高斯白噪声平稳过程过线性系统

高斯白噪声平稳过程过线性系统高斯白噪声的性质:设n（t）为高斯白噪声1、自相关函数：可见，n(t)只在时才相关，它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的2、数学期望：E[n（t）]=03、对高斯随机过程，不相关和独立等价高斯白噪声第2页,共28页，2024年2月25日，星期天理想白噪声的功率谱密度和自相关函数高斯白噪声第3页,共28页，2024年2月25日，星期天4、重要的结论：白噪声的平均功率等于噪声的方差（噪声均值为零）噪声的方差是个非常有用的结果，在通信理论分析中，常常通过求其自相关函数或方差来计算噪声的功率。

高斯白噪声第4页,共28页，2024年2月25日，星期天5、若φ（t）为确定信号，令则X为高斯随机变量，且数学期望=0，方差6、若为确定信号，则X1和X2均为期望为0的高斯随机过程若则X1和X2不相关且独立。

高斯白噪声第5页,共28页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性系统设:X(t)为平稳随机过程,线性系统的单位冲激响应为h(t)，X(t)通过线性系统后的输出为Y（t）。下面,我们研究一下Y（t）的特性：X（t）Y（t）=X（t）*h（t）h（t）第6页,共28页，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(统计平均)

Y(t)的自相关函数

Y(t)的功率谱密度

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度

Y(t)的概率密度平稳随机过程通过线性系统第7页,共28页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性系统第8页,共28页，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(统计平均)

Y(t)的自相关函数

Y(t)的功率谱密度

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度

Y(t)的概率密度平稳随机过程通过线性系统第9页,共28页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性系统第10页,共28页，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(统计平均)

Y(t)的自相关函数

Y(t)的功率谱密度

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度

Y(t)的概率密度平稳随机过程通过线性系统第11页,共28页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性系统第12页,共28页，2024年2月25日，星期天由维纳-辛欣定理，对上式左右两端作付氏变换：经过系统(传输函数是H(ω))后,X(t)的幅度和相位发生变化,这里我们只考虑功率,所以不必关心相位,只看幅度即可.若一个信号经过系统后幅度被放大两倍,则其输出功率就是输入功率的四倍.平稳随机过程通过线性系统第13页,共28页，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(统计平均)

Y(t)的自相关函数

Y(t)的功率谱密度

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度

Y(t)的概率密度平稳随机过程通过线性系统第14页,共28页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程通过线性系统所以，X(t)和Y(t)的互相关函数为：X(t)和Y(t)的互功率谱密度为：第15页,共28页，2024年2月25日，星期天例：测量一个线性网络的单位冲激响应h（）将白噪声记为X（t），其功率谱密度为则平稳随机过程通过线性系统h（t）×Ｘ（ｔ）Ｙ（ｔ）第16页,共28页，2024年2月25日，星期天

Y(t)的均值(统计平均)

Y(t)的自相关函数

Y(t)的功率谱密度

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度

Y(t)的概率密度平稳随机过程通过线性系统第17页,共28页，2024年2月25日，星期天几个结论：１、若Ｘ（ｔ）是正态随机过程，则Ｙ（ｔ）也是正态随机过程。２、若Ｘ（ｔ）的带宽远大于系统带宽，则Ｙ（ｔ）的概率密度趋于正态分布。例如：白噪声通过一个带宽有限的带通系统，输出为正态分布的随机过程求误码率的问题：输入是有用信号（+-1V）叠加高斯白噪声，功率谱密度为N0/2，经过一个带宽为B的滤波器，求错判概率平稳随机过程通过线性系统第18页,共28页，2024年2月25日，星期天小结：

Y(t)的均值(统计平均)

Y(t)的自相关函数

Y(t)的功率谱密度

X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度

Y(t)的概率密度平稳随机过程通过线性系统第19页,共28页，2024年2月25日，星期天例题1双边功率谱密度为N0/2的白噪声经过传递函数为H（f）的滤波器后成为X（t）。若求X（t）的功率谱密度及功率平稳随机过程通过线性系统第20页,共28页，2024年2月25日，星期天解：X（t）的功率谱密度为X(t)的功率为：平稳随机过程通过线性系统第21页,共28页，2024年2月25日，星期天例题2已知平稳白高斯噪声的功率谱密度为N0/2,此噪声经过一个冲激响应为h(t)的线性系统成为x(t),若已知h(t)的能量为Eh,求x(t)的功率。解：设h(t)的付氏变换为H（f）则第22页,共28页，2024年2月25日，星期天

随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。窄带平稳随机过程第23页,共28页，2024年2月25日，星期天窄带过程的频谱和波形示意窄带平稳随机过程第24页,共28页，2024年2月25日，星期天1、窄带随机过程X(t)的功率谱密度:2、窄带随机过程X(t)的表示式：

窄带平稳随机过程第25页,共28页，2024年2月25日，星期天窄带平稳随机过程第26页,共28页，2024年2月25日，星期天窄带平稳随机过程第27页,共28页，2024年2月25日