转，不符合题意；

B、只是轴对称图形，不符合题意；

C、只是轴对称图形，不符合题意；

D,既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称，符合题意.

故选：D.

根据图形的特点结合轴对称图形和中心对称图形的概念解答.

此题考查了旋转的概念以及轴对称图形的概念：直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两

个图形成轴对称.把一个图形绕某一点旋转一定角度后得到另一个图形，叫做旋转变换.

4.答案:C

解析：解：根据题意得之•2仃♦30=450兀，解得r=15,

即圆锥的底面半径r为15cm.

故选C.

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母

线长和扇形面积公式得到1-2b.30=45071,然后解方程即可.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长.

5.答案：D

解析：解：•.•£>、E、F分别为△ABC三边的中点，

1

/.DE//BC,DE=-BC,

.••△/DE〜△ABC,

i

S

^DE=-S^ABC^

S^ABF=SAAFC，

故选：D.

根据三角形的中位线定理，可得出DE〃BC,DE=^BC,再根据三角形的面积公式，AABF与

等底同高，从而得出答案.

本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理以及三角形的面积，是基础知识要熟练

掌握.

6.答案：C

解析：

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据SA。。。=SKOE+

S梯形ADCE-SXAOD=S梯形ADCE，得到关于血的方程是解题的关键.根据题意设血），则4（矶0）,

SSS梯形

D（m,^rn）f然后根据SMOO=LCOE+^ADCE~^AOD=SADCE，得到之（9+£）•（加一

如）=|,即可求得k的值.

解：根据题意设8（科血），则4（科0）,

•・•点C为斜边。8的中点，

••・呜今，

・•,反比例函数y=§（k>0,x>0）的图象过点C,

mmm2

•J7z——•——------

•・•Z.OAB=90°,

•••。的横坐标为m,

・•,反比例函数y=m(k>0,x>0)的图象过点D,

・•・。的纵坐标为广，

q

作CE1%轴于E,如图，

S^COD=S^COE+S梯形ADCE—SM0Q=S梯形ADCE，S^OCD=5，

“L3l,m,m、/1、3

・・・-{AD+CF)'AE=-,nnBP-(-+y)-(m--m)=-,

m2

・•.一=41,

8

•••k=—=2,

4

故选：c.

7.答案：2

解析：解：把x=2代入方程m/+(7n_])x-10=。得47n+2m—2—10=0,解得m—2.

故答案为2.

把久=2代入方程nix?+(7n_1)比-10=。得4m+2m—2—10=0,然后解关于m的方程即可.

本题考查了元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

8.答案：50

解析：解：AC//OB,

：./.A=乙OBA=25°,

•••乙BOC=2/4=50°.

故答案为：50°.

根据平行线的性质即可求得乙4的度数，根据圆周角定理即可求解.

本题主要考查了平行线的性质以及圆周角定理，正确根据圆周角定理把求圆心角的问题转化为圆周

角的问题是解题的关键.

9.答案:8

解析：解：过4作4N0C于,

•••b=8,

・•.MNMC,

•3,h=2,

2

8在=-_b,

X

・・・B为C中点，

-,-k=a--b=a=8,

2

则3（2名）,

•・•0M2MC,

S△OAC=2.

・•.N//BM,

故答案：8.

-1__

过ANJ.OCN,求出。N=N=C,2的坐标(a,b),得出(2a,5b),根据三角形AOC的面积求出b=把

坐标代即可出答案.

本考了一次函数反比函数的交点问题和三形的面的应用主要考查学的计算能力.

10.答案：1

解析：解：,.1y=(x-2/+k=x2—4x+4+k=x2—4x+(4+k),

又y=x2+bx+5,

:.%2—4x+(4+fc)=x2+fox+5,

b=-4,fc=1.

故答案是：L

可将y=(X-2)2+k的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b、k的值.

本题考查二次函数的三种形式，解题时，实际上是利用了两个多项式相等的条件：它们同类项的系

数对应相等.

11.答案：1.5

解析：解：如图所示：在RtAABC中,

BC=7AB2-AC2=12.52-22=1.5(m)-.1O〔OQ，

故答案为：1.5.

直接利用勾股定理进而得出BC的长.

此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键.

12.答案:(0,3)或(0,-3)

解析：解：由题意可得SMOB=；X4X0B=6,

OB=3,

・•・点B的坐标是(0,3)或(0,—3).

故答案为：(0,3)或(0,-3).

根据三角形的面积公式和已知条件求解0B的长，可得B的坐标.

此题考查了三角形的面积和一次函数的点的坐标，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个.

13.答案:解：(1)作4尸，BC,

・•.Z.BAF=30°,

AB=2BF=4.

(2)•••等腰梯形中，AD//BC,AB=CD,

Z.B=Z.C=60°,

•・•Z.APC=Z-B+Z.BAP,

^Z.APE+乙EPC=乙8+^BAP,

•••Z-APE=Z-B，

・•.Z.BAP=乙EPC,

:△APBfPEC；

(3)由(2)知:八APB〜APEC,

/.BP：EC=AB：PC,

设则PC=7-%,

vEC=3,AB=4,

x_4

"3-7-x，

解得：%】=3,x2=4,

经检验：勺=3,%2=4是原分式方程的解，

••.BP的长为：3或4.

解析：此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质.此题

难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用.

(1)根据等腰梯形性质可解题；

(2)由等腰梯形4BCD中,2D〃8C,aB=CD,可得4B=ZC=60°,又由Z2PE+乙EPC=ZB+Z.BAP,

△APE=NB,可证得NB4P=NEPC,根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得:△APBSAPEC；

(3)由根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.

14.答案：解：(1)90分，80分;

(2)

甲校学生1

甲校乙校乙校甲校乙校乙校

学生2学生1学生2学生1学生1学生2

乙校学生1乙校学生2

甲校甲校乙校甲校甲校乙校

学生1学生2学生2学生1学生2学生1

则F四位燃于来自同-学跳的微的=石

解析:

本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识.

(I)先设甲学校学生获得100分的人数为均根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出

方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；

(2)列出树状图后，求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率.

解：(1)先设甲学校学生获得100分的人数为X,

_60°

由题显得，x=(x+2+3+5)x———,

解得：x=2,即获得100分的人数有2人.

故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分.

故答案为90分，80分；

(2)见答案.

15.答案：解：(1)设该种商品每次降价的百分率为无％,

依题意得：400X(1-x%)2=324,

解得：x=10,或x=190(舍去).

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

(2)设第一次降价后售出该种商品加件，则第二次降价后售出该种商品(100-巾)件，

第一次降价后的单件利润为：400X(1-10%)-300=60(元/件)；

第二次降价后的单件利润为：324-300=24(元/件).

依题意得：60m+24x(100-m)=36m+2400>3480,

解得：m>30.

答：为使两次降价销售的总利润不少于3480元.第一次降价后至少要售出该种商品30件.

解析：(1)设该种商品每次降价的百分率为久％，根据“两次降价后的售价=原价X(1-降价百分比)的

平方”，即可得出关于久的一元二次方程，解方程即可得出结论；

(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100-爪)件，根据“总利润=

第一次降价后的单件利润x销售数量+第二次降价后的单件利润x销售数量”，即可得出关于血的一

元一次不等式，解不等式即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出

关于久的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式.本题属于基础题，难度不

大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键.

16.答案:解:连接EF,

EF//CB,

:•乙BCD=LFED,又乙BCD=KBAD,

•­•/.BCD=乙FED,又乙EFD=/.EFD,

•••AFEDs&FAE,

.竺_竺

"FA~EF,

：.EF2=FD-FA,

•••FG切圆于G,

•••GF2=FD-FA,

：.EF=FG.

解析：根据相似三角形的判定定理证明AFEDs△凡4E,根据相似三角形的性质定理得到EF?=F£）.

FA,根据切割线定理得到GF?=F。•凡4,等量代换证明结论.

本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握切割线定理、相似三角形的判定定理和

性质定理是解题的关键.

17.答案：解：当％=3时，原方程为32—4X3+C=0,

解得：c=3.

设方程的另一个根为打，

根据题意得：3+=4,

解得:x1=1.

••.C的值为3,方程的另一个根为1.

解析：本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，代入工的值求出c值是解题的关键.

将x=3代入原方程可求出c值，设方程的另一个根为打,根据两根之和等于-5即可求出打的值，此

题得解.

18.答案：（1）证明：•••NPGB=NE”P=NBPE=90。，

乙PBG+/.GPB=乙GPB+乙EPH=90°,

•••Z-PBG=4EPH（同角的余角相等），

PGB~AEHP；

解:(2)连接BE,

■:PE1PB,

・•.Z,BPE=90°,

•・•乙BCE=90°,

・•・乙BCE+乙BPE=180°,

・•.P,B,E,C四点共圆，

・•.Z.PBE=Z.PCE,

在Rt△BPE与Rt△C/M中，

乙BPE=LD=90°,乙PBE=Z.ACD,

・•・Rt△BPE~Rt△CDA,

.PE_PB

,,—,

ADDC

目nPEAD3

PBDC4

(3)方法一：设AP的长为％.

VBC=AD=3,AB=4,

・•・/?t△ABC中，由勾股定理可得：

AC=7AB2+BC2=V32+42=5,

…cAGAB4

cosZ.GAP=—=—=

APAC5

44

・•・AG=-AP=-x.

同理，sinNGAP=生=些=三，贝1]GP=2X.

APAC55

在RtZkPBG中，PB2=BG2+PG2

=(4—1x)2+(1%)2=X2—y%+16,

,,PE_AD_3

•PB-DC-4”

3

・•・PE=-PB,

4

3?

AS矩形BPEF=PB-PE=-PB

=_(X2__%+16)=_(X__)2+_

0<%<5,

X=£时，S有最小值鬓.

oo

方法二：设BP=x,x>0,由(2)得PE==]X,

矩形BPEF的面积为S=^x2,

由二次函数性质可知X>0时，S随着x的增大而增大，

当久，即取最小值时，矩形8PEF的面积S取得最小值，

由题可知P在对角线4C上移动，(不与4、C重合)，

.•.当BP1AC时，BP最短,(垂线段最短)，

此时RtAABC中，AB=4,BC=3,AC=5,

■■S^ABC=\AB-BC=\AC-BP,

nnABBC3X412

BP=-------=-----=——,

AC55

・•.矩形BPEF的面积S的最小值为:X倍)2=哭.

解析：本题考查了相似综合题，需要掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角

三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关

键.

(1)由NPGB=NE”P=NBPE=90。，利用同角的余角相等证得NPBG=NEP”,即可证得结论；

(2)证得P、B、E、C四点共圆，即可得NPBE=NPCE,即可证得△BPEsACD4,通过相似三角形

相似比即可得解；

⑶方法一：设4P=x,利用锐角三角函数定义表示出4G、GP、G8,进而利用勾股定理用工表示出PB?,

根据矩形面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质求最值，即可解决问题.

方法二：设PB=x,则矩形BPEF的面积为S=12,可知当BP14C时PB取得最小值，则5取得最

4

小值，利用等面积法求出此时的PB长，即可得解.

19.答案：解：(1),••点4在直线y=3x上，其横坐标为2.

•••y=3x2=6,

••・4(2,6),

把点4(2,6)代入、=三得6=*

解得：k=12.

-i7

(2)由(1)得：y=-,

•・•点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3,

•••丫=3=3,解得尤=4,

.­■8(4,3),

•••CB//OA,

二设直线BC的解析式为y=3x+b,

把点B(4,3)代入y=3x+b,得3x4+b=3,解得：b=-9,

••・直线BC的解析式为y=3x-9,

当y=0时，3久一9=0,解得：x=3,

•••C(3,0).

解析：(1)求出点A坐标即可解决问题；

(2)首先求出点B坐标，再求出直线BC的解析式即可解决问题；

本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

20.答案：(1)证明：延长CG交。。于H,

CD1AB,

•••4B平分C”，弧CA=弧4”,

/-ACH=AAFC,

又乙CAG=^FAC,

•'-AAGC—△ACF,

AG_AC

"AC-AB'

即4c2=AG-AF.

(2)证明：1AB,

.•・弧AC=弧4乩

•••Z-AFC=Z-ACG

又乙AFC=(GFH,

・•・Z.ACG=(GFH,

又4G=4G,

**•△GFH~〉GCAf

.GF_GH

•,=,

GCGA

：.GF-GA=GC-GH.

(3)答：CD2=AD-DB,AC2=AD-AB；EF-EC=EA-EB,AF-GA=AD-AB.

解析：(1)延长CG交。。于“，根据垂径定理求出乙4cH=N4FC,证△AGOAACF即可；

⑵根据垂径定理求出乙4CG=4GFH,证小GFHfGC4即可推出答案；

(3)ffiAXCD^AABC-LCDB,根据相似三角形的性质即可推出结论；证△ADGsA4FB即可.

本题主要考查对垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合

运用这些性质进行推理是解此题的关键.

21.答案：解：(1)设2D的解析式为：y=kx+b(0<x<2),

把4(2,18)和0(0,10)代入得：匕上《=I',

I。一XU

解得：K=

lb=10

0<x<2时，y=4%+10；

把8(12,18)代入函数y=>0)中得：fc=12X18=216,

%>120t,y=学；

(2)当4x+10=12,x=0.5,

当仝=12,x=18,

X

18-0.5=17.5,

答：这天该种蘑菇适宜生长的时间17.5小时.

解析：【试题解析】

(1)利用待定系数法可得两个函数关系式；

(2)观察图象可知：三段函数都有yN12的点，而且4B段是恒温阶段，y=18,所以计算4D和BC两

段当y=12时对应的x值，相减就是结论.

本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要

先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答.

22.答案：解：⑴将4(-3,2)代入反比例解析式得：k2=-6,

则反比例解析式为y=-*

将8(1,m)代入反比例解析式得：m=-6,即B(l,-6),

将4与B坐标代入丫=上6+6中，得：

解得：他=:

lb=-4

则一次函数解析式为y=~2x-4；

(2)存在，

・；B、C关于原点对称，6(1,-6),

•••C(-l,6),

•.•四边形4BDC是平行四边形，

CD//AB,

二设直线CD的解析式为y=-2x+