“数形结合”基本内涵与教学实践

“数形结合思想”基本内涵与教学实践

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的

《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小

词“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少

数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数

统一体，永远联系，切莫分离！”

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分

析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量间的精确刻划与空间形式

的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题

思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

数形结合是一种数学思想方法，包含"以形助数〃和"以数辅形"两

个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观

性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于

数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形

作为目的。“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小

学数学教材的两条主线。

教师在教学中要有渗透数形结合思想的意识，引导学生主动有效

地利用课本中的图形，从图中读懂重要信息并整理信息，提出问题、

分析问题、解决问题，即让学生通过“形”找出“数”。在小学“数

与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习

领域中，都能应用数形结合思想进行教学，我们通过对教材的分析,

初步整理了小学数形结合思想方法在各教学领域的渗透点：（1）“数

与代数”：数的认识及计算，都能借助小棒图、计数图来理解算理、

法则和方法；（2）“空间与图形”：可以借助数的知识及数量关系进行

各平面图形的周长和面积的计算；（3）“实践与综合”：从所给问题的

情境中辨认出数与形的一种特定关系或结构，运用画线段图、画分析

图、画示意图等方法分析理解；（4）“统计与概率”：通过图形演示移

多补少来理解平均数的含义。

一、《基本概念》教学中“数形结合思想”实践运用

在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数

与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数

的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多

少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学

生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助

学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着

学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与

深入。

在教学《1〜5的认识》中，可以用学

生感兴趣的小动物来表示数量和序数的意义

（如图1）,通过把抽象的概念形象具体，让学

生以"形〃想"数”，理解数的概念。低年级的学

生一般不具备利用几何图形描述数学概念的

能力，在这个阶段学生更易于接受实物的直观。

案例中有趣的小动物，符合学生的年龄特征和

认知规律。当然，学生在不同阶段的学习所需要的支持是不同的。这

就要求教师应当根据学生的实际，采取适当的措施，达到因材施教。

1000以内数的认识在教学《千以内的数的认识》时，

一个一个地敦.10个一是我们利用几何形体直观地将计数单位及

MIIIII相互间的"十进制关系”呈现出来。孩子们

一十一十地数,10个十是

结合立方体点、线、面、体的变化，直观

地认识计数单位"一""十""百〃"千〃，理解

一百一百地数.10个一百是一千一它们之间的十进关系。学生很有兴趣，其

效果比抽象地讲计数单位要好很多，计数单位以这种形式在孩子们脑

海中建立了表象，为后面的数的大小比较、数的计算的学习打下了良

好的基础。

在二年级上册学习乘法与除法的意义时,

通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理

解掌握乘法与除法的意义，并抽象地运用于

（3）及山上Y次,才5少人？

整个数学学习中。

来法算灵：2X7-14读作；2象74于14

小2=14金/：/来2手/•14

把12个竹笋（sun）平均放在4个盘里，每盘放（3）个二

:可以用除法表示।12+4=3

总除号

读作：，2除以4等于3.

在三年级上册《分数的初步认识》中，通

过具体的形的操作与实践，让学生充分理解

“平均分”,几分之一，几分之几等数学概念，

掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数

杞这块月饼平均分成4块，每块

是它的（）分之一，写作自。

把一个国平均分成3份，每份是

它的（）分之（），写作;一；的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象

把一张长方形纸平均分成5份。

指出它的五分之一,并涂上崩色。的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生

像~2~、=、彳~、"5~这样的数.都是分数。

理解掌握分数的知识。

在四年级下册小数的意义的学习中，小数是一个十分抽象的概念,

它与分数相比更加抽象。我们同样是通过数与形的结合，帮助学生理

解掌握小数的意义、小数的大小、小数的性质。通过1米=10分米，

让学生理解1分米=0.1米，并类推出1厘米=0.01米，1毫米=0.001

米；通过数与形完美的结合一一数轴，让学生理解小数的组成、小数

大小的比较、小数与整数的关系等。

在学习自然数时，引导学生在数轴上表示数，通过学生观察发现

数轴上右边的数比左边的数大，左边的数比右边的数小，箭头表示数

轴可以向右无限延伸，可以把所有的算数表示出来。

五年级的认识公倍数与公因数就很好的体现了这一点。用长2,

宽3的长方形可以铺满边长是6的正方形，而不能铺满边长是8的正

方形。从图形拼摆中说明6是2和3的公倍数，而8不是它们的公倍

数。

总之，一句话，数形结合贯穿着整个数学领域，在帮助学生建立

初步的数学概念，培养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且

不可替代的作用。

二、运算教学中的“数形结合思想”实践运用

我们都知道，计算是在

数数的基础上进行的，如：

3+1=4,怎么想的？“三个红

气球，再拿来1个绿气球，

就是4个气球。”当我们把3+13+1=4读作：3加1多于4

4号

用实物摆出来时，问题就解

决了。于是9+1,就是“9根小棒，再拿来一根，就是10根小棒。”

所以，9+1=10,10根又得捆起来表示1个十。

接着就是20以内的进位加。9+2=?学生回答“11”,说说想法吧。

这是，孩子们开始带给我们惊喜了，因为牵扯到算法多样化了，如“9

根小棒，加1根是10根，再加1根，就是11根。”看还是把数字、

算式和实物结合，“因为9+1=10,我先把2分成1和1,那其中一根

和9凑成10,10再加1就是11。”凑十法又出来了，还是“数形”

结合。当然，低年级的孩子表达能力还有待提高，很多不用小棒也能

说，但显然，用小棒边摆边说的方法，讲的孩子清楚，听的孩子也明

白。再学8+5,7+6,5+6时，孩子们还是，拿出小棒，再摆，再想,

再说。而且，当我们老师在辅导孩子计算时，用小棒演示算理、算法，

也是最有效率的方法。

再说20以内的退位减，如13-8=?那我们再抛出问题后，孩子

们就的想了，1捆小棒零3根，要去掉8根。一种方法，先去掉零着

的3根，再破捆，再去掉5根，剩5根。还有一种办法，10-8=2,那

我们从成捆的里面拿走剩2根就是8根,剩的2根加零的3根就是5,

所以13-8=5o就这样，抽象的“破十法”，又通过摆小棒、拆小棒解

决了。看着实物，理解算理，掌握方法，不正是我们教学的目的吗？

再说多位数的加减法，在

号2—（1）班和二（2）班一共有多少名学生？

低年级教学时，我们还也是通

过摆小棒，让学生明白，根加

根，就是个位上的数字相加，

满十要进一，也就是满十根小

棒要捆一捆，而且要放到成捆

（.上面的鳖式.是从哪位加起的？

的里面去。捆加捆，就是十位.你是怎样算的？

上的数字相加。所以我们再用竖式计算时，相同数位要对齐，既是相

同计数单位对齐，也是实物中的根和根相加，捆和捆相加。我想在这

里用摆小棒的“数形”结合法，也能很容易得让学生明白算理，掌握

计算方法吧！

最后说表内乘、除

法。3X2=6,怎样教学

此题的算理，算法？相

信大家都知道我们引入把12个竹笋（sh）平均放在4个盘里，每盘放（3）个e

12+4=3

此题时，情景一般是这除号

12除以4茅于3

样的：3组，每组2个圆(或其他事物)，看图列算式，明确既可以

2+2+2=6,还能用乘法算式来表示3X2=6,或2X3=6。再如12+4=3,

表示什么意思，就是把12个笋平均分到4个盘子里，每个盘子分的

3个。当然还有另一种含义，我再次就不再赘述了。细想来，我们的

小朋友们，运用具体的“形象”去理解抽象的“数字、算式”是不是

渗透在我们教学的很多环节呢！

有余数的除法，教材通过用小棒摆正方

形的问题，让学生通过动手摆找到计算的方

法。并且通过图形让学生理解为什么余数不

能大于除数。

教学《两位数乘一位数的乘法》时，依

据主题图学生不仅能独立口算,而且算法多样o

(1)20x3=20+20+20=60

(2)2个十乘3得6个十，就是60

⑶因为2X3=6,所以20X3=60

在教学12X3的笔算时，根据上面

的主题图学生也能独立探究算法:先算

3个十是30,再算3个2得6,最后把它

们合并起来一共是36o然而，如何帮助学生把算理与算法结合起来，将

算理内化成算法,把思考的步骤与过程用竖式的形式呈现?用竖式计

算12X3的结果是一个抽象过程，离开直观的图形支撑,直接要求学生

独立建立竖式模型，对于低年级学生来说是有一定难度的。所以此时

教师仍然可以借助直观图形帮助学生经过从直观到抽象的过程。如,

根据计算的先后顺序分步展示课件：2X3计算的是图中的哪个部分?1

X3呢?，这样把图式结合起来,通过竖式与图形的对应关系，帮助学生

发现算理与算法之间的关系，让学生在明确算理的基础上掌握算法。

在高年级学习分数加减法，通过图形表示出

2

加数，让学生通过观察图形就可以很容易发现«

+|就是求2个号与1个号和起来是几个号的问题,

在学习异分母分数加减法的时候，同样可以结合

图形，让学生观察图形明确为什么不能直接进行

加减计算。

分数乘分数的算理是比较难理解的

一个内容。在引出算式4x1后，到底应

25

该怎样算呢，首先用一张纸表示1公顷的

求千公H的看.就是把子公展平均分成5份,取其中的1份。也侦是

把1公馍平均分成（2X5）份.”其中的1份,•瑞.

地，然后表示出;公顷，再根据题目的意

思把这;公顷的地又平均分成5份，其中

的1份就是要求的答案。这样结合图形,

学生理解起来就很简单，而且能很好的明白为什么分母相乘的积作分

母，分子相乘的积作分子。

有了这样的基础，学生在学习分数除法时，也可以采用数形结合

的方法，通过画图或者折纸帮助学生深刻理解了题意，使复杂的文字

简单明了，各种数量之间的关系一目了然;

而将这些关系式用抽象的数据表示出来，容

易看出算式间的巧妙变换，更有助于我们对

计算方法的概括与总结。真可谓“数缺形如果把这球的春平均分成3份.号份是这的几分之几7

时少直观，形少数时难入微”。

根据上限的折桀实事和算式.传也发现什么理律？

学生掌握了等式的基本性质之后接着就

解方程。

a….add要运用等式的基本性质解方程。为什么方程的

XA-9

两边要同时减去3,而不是减2或者减4?有

了实物图，可以让理解起来就更容易。

便方也左右两边”的未如故的AL7做方日的■.

便上・.*>6■■方的**米方&叫做・力■.

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三、《空间与图形》教学中“数形结合思想”实践运用

在空间与图形领域渗透数形结合思想，借助形的具体直观性和数

的精确性阐明形的某些属性.在认识图形的教学中有些图形太过于

简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边

长、角度等等，通过研究数据理解图形特征，也就是数形结合中“以

数解形”的应用。数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系,

发展空间观念，为今后的数学学习打下坚实的基础。

在长方形面积公式推导中，通过让学生用1平方厘米的小正方形

摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几

排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。

《三角形内角和》时.既用图形演示三个内角拼成一个平角.又

用量角器量出三个角的度数计算出三个内角的和为180o注重学生用

数来表示形.用数来具体量化形.从而解决形的问题。又比如《三角

形分类》教师：“刚才同学们根据角的特征将这些图形进行了分类,

那么你能不能根据边的特征将它们重新分类呢：”教师：“你打算怎

样去研究它们边的特征？”生1：“测量各边长度，然后观察比较”

生2：“我看到有些是一样长的，可以把两条边长度相等的分成一类,

都不相等的分成一类。”教师：“看起来相等，要验证的话怎么做？”

生3：“测量”生4：“测量会有误差，不如对折后看是否重合。”

教师：“如果两条边能重合说明了什么？”学生动手实验，将图形按

照边的特征分类。反思：我们常常说在教学过程中要对学生“授之与

渔”，就是要帮助学生整理清楚解决问题的思路，从而掌握解决问题

的方法。本来三角形边的特征是很抽象的，但是理解清楚就是根据边

长来分析，把形的问题转化成数的问题就很清晰了。但学生又想到了

测量是有误差的，那么可以利用操作，利用“形”的比较来验证，实

现了用“形”的优势弥补“数”的不足。

在学习用“数对”表示“位置”时，

将“座位”平面图抽象为比较形象的“直

角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”

之间的一一对应关系，是学生进一步理解

“数形结合”思想的又一载体。在此过程

（2＞在图上标出下面场馆的位置。

飞禽馆（1,1）8SW（0.3）押虎山（4.3）

中，学生初步体验到有了坐标系后，整个

平面就“结构化”了，可以用一对有顺序的“数”来唯一地确定平面

上的一个点，数与形再一次结合。有了对直角坐标系的初步认识，学

生在学习“正反比例关系”时，就可以把具有这种关系的两个量在“直

角坐标系”中表示出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图像，

借助于形象的图像，来深入理解抽象的函数关系。例如，直观感知两

个量的依存关系，当成正比例关系时，一个量增加另一个量也随着增

加。当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少，根据图像

可以直观地看出两个量变化的极限状态。

对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如:

周长相等的正方形、长方形和圆形哪个面积大，哪个面积小？凭直观

难以判断，而通过具体计算，或通过字母公式的推导可得知在周长相

等的情况下圆形的面积最大依次是圆形、正方形、长方形。

又如：用一根20厘米长的铁丝围一个长方形，可以围成怎样的

长方形？有多少种围法？什么情况下面积最大？（长、宽取整厘米数）

如何理解这道题目？（这里的20厘米就是将要围成的长方形的

周长，也就是说不管怎么围，周长都是20厘米，一条长和宽的和是

周长的一半。）学生可以在方格纸上将想法先画一画，在表中记下每

次探究的结果。

下图是其中一个学生的数据。

长（厘米）98765

宽（厘米）12345

面积（平方厘米）916212425

得出：周长一定时,长方形长与宽相差越小（大）,面积越大（小）;

围成的正方形面积最大。这样通过“数”的研究使得学生对周长和面

积及其之间的关系有了更加理性和深入的认识，开拓了思维的发展。

四、《统计与概率》教学中“数形结合思想”实践运用

在“统计与概率”学习中，充分体现了数形结合思想。譬如，

在第一学段（1-3年级）就出现了象形统计图、条形统计图及相应

的图表。在第二学段（4-6年级）则进一步引入了折线统计图、扇

形统计图及相应的图表。图表能够直观、形象地展示丰富的信息，有

助于“统计与概率”学习中形象思维的展开。

条形统计图、折线统计图、扇形统计图，这些都是概率与统计

领域里的重要知识。通过观察图形获得信息本身就一种数形结合。

条形统计图：条形统计图是用一

个单位长度表示一定的数量，根据数

量的多少画成长短不同的直条，然后

把这些直条按照一定的顺序排列起

来。它的作用能从条形统计图中很容

易看出各种数量的多少。拆线统计图：

折线统计图是用一个单位长度表示一

定的数量，根据数量的多少描出各点，

然后把各点用线段顺次连接起来。它的

作用是不但可以表示出数量的多少，而

且能够清楚地表示出数量增减变化的

情况。扇形统计图：扇形统计图是用整

检****地W*

个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分

2.平均数

数。它的作用可以很清楚地表示各部除*11■，■埃•个.人

分数量同总数之间的关系。

在学习平均数时，教材结合具体eaefififiOMfifififi

fifiMfifififififififi

^

图形让学生学习如何运用移多补少法asgsa9fieefi9e

eefiaee9sfiesses

求平均数。即直观，又易懂。

五、《综合与实践》教学中“数形结合思想”实践运用

在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化,

学生根本不能理解掌握运用。

在一年级刚接触比多比少解决问题教学时，通过数与物（形）的

对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、

小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小

的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用

大的数减去少的部分（或多的部分）。有的学生在刚学习比多比少应

用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多

比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法，“少”字用

减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。

在三年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物

（形）的结合,帮助学习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，

就是求几个这样的数是多少。在学生初步建立起倍数的概念（意义）

的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握

倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物(形)结合，逐步

过渡到由图形代替物体一一数形结合，初步建立起数学语言一一数与

形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建

立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想一一数形结合。

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在解决问题过程中，经常要用到“数”与“形”互译的数形结合

思想，即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化,

再根据对图形的观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解

决。

在排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教

学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结

合一一连线的方法，既做到不重不漏，又不把排列组合的知识强加给

学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数形结合,

画图形操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。在找

规律教学中，通过画图操作，逐步发现规律，并运用规律解决问题。

三年级上册重叠问题教学中，引导学

E下面是三（1）宏参加珑绛、碍成比赛的学生名单。

生数出参加跳绳的有9人，参加踢建的有

8人，但参加跳绳和踢璀的没有8+9=17

人，这是为什么呢？引导学生通过画出韦

恩集合图，让学生充分明白：有3个重复

的，8+9多计算了一次，需要减去，两个

小组实际只有8+9—3=14（人）。

想一想：可以怎样列式解答？

四年级鸡兔同笼问题，也是从图形中

总结出解决方法。如：鸡和兔一共有8只,腿有22条。求鸡和兔各

有多少只？用算术方法解决鸡兔同笼问题，有的学生不能完全理解,

而借助画图，一步一步总结方法和规律,帮助学生理解。先画8