集中和差异量数

集中和差异量数有关统计概念

对于一组数据来讲，最常用的统计量有两类:一类是表现数据集中性质或集中程度的叫集中量数；另一类是表现数据分散性质或分散程度的叫差异量数。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，还不能说明一组数据的全貌。要说明数据的变异性,要用差异量数。

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集中量数包括算术平均数M、中数Md、众数Mo、几何平均数Mg、调和平均数Mh、加权平均数Mw等。差异量数包括标准差或方差S&S2、全距R、平均差AD、四分差Q及各种百分差等。牢记各种符号的英文单词，不易混淆。第3页,共46页，2024年2月25日，星期天第一节算术平均数

平均数属于最为普遍的一种集中量数，是真值的最好估计值。通常用M表示，或者X、Y表示，计算公式为：

1.未分组时：

∑XiX=N

式中：Xi表示原始数据若干

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2.分组时∑fXcX=N

式中：Xc为各组组中值

f为各组次数

N为数据总次数第5页,共46页，2024年2月25日，星期天平均数的运算离均差的总和等于0；常数加法特点；常数乘法特点。第6页,共46页，2024年2月25日，星期天平均数的优点反应灵敏计算严密计算简单简明易解适合进一步数学运算受抽样影响较少第7页,共46页，2024年2月25日，星期天平均数的缺点易受极端数据影响缺失数据存在时无法计算平均数第8页,共46页，2024年2月25日，星期天应用平均数的原则同质性原则：三同（测量手段、观测标准、观测对象特质）非万能原则：与个体数据结合非绝对确定性原则：与标准差或方差相结合的原则第9页,共46页，2024年2月25日，星期天第二节中数中数求法排序找出中间位置的数中数的优缺点简单明了信息不能反映全部数据信息不灵敏不能作进一步的运算中数应用的情况极端数据出现时缺失数据出现时需要快速估计集中趋势时第10页,共46页，2024年2月25日，星期天求中数的情况未分组求中数无重复数据有重复数据数据个数为奇数数据个数为偶数重复数不在中间重复数在中间奇数偶数第11页,共46页，2024年2月25日，星期天众数出现次数最多的数使用情况极端数据缺失数据快速描述是否偏态的描述第12页,共46页，2024年2月25日，星期天平均数中数众数关系正态正偏态负偏态第13页,共46页，2024年2月25日，星期天其他集中量数加权平均数几何平均数调和平均数第14页,共46页，2024年2月25日，星期天第四章

差异量数漳州师范学院赵广平第15页,共46页，2024年2月25日，星期天问题1百分位数、百分位差与百分等级的概念辨析？解释P84：百分等级示一种相对差异量数，它是百分等级的逆运算。我思故我在第16页,共46页，2024年2月25日，星期天问题2回答P86:为什么要安排这么一节纯记忆的数理统计学内容，作者想告诉您什么？为什么有了离均差，还要提出方差和标准差的概念，来表示数据的整体离散程度？P89－90：用语言阐述公式4-9，用这个公式计算方差有什么好处？P88：用公式和形象的语言描述，说明方差的可加性，以及标准差的不可加性？第17页,共46页，2024年2月25日，星期天问题3方差的哪一部分可加，哪一部分不可加？P94：关于标准差的有效运算说明了什么？结合标准差的概念和下面的示意图回答。第18页,共46页，2024年2月25日，星期天问题4P95：猜测“同团体异特质是什么意思？”“异团体同特质是什么意思？”P96：解释公式4-16P98：解释标准差的明确性。P98：解释标准差的稳定性。什么叫线性，线性转换，并举例说明。P104：SADQ三个离散量数中，谁最大？为什么？第19页,共46页，2024年2月25日，星期天离散性的图示第20页,共46页，2024年2月25日，星期天第21页,共46页，2024年2月25日，星期天四种差异量数1——全距全距Range全距属于最基本的差异（变异）量数，指的是在同一团体中最高分数和最低分数之差的距离。主要用来表示一组分数的上限和下限。计算公式为：

R=XMAX－XMIN

第22页,共46页，2024年2月25日，星期天球形图第23页,共46页，2024年2月25日，星期天四种差异量数2——百分位差百分位数：也叫百分位数点，表示顺序量尺上的一点，（排序、次数分布）它的值位——该点以下的数占全部数据的百分比。百分位差：取消数据分布两端各10％的数据，求“全距”。百分位差＝90％的百分位的数据点－10％的百分位的数据点第24页,共46页，2024年2月25日，星期天坐标图示第25页,共46页，2024年2月25日，星期天四种差异量数2——四分位差四分差(quartiledeviation)是指一群分数中，中间50%分数全距的一半。也叫Q分数。计算方法将团体中的分数由低到高依序排列，再把总人数分为相等的四段，每段各占25%；第一段终了处的分数为第一四分位数，以Q1表示；其余第二及第三段终了处的分数分别为第二及第三分位数，以Q2和Q3表示。第26页,共46页，2024年2月25日，星期天然后由下列公式求得四分差距（Q分数）：

Q=(Q3－

Q1）/2四分差在实际中应用不多。第27页,共46页，2024年2月25日，星期天第28页,共46页，2024年2月25日，星期天方差与标准差方差：也叫变异数。表示符号为S2（

2)，它是每个数据与该组数据平均数之差（离均差）乘方后的均值。第29页,共46页，2024年2月25日，星期天用原始数据转换运算第30页,共46页，2024年2月25日，星期天标准差：方差的平方根。表示符号通常用S(SD)或表示。方差转化为标准差，作了非线性的转换，因而，标准差不具有可加性。标准差是对数据离散程度的最可能的近似吗？总标准差的合成，要先合成方差？方差具有可加性吗？第31页,共46页，2024年2月25日，星期天标准差的特殊运算加C乘C先乘C后加C第32页,共46页，2024年2月25日，星期天标准差的应用差异系数标准分数异常值的取舍第33页,共46页，2024年2月25日，星期天差异系数第34页,共46页，2024年2月25日，星期天第35页,共46页，2024年2月25日，星期天标准分数

1.Z分数

Z分数是最典型的标准分数，它是以原始分数的平均数为零点，以标准差为单位，表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。即以标准差为单位来衡量一个原始分数与平均数间的差距的数。

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第37页,共46页，2024年2月25日，星期天标准正态分布：

所有的正态分布的原始分数都可通过Z=(X－X)/N转换成标准正态分布图。所谓正态分布（常态分布）是指测验上分数的次数分配呈中间集中而逐渐向左右两端作匀称分散的钟形曲线分布（即两头小中间大）。如图所示：第38页,共46页，2024年2月25日，星期天第39页,共46页，2024年2月25日，星期天标准正态分布图平均数为0，标准差为1。以平均数为基准，可将常态分配曲线分隔成对等的左右两半，可看出以平均数到＋1SD之间所占的比例为34.13%，依次的三段各占13.59%、2.15%和0.12%。平均数以下所占比例亦是如此。第40页,共46页，2024年2月25日，星期天

2.T分数

T分数也是一种标准分数，它是以50为平均数，以10为标准差来表示的。即T=50＋10Z

3.标准九标准九也是一种标准分数，它是以5为平均数，以2为标准差的一种标准分数。第41页,共46页，2024年2月25日，星期天各种分数的关系用图表示

第42页,共46页，2024年2月25日，星期天第43页,共46页，2024年2月25日，星期天往年试题第44页,共46页，2024年2月25日，星期天一、集中量数和差异量数华东师大19971、众数（3分）19981、几何平均数（3分）20001．差异系数是一种相对差异量。2002