新人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线的一般式方程培优练习题

2.2.3直线的一般式方程

学习指导核心素养

1.数学抽象：理解直线的一般式方程与

1.根据确定直线位置的几何要素，探索

二元一次方程的关系.

并掌握直线方程的一般式.

2.数学运算：求直线的一般式.

2.会进行直线方程的五种形式之间的转

3.逻辑推理：借助直线的一般式判定直

化.

线的平行与垂直.

必备知识=落1实

知识点直线的一般式方程

⑴定义

关于x,y的二元一次方程Ac+By+C=O(其中A,B不同时为0)叫做直线的

一般式方程，简称一般式.

(2)直线方程的一般式与其他形式的互化

微点拨--------------------------------

解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式.

♦即时训练

1.已知直线/的方程为小x+厂小=0,则直线/的倾斜角为,

在y轴上的截距为.

解析：将直线方程小x+y—小=0化为斜截式方程得y=—由x+y[3,

故直线/的斜率为一小，倾斜角为120。，在y轴上的截距为小.

答案：120°小

2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

(1)斜率是小，且经过点A(5,3)；

⑵斜率为4,在y轴上的截距为一2；

(3)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1.

解：(D由直线方程的点斜式得

y—3=y[3(x—5),即小x—y—5\[3+3=0.

⑵由斜截式得直线方程为y=4x-2,

即4x—y—2=0,

(3)由截距式得直线方程为七=1.

即x+3y+3=0.

胭题技巧------------------------------

求直线一般式方程的策略

在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选

出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.

《关键能力E3\

考点一含参数直线的一般式方程

厕11设直线I的方程为(a—l)x+y—2—a=0(a©R).若直线I不过第三象

限，求a的取值范围.

【解】把直线/化成斜截式，得尸(1—a)x+a+2,因为直线/不过第三

象限，故该直线的斜率小于等于零，且在y轴上的截距大于等于零.

即｛1-aWO,。+220,解得.所以a的取值范围为[1,+°°).

■二(变条件)若本例中的方程不变，将“直线/不过第三象限”改

为“直线/不过第二象限”，求a的取值范围.

解：把直线/化成斜截式，

得V=(l—a)x+a+2,

因为直线/不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴上的截距

小于等于零.

1—〃三0,

即＜解得—2.

q+2W0,

所以〃的取值范围为(一8,—2].

国思感悟---------------------------------

由含参数直线的一般式

方程求参数的值(范围)的步骤

《跟踪训练若方程(二―3m+2)x+(m—2)y—2根+5=0表示直线.

(1)求实数机的取值范围；

(2)若该直线的斜率左=1,求实数机的值.

m2—3m+2=0,

解：⑴由彳cc解得机=2,若方程表示直线，则m2-3m+2

m—2=0,

与机一2不能同时为0,故机#2,

所以实数机的取值范围为(-8,2)U(2,+8).

m2—3m+2

(2)由一一m_2=1，解得机=。・

考点二利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题

角度1由平行、垂直求直线方程

题句已知直线/的方程为3x+4y—12=0,求满足下列条件的直线厂的方

程：

(1)过点(一1,3),且与/平行；

(2)过点(一1,3),且与/垂直.

33

【解】方法一：/的方程可化为y=—Ix+3,所以/的斜率为一a.

3

(1)因为/，与/平行，所以/，的斜率为一a.

又因为/'过点(T,3),

3

所以由点斜式知/'的方程为y—3=—a(x+1)，

即3x+4y—9=0.

(2)因为/，与/垂直，

4

所以/，的斜率为1,又/，过点(一1,3),

4

所以由点斜式可得方程为y—3=不(x+1),

即4x—3y+13=0.

方法二：⑴由/，与/平行，可设「的方程为3x+4y+机=0.将点(一1,3)代入

上式得m=-9.

所以所求直线的方程为3x+4y—9=0.

(2)由/，与/垂直，可设/'的方程为4%—3y+〃=0.

将(一1,3)代入上式得〃=13.

所以所求直线的方程为4元一3丁+13=0.

陶题技巧---------------------------------

与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法

(1)与直线加十为十。=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m^C).

(2)与直线加十为十。=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.

角度2由直线的平行、垂直求参数值

网3］已知直线A：x+2ay+l=0,直线/2：(3a—l)x—ay—7=0.

(1)若/山2,求实数a的值；

⑵若求实数a的值.

【解】⑴若由题意可得1X(3。-l)+2aX(—0=0,即2/一3。+

1=0,解得或a=1.

(2)若人〃/2,由题意可得L(—a)=2a-(3a—1),且1X(—7)W1X(3a—1),解

彳于ci—­0ci——6.

胭题技巧------------------------------

利用一般式解决直线平行与垂直问题的方法

直线/i：A\x+B\y-\-C\=Q,直线和Aix+Biy+C2=0,

（1）若人2囱=0且51c2—&C1W0（或A1Q—A2C1W0）.

（2）若li±h<^AiA2+BIB2=0.

♦跟踪训练

1.直线/过点（一1,2）,且与直线2%—3y+4=0垂直，贝！J/的方程是（）

A.3x~\~2y—1=0B.3%+2y+7=0

C.2x—3y+5=0D.2%—3y+8=0

解析：选A.依题意可设所求直线方程为3x+2y+c=0,

又直线/过点（一1,2）,代入可得。=—1,

故所求直线方程为3x+2y—l=0.

2.已知直线/i：x~\~my—2m~2=0,直线，2：mx-\-y—l—m=0,则当/I_L，2

时，m=；当/i〃，2时，m=.

解析：若/iJ_，2,则IX机+加义1=0,得加=0;

若则加2-1=0,且（一1一机）X1一机（一2加一2）#0,解得机=1.

答案：01

N课堂巩固0自1测

1.（2022・杭州高二期中）直线2%—y+1=0在x轴上的截距是（）

A.lB.11

C.-；D.；

解析：选C.当y=0时，x=,所以直线2x—y+1=0在x轴上的截距是

—2.故选C.

2.直线％+3y+机=0和直线3%—y+〃=0的位置关系是（）

A.平行B.垂直

C.不平行也不垂直D.与m,〃的取值有关

解析：选B.因为两直线斜率之积等于一1,所以两直线垂直.

3.若直线的截距式宗+1=1化为斜截式为y=—2x+。，化为一般式为法

~\~ay—8=0且〃>0,贝!Ja~\~b—.

xxhb

解析：由—得尸―一一般式为—所以一一

ci+*7=1a,x+b,ci

b=2ay〃=2,{a=—2?

=—2,—ab=—8,即《解得。/或。/因为。＞°，所以a

[QZ?=8,力=4b=—4.

=2,b=4,所以〃+b=6.

答案：6

4.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

(1)经过A(—1,5),5(2,—1)两点；

(2)经过点A(—l,—3),且斜率等于直线3x+8y—1=0的斜率的2倍.

y-5x~\~1

解：(1)由两点式方程，可知所求直线的方程为丁不=F，

-1—DZ-r1

化为一般式方程为2%+丁-3=0.

31

(2)因为3%+8y—1=0可化为y=—g%+g,

3

所以直线3%+8y—1=0的斜率为一g,

则所求直线的斜率左=2X(一|j.

又直线经过点(-1,-3),

3

所以所求直线的方程为y+3=—a(x+1),

即3x+4y+15=0.

课后达标0检测

[A基础达标]

1.已知直线/：ax+y—2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数。的值是

)

A.lB.-1

C.-2D.2

•XV2

解析：选A.分析知直线/的方程可化为5+$=1,所以由/=2,

a

得〃=1.故选A.

2.倾斜角为60。，在y轴上的截距为一1的直线方程是（）

A.5x—y—1=0B.仍x~y-\-1=0

C.^/3x—3y—1=0D.y[3x~\-3y—1=0

解析：选A.由题意知，直线斜率左=tan60。=小，在y轴上的截距为一1,

所以直线的斜截式方程是y=Sx—1,化为一般式为3%—y—1=0.

3.（2022•江西南昌大学附属中学高二期中）过点（1,0）且与直线九一2y—2=0

垂直的直线方程是（）

A.x—2y~\~1=0B.x—2）7—1=0

C.x~\~2y—1=0D.2x~\~y—2=0

解析：选D.直线x—2y—2=0的斜率为3,则所求直线的斜率为一2,

即所求直线的方程为丁一0=—2（%—1）,

即2x+y—2=0.故选D.

4.直线（2加2—5机+2）%—（加2—4）y+5机=0的倾斜角为45°,则根的值为（）

A.-2B.2

C.-3D.3

2加2—5m+2

解析：选D.由题意可得用2—4W0且加2_4=1,解得机=3或机=2（舍）.

所以加=3.故选D.

5.已知三条直线Zi：ax—勿+4=0,12：（。一l）x+y+b=O,Z3：bx-\~2y-\~a

=0,若/1JJ2,且/2〃/3,贝1」〃+6=（）

A.2B.4

C.2或1D.4或1

解析：选D.由/I_L，2得/（〃-1）—南=0,①

由/2〃/3得2（4—1）—6=0,②

a=1,〃=2,

由①②解得1或1经检验，都符合题意.故〃+6=1或4.

b=0[b=2.

6.（多选）（2022•泉州高二月考）已知直线Zi：x-\-my—l=09I2：（加一2）%+3y

+3=0,则下列说法正确的是（）

A.若li//12,则m=—1或m=3

B.若/i〃3则加=3

C.若Zi±I2,则m=—1

D.若则用=3

解析：选BD.若直线/1〃包则3一加（加-2）=0,解得机=3或加=-1.当加

=—1时，两直线的方程分别为%—y—l=0,—3%+3y+3=0（即x—y—1=0）,

两直线重合；当加=3时两直线平行，故A错误，B正确.若则加一2+

3机=0,得m=3,故C错误，D正确.故选BD.

7.若方程（64一2）%+（3/—5〃+2）y+a+l=0表示平行于y轴的直线，

贝1Ja=.

6屋一ci—2W0,

解析：依题意，得＜3次—5〃+2=0,

1/0,

解得a=\.

答案：1

8.过点（一1,2）且以直线2%—3y—7=0的方向向量为方向向量的直线的一

般式方程是.

22

解析：直线2x—3y—7=0的斜率为],所以所求直线的斜率为w,又所求

2

直线过点（一1,2）,所以所求直线的方程为y—2=§（%+1）,即2x—3y+8=0.

答案：2x—3y+8=0

9.已知直线/的斜率是直线2x—3y+12=0的斜率的3，/在y轴上的截距

是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍，则直线I的方程为

一2

解析：由2x—3y+12=0知，斜率为w,在y轴上截距为4.根据题意，直线

/的斜率为;,在y轴上的截距为8,所以直线/的方程为x—3y+24=0.

答案：工一3丁+24=0

10.已知直线/经过点P(2,3)且斜率为一§.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)求与直线/垂直，且过点(一3,1)的直线的一般式方程.

3

解：(1)由点斜式可得直线/的方程为y—3=一］(x—2),化为一般式方程可

得3x+2y—12=0.

(2)设所求方程为2x—3y+〃=0.因为过点(一3,1),所以-6—3+〃=0,解

得〃=9,则所求直线的一般式方程为2x—3y+9=0.

［B能力提升］

11.已知aWO,直线ax+(0+2)y+4=0与直线-2)y—3=0互相垂

直，则ab的最大值为()

A.OB.2

C.4D.j

解析：选B.由两直线互相垂直知,/+3+2)(。-2)=0,

所以/+庐=4.

又足+b1当2ab,所以

当且仅当。=6=±啦时，等号成立.

所以ab的最大值为2.故选B.

12.(多选)已知a0<0,bc<0,则直线ax+6y=c通过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

QC

解析：选ACD.由题意可把ar+6y=c化为y=—石元+1•

因为ab〈O,bc<0,

所以直线的斜率左=—£＞0,

直线在y轴上的截距，＜0.

由此可知直线通过第一、三、四象限.

13.已知直线I与直线3x+4y—7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形

的面积为24,则直线/的方程为.

解析：设I的方程为3x+4y+机=0(加W—7),

rrj

令y=0,得x=一9.

irj

令x=0,得y=一].

1mm

所以s=]-J--4=24=24,所以加=±24,

所以/的方程为3x+4y±24=0.

答案：3%+4y±24=0

14.已知直线/i：ax—by+4=0,I2：(〃-l)x+y+b=0,求分别满足下列条

件的mb的值.

(l)Zi±Z2,且直线/1过点M(—4,-1)；

(2)直线人〃/2,且/1,/2在y轴上的截距互为相反数.

解：(1)因为/i过点M(—4,-1),

所以一4〃+6+4=0.

因为所以〃X（1—。）+~=0.

a=1,〃=4,

所以＜

b=0b=12.

(2)由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当6=0时，两条直线分别化

为。%+4=0,(。-1口+y=0,可知两条直线不平行.

b手。时两条直线分别化为

a4

y=^%+g,y=(1-d)x-b,