圆与圆的位置关系教案

252圆与圆的位置关系

导学案

【学习目标】

1.理解圆与圆的位置关系的种类

2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与儿何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位

置关系

3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性

【自主学习】

知识点两圆位置关系的判定

(1)用几何法判定圆与圆的位置关系

已知两圆Ci：(X—%i)2+(y—yi)2=/f,

Cl：(X—X2)2+。一/)2=6,

则圆心距d=IG0=叱阳一愈)2+8一竺)2..

两圆C”C2有以下位置关系：

位置关系相离内含相交内切外切

圆心距与半

d>r\+r24/<|n—r|\r\-r^<d<r\+rid=，L闻d-r\-\-rz

径的关系2

图示o

(2)用代数法判定圆与圆的位置关系

12

已知两圆：Cl：x+y+Dix+Ely+Fi=0,

Ci：x2+_y2+Dir+E2y+/72—0,

1

将方程联立5（f++V）+,2O+i。x"++Ei3y+，+F尸i2=0。,,

消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程,

则①判别式/>0时，G与C2相交；

②判别式/=0时，G与C2外切或内切;

③判别式/<0时，Ci与C2相离或内含.

2

【合作探究】

探究一两圆位置关系的判断

【例1】已知圆M-.W+y2-2砂=03>0)截直线x+y=O所得线段的长度是2小，则圆M

与圆N：1)2=1的位置关系是()

A.内切B.相交

C.外切D.相离

【答案】B

X2+y2_2ay=0,

解析由J得两交点分别为(0,0),(一〃，a).

[x+y=0,

・・•圆M截直线所得线段的长度为26，

y[a^+(-af=2y12,

又a>0,/•tz=2.

.,.圆M的方程为f+y?—4y=0,

即『+。-2)2=4,圆心为M(0,2),半径为n=2.

又圆N：(x-l)2+。一1/=1,圆心为半径为厂2=1,

|MA1=y(0-1>+(2—1)2=啦.

Vr|-r2=l,ri+r2=3,\<\MN\<3,

，两圆相交.

归纳总结：判断圆与圆的位置关系的一般步骤

(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要).

(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长八，r2.

(3)求两圆的圆心距d.

3

(4)比较d与比一闻,八+七的大小关系.

(5)根据大小关系确定位置关系.

【练习1】已知圆G：W+V-Zr+dy+dMO和圆C2：4/+4/一16x+8y+19=0,则这两

个圆的公切线的条数为()

A.1或3B.4C.0D.2

【答案】D

解析由圆Ci：(x—1产+(丫+2)2=1,圆C2：(x—2)2+(y+lp=；,

得G(l,-2),C2(2,-1),

；•IGC2l=4(2-1产+(-1+2)2==.

又n=1,「2=5，

则r\-r2<\C\C-A<r\+ri,

...圆G与圆C2相交.

故这两个圆的公切线共2条.

探究二已知两圆的位置关系求参数

【例2】当a为何值时，两圆Ci：『+y2—2办+4)>+〃2—5=0和C2：•r2+y2+2x—2ay+/

-3=0：

(1)外切；(2)相交；(3)相离.

解将两圆方程写成标准方程，则

Ci：(x—4尸+。+2)2=9,C2：(x+l)2+(y—a)2=4.

...两圆的圆心和半径分别为Ci(a,-2),八=3,C：(—1,a),2=2.

设两圆的圆心距为d,则"2=(。+iy+(—2—〃)2=2“2+6“+5.

4

(1)当d=5,即2/+6«+5=25时，两圆外切，

此时a=~5或a=2.

(2)当lVd<5,即1<2片+6。+5<25时，两圆相交，此时一5<°<—2或一1<t?V2.

(3)当d>5,即2层+6。+5>25时,两圆相离，

此时a>2或“<一5.

归纳总结：(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步

骤：

①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径.

②计算两圆圆心的距离d

③通过d,八+〃，g—R的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图

形，数形结合.

(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两

圆半径的关系.

【练习2】若圆Ci：/+V=醛与圆C2：(x—a)2+V=l相切，则a的值为()

A.±3B.±5

C.3或5D.±3或±5

【答案】D

解析圆G与圆C2的圆心距为d=yfa2+(0—0)2=\a\.

当两圆外切时，有⑷=4+1=5,.・.a=±5；

当两圆内切时，有⑷=4-1=3,，a=±3.

5

探究三两圆的公共弦问题

【例3】已知两圆x1+yz-2x+1Oy-24=0和^+/+2^+2｝；-8=0.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度.

解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则

Ci：(x-1)2+。+5)2=50,

22

C2：(x+l)+(y+l)=10,

...圆G的圆心坐标为(1,-5),半径为n=5啦，

圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为「2=也.

又；|GC2|=2小，n+底=5/+05,

In-rd=15^2-^101,

.■•In—废|<。Q|<n+n,

.••两圆相交.

(2)将两圆方程相减,

得公共弦所在的直线方程为x—2y+4=0.

(3)方法一由(2)知圆G的圆心(1,一5)到直线x-2y+4=0的距离为:，(二'斗汽

弋1+(-2)

3小,

公共弦长为I—lyln—d2—2-\/50-45=2小.

方法二设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组

\一2>+4=0,

./+./+2》+2），-8=0,

6

fx=-4,[x=0,

解得c或c

[y=0[y=2,

|A同=#(一4-0)2+(0—2)2=2小.

即公共弦长为24.

归纳总结：(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆Ci：x^+V+Oix+Eiy+Qn。与圆。2：/+丁+2苫+及丫+乃=。相交，则两圆公共弦

所在的直线方程为(£>i—£>2)x+(Ei—良方+Q一尸2=0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，

根据勾股定理求解.

【练习3】(1)两圆相交于两点A(l,3)和仇"?，—1),两圆圆心都在直线x—y+c=0上，则"?

+c的值为.

【答案】3

解析由题意知直线A8与直线x—y+c=0垂直，

•*-kf\BX1=-1,

即3；[-。=一]得,”=5,

・・・AB的中点坐标为(3,1).

又AB的中点在直线x—y+c=0上，

；・3—l+c=0,；・c=-2,

/H+C=5-2=3.

2

(2)求圆Ci：f+V=l与圆Cz：f+y2—2x—2y+l=0的公共弦所在的直线被圆C3：(x-1)

7

+(y—1)2=亍截得的弦长.

解由题意将两圆的方程相减，

可得圆G和圆C2公共弦所在的直线/的方程为

x+y—I=0.

又圆C3的圆心坐标为(1,1),

其到直线/的距离为dh喂乎，

,\/r+r/

由条件知，户一心=学一3=竽，

所以弦长为2X半=也.

探究四圆系方程及应用

［例4］求圆心在直线%—y—4=0上，且过两圆％2+y?一以一6=0和f+)2—4y—6=0的

交点的圆的方程.

解方法一设经过两圆交点的圆系方程为

f+y2-4x—G+br+y2-4y-6)=0(2#—1),

44；

即/+产一用一定y—6=0,

所以圆心坐标为(义,含7).

11-A1I*A

又圆心在直线x—y—4=0上，所以占2一言V7一4=0,

即2=一；.

所以所求圆的方程为『+y2—6x+2y—6=0.

8

f^+y2—4x—6=0,

方法二由，「，，,八

Lr+y2-4y-6=0,

得两圆公共弦所在直线的方程为y=x.

[y=x,[xi=—1,[X2=3,

由，「解得

[W+y2-4y—6=0,1%=-1，["=3.

所以两圆f+V—4x—6=0和d+V-dy—G：。的交点坐标分别为4-1,-1),8(3,3),

线段A8的垂直平分线所在的直线方程为)，-1=一3—1).

[y-1=—(x—1),(x=3,

由得

tx—>-4=0,ly=—1,

即所求圆的圆心为(3,-1),

半径为d(3-3)2+[3_(_l)]2=4.

所以所求圆的方程为(X—3)2+3+1)2=16.

归纳总结：当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2+y2+Ax+Eiy+Q)+4/+y2+O2X

+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出7即可.

【练习4]求过两圆Ci：f+V-4x+2y+l=0与C2：f+y2-6x=o的交点且过点(2,-2)

的圆的方程.

解设过两圆G：/十/一•4x+2y+1=0与C2：/+)2—6x=0的交点的圆系方程为』+)2

—4x+2y+1+7(1+)2—6x)=0,

即(1+，)1+(1+7))2—(4+62)x+2y+1=0.

3

把(2,12)代入，得4(1+7)+4(1+/1)—2(4+62)—4+1=0,解得2=—1

圆的方程为x2+y2+2x+8y+4=0.

9

10

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.圆。-3）2+。+2）2=1与圆/+丫2—1曲:一2），+14=0的位置关系是（）

A.外切B.内切

C.相交D.相离

【答案】B

解析圆f+y2—14x—2y+14=0变形为（x—7）2+°，-1）2=36,圆心坐标为（7,1）,半径为八

=6,圆（x—3）2+°>+2）2=1的圆心坐标为（3,—2）,半径为-2=1,所以圆心距d=

22

^/（7-3）+［l-（-2）］=5=6-1=n-r2,所以两圆内切.

222

2.已知圆Ci：x+/+2r+8y-8=0与圆C2：x+y-4x~4y~2^0相交，则圆G与圆

C2的公共弦所在直线的方程为（）

A.x+2y+l=0B.x+2y—l=0

C.x~2y+1=0D.x~2y—1=0

【答案】B

解析两个圆的方程相减，得x+2y—1=0.故选B.

3.若圆G：（尤+2）2+3—机）2=9与圆。2：（X—机）2+。+1）2=4外切，则根的值为（）

A.2B.-5

C.2或一5D.不确定

【答案】C

解析两圆的圆心坐标分别为（一2,m），（"［，—1）,

两圆的半径分别为3,2,

由题意得d（川+2>+（—1—加）2=3+2,

解得"?=2或一5.

11

4.设r>0,圆(x—l)2+(y+3)2=/与圆/+尸=16的位置关系不可能是()

A.相切B.相交

C.内切或内含D.外切或相离

【答案】D

解析两圆的圆心距为d=\j(\—0)2+(—3—O)2=A/TO,

两圆的半径之和为r+4,

因为S6o+4,

所以两圆不可能外切或相离，故选D.

5.若圆/与圆f+v+2r—4y+4=0有公共点，则厂满足的条件是()

A.Y小+1B.r>小+1

C.|r-小|W1D.|/—^5|<1

【答案】C

解析由x1+y1+2x—4y+4—0,得

(x+l)2+(y-2)2=l,

两圆圆心之间的距离为，(-1>+22=小.

•.•两圆有公共点，

小Wr+1,

.,.小一1WrW小+1,

即一iWr一小W1,.,.|z—

6.半径为6的圆与x轴相切，且与圆丁+0，-3)2=1内切，则此圆的方程是()

A.(X—4)2+(J)—6)2=6

B.。+4)2+。-6)2=6或(x-4)2+。-6)2=6

C.(X—4)2+()-6)2=36

12

D.。+4)2+。-6)2=36或(x—4)2+。-6)2=36

【答案】D

解析由题意可设圆的方程为(X—4)2+()，-6)2=36,由题意，得后百=5,所以次=16,

所以a—+4.

7.设两圆G,C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1),则两圆心的距离ICC,等于()

A.4B.4^2C.8D.8小

【答案】C

解析•••两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1),

...两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.

设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),

则有(4—4-+(1—a)2—a2,(4—b)2+(i—b)2—b2,

即。，。为方程(4—x)2+(1—x)2=f的两个根，

整理得f-IOx+17=O,

：.a+h=\O,ab=ll.

.,.(«-/?)2=(a+/?)2-4«/7=100-4X17=32,

|CC2|=N(a-b)2+(a-32=、32X2=8.

二、填空题

8.若圆f+y2—2办+.2=2和*+>2—2Z?y+〃=l相离，则a,b满足的条件是.

【答案】a2+b2>3+2yj2

解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为3,0),啦和(0,加，I.因为两圆相离，所

以35Tp>立+1,

即^+/?2>3+2^2.

9.圆Ci：f+y?—2r—8=0与圆C2：9+)2+版—4)'—4=0的公共弦长为.

13

【答案】2s

解析由圆Ci与圆C2的公共弦所在的直线/的方程为x-y+1=0,得点G(l,0)到直线/的

距离为"=号鲁=啦，圆Ci的半径为n=3,所以圆Ci与圆C2的公共弦长为2后F

=R32—(g)2=2币.

10.集合A={(x,y)|f+y2=4},B={(x,)»|。-3)2+&-4)2=产},其中r>0,若ADB中

有且仅有一个元素，则r的值是.

【答案】3或7

解析,••AC8中有且仅有一个元素，

圆jr+y2-4与圆(x—3)2+(y—4)2=3相切.

当两圆内切时，由小可不=|2-r|,解得/'=7;

当两圆外切时，由小耳不=2+/，解得r=3.

；.r=3或7.

11.经过直线x+y+l=0与圆f+V=2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为.

3s11

【答案】『+)2一/一»，一工•=()

3

得

可2-

解析由已知可设所求圆的方程为f+y2—2+"x+y+l)=0,将(1,2)代入,4

3311

故所求圆的方程为f+.y2一犷一»，一了=0.

三、解答题

12.已知圆0|：f+°，+l)2=4,圆。2的圆心。2(2,1).

⑴若圆。2与圆。外切，求圆。2的方程；

⑵若圆。2与圆。交于A,8两点，且|AB|=2也，求圆。2的方程.

解(1)设圆Oz半径为ri,

因为两圆外切，所以|。1。2|=r2+2.

14

又|OGI=^22+[1-(-1)2]=2取,

所以厂2=|0。2|—2=2(啦-1),

故圆Q的方程为。-2)2+。-1)2=12—86.

(2)设圆。2的方程为(x—2)2+(y—1)2=4,

因为圆。1的方程为X2+(>,+1)2=4,

将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+E-8=0,

作”为垂足，

则|4/7|=斗48|=也，

所以|。|印=、？一依//|2=也与=/

由圆心。|(0,-1)到直线4x+4y+“-8=0的距离为";=啦,

得”=4或[=20,

故圆Q的方程为

。-2)2+。-1)2=4或2)2+()，-1)2=20.

15

B组能力提升

一、选择题

1.已知a、I是实数,若圆(x-l『+(y-1)2=1与直线(。+1)%+0+1)k2=0相切,

则a+0的取值范围是()

A.[2-272,2+272]B.-00,2-272][2+2&,+oo)

C.—2\/2Ju^2\/2,+oojD.(-co,-2]“2+2夜,+00)

【答案1B

|a+l+0+l—2|

由题设圆心C(l,1)到自:线(a+l)x+伍+1)＞一2=0的距离d=j(+]了+.+]；2=1，即

a+41,也即(a+Z?)2=/+/+2(。+与+2,因为/+/2耳(。+加2,

J(a+1)2+S+1)2

所以(0+。)2-2(〃+。)一22万(〃+。)2,即缶+人尸一4(a+b)—4N0,解之得

。+g2+2&或a+bW2-2拒，应选【答案】B.

\a+b\

点睛：解答本题的关键是借助题设条件建立方程•/122=1，然后再依据问题

J(a+1)2+3+1)2

的特征与欲求目标之间的联系，借助基本不等式22g(a+0)2建立了不等式

(a+b)2-2(a+b)-2>^(a+b)2,最后通过解不等式使得问题获解.

2.已知圆C:(x—a)2+y2=4(aN2)与直线x-y+2&—2=0相切，则圆C与直线

x-y-4=0相交所得弦长为()

A.1B.V2C.2D.272

【答案】：D

【分析】

16

先根据圆C：(x-a)2+y2=4(a>2)与直线无一y+2血—2=0相切，由圆心到直线的距离

等于半径求得a,然后再利用弦长公式I=一小求解.

【详解】圆心到直线无一y+2返一2=0的距离为：

a+2-^2-2

0

因为圆C：(x-a)2+y2=4(。22)与直线工一^+2a—2=0相切,

L+2V2-2

所以［=1——__I

〃=2，

夜

解得。=2或a=2-40，

因为。22,

所以。=2,

所以（x—2）2+y2=4,

圆心到直线x-y-4=0的距离为：

〃=亨=夜，

72

所以圆C与直线x-y-4=0相交所得弦长为/=2护彳=2夜，

故选：D

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及弦长公式，还考查了运算求解的能力，属于

基础题.

3.在直线/：y=X-1上有两个点A、B,且A、B的中点坐标为(4,3),线段AB的长度|=8,

则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为()

17

A.(x-4『+(y-3)2=16或(H)2+(y+4)2=121

222

B.(x-2)+(y-3)=4或(12)2+(y+5)=144

C.(x-4)?+(y-3)2=16或(x-⑵?+(y+5)2=144

D.(x-2)2+(y-3)2=4或(Up+(y+4)2=121

【答案】：C

【分析】

首先求出线段AB的垂直平分线方程，设出圆心坐标和半径，再利用圆的弦长性质得到圆心

坐标和半径，即可得到圆的标准方程.

【详解】由题知：线段A3的垂直平分线方程为：)一3=—(x—4),即y=—x+7.

设圆心C(a,7-a),因为圆C与丁轴相切，所以厂=同，如图所示：

因为|A同=8,所以(a-4)2+(7—a—3『+16=/,

整理得：。2_]6。+48=0，解得。=4或。=12.

当a=4时，圆心(4,3),厂=4,圆C(x—4)、+(y—3『=16.

当a=12时，圆心为(12,-5),r=12，圆C:(x—12)?+(y+5)2=144.

18

故选：c

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，数形结合为解决本题的关键，属

于中档题.

二、填空题

4.已知圆Cl：*+y2+4x+l=0和圆C2：x2+y2+2x+2y+l=0,则以圆G与圆C2的公共

弦为直径的圆的方程为.

【答案】(x+l)2+(.y+l)2=l

解析由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x-y=O.

•.•圆G：(X+2)2+V=3,圆C2：(x+1)2+。+1)2=1,

圆心G(-2,0),C2(~l,-1),

，两圆连心线所在直线的方程为品=卓,

即x+y+2=0.

x—y=0,

由‘得所求圆的圆心为(一1,—1).

x+y+2=0,

又圆心G(—2,0)到公共弦所在直线x—y=0的距离

,1-2-01

d-y[25

所求圆的半径r=4(5)2-(g)2=1,

...所求圆的方程为a+l)2+(y+l)2=l.

5.已知4(一3,0),5(3,0),点P在圆(x—3)2+(y—4)2=4上运动，则陷之+|「砰的最

小值是.

【答案】：36

【分析】

19

由题意设尸(3+2cos&4+2sin。)，利用两点之间的距离公式表示出〔PAf+归周2,进而可得

结论.

x=3+2cos0

【详解】由题意得圆的参数方程为j_4+2sing(。为参数)，设P(3+2cos0,4+2sin。)，

则|PA『=(6+2COS6)2+(4+2sin6)2=56+24cos6+16sine,

|P5|2=(2cosOf+(4+2sin=20+16sin6,

,53

：.\P^'+\PB[=76+24cos8+32sin6=76+4Osin(e+0),其中tan°=w，

当sin(6+0)=-l时，|PA「+|P8「有最小值为36.

故【答案】为：36.

【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.

6.已知圆〃：(x-l—cos6>+(y-2-sin6)2=1,直线/:&-y—Z+2=。，下面五个命

题：

①对任意实数化与。，直线/和圆M有公共点；

②存在实数上与。，直线/和圆M相切；

③存在实数％与。，直线/和圆M相离；

④对任意实数上，必存在实数。，使得直线/与和圆M相切；

⑤对任意实数。，必存在实数%,使得直线/与和圆M相切.

其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).

【答案】：①②④

【分析】

20

由题意结合直线的性质和圆性质整理计算即可求得最终结果.

【详解】直线-攵+2=0恒过定点(1,2),

将x=1,y=2代入(x—1—cosd)-+(y—2—si/。)-=1,等式成立，即圆过定点(1,1)，

据此可知：对任意实数左与。，直线/和圆M有公共点；存在实数氏与。，直线/和圆M相

切；不存在实数上与6,直线/和圆M相离；说法①②正确，说法③错误；

对任意实数上，必存在实数。，使得直线/与和圆“相切；说法④正确；

当。=0时，圆的方程为：(x—2)2+()，—2)2=1,此时不存在实数左，使得直线/与和圆M

相切，即说法⑤错误.

综上可得：真命题的代号是①②④.

【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.

7.已知圆C：(x-1)2+()一21=4,若直线/：(2m-l)x+(2m+2)^-4/w-l=0(me/?)

与圆C交于A,B两点，则弦A8长的最小值为,若圆心C到直线/的距离为且，

2

则实数机=.

5±3&

【答案】：20.4

【分析】

本题首先可根据题意得出圆心。(1,2)、半径「=2以及直线/过定点D(L1)，然后根据当

圆心C(l,2)到定点£>(1,1)的线段与弦AB垂直时弦AB的长最小求出弦AB长的最小值，

最后根据圆心C到直线/的距离为立以及点到直线距离公式即可求出结果.

2

21

【详解】因为圆。方程为(x—l『+(y—2)2=4,所以圆心c(l,2),半径r=2，

因为直线/方程为(2m—l)x+(2根+2)y—4m—1=0,所以直线/过定点。(1,1),

故当弦AB的长最小时，圆心C(l,2)到定点的线段与弦AB垂宜，

因为线段CD的长度为1，所以弦A8长的最小值为2丘-E=2#)，

因为圆心C到直线I的距离为昱,

2

Gl(2m-1)+2(2m+2)-4m-11

所以丁=----/.)—，

2小(2加一1)一+(2机+2)

34m24-8m+4.八

—=——彳--------，即8mn2n-207m-1=0，

48m+4m+5

故_-HO)±J(-20)24*8x(T)_5±3反

2x84

故【答案】为：2百，"3百

4

【点睛】本题考查直线与圆相交的弦的最小值的求法以及点到直线距离公式的应用，考查根

据直线方程确定直线所经过的定点坐标,考查根据圆的方程确定圆心与半径，考查计算能力，

是中档题.

三、解答题

8.求与圆C：f+)2—2x=0外切且与直线/：x+S)=0相切于点M(3,一小)的圆的方程.

解圆C的方程可化为(无-1)2+)2=1,

圆心为C(l,0),半径为1.

设所求圆的方程为(x—a)2+(y—6)2=/(〃>0),

22

“、（〃-[1+/=r+l,

a=4

b+小x(一卓)=-1,t

解得《〃=0,

由题意可知＜a—3

|u+小目j=2.

2

故所求圆的方程为(x—4)2+y2=4.

9.已知圆M的圆心为(0,-2),且直线JL：+y=O与圆M相切.设直线/的方程为x-2y=0,

若点P在直线/上，过点P作圆M的切线R4，PB，切点为A,B.

(1)求圆M的标准方程：

(2)若NAPB=60°,试求点P的坐标；

(3)若点P的坐标为(2,1),过点P作直线与圆M交于C,O两点，当|CD|=0时，求直

线CD的方程；

2偿A

【答案】:(1)d+("2y=1；⑵(°，°)或(5'5人⑶x+y-3=0或x+7y-9=0.

【分析】

(1)先利用直线与圆相切，求出圆的半径，即可写出圆的标准方程；

(2)设尸(2%，〃)，由题分析知RW=J(2M,+W+2)2=2,解方程即可求出阳的值，

进而得到点P的坐标：

(3)对直线CZ)的斜率分两种情况讨论，利用圆心M到直线CO的距离为走，即可得

2

斜率攵的值，进而可得直线CD的方程；

【详解】解：(1)因为直线Jlx+y=O与圆M相切，

23

|0-2|

所以圆的半径为J（国+f

故圆加的标准方程为V+（y+2）2=1.

(2)因为乙4尸8=60"，所以NAPM=‘NAP8=30,

2

所以在用中，PM=2AM=2,

因为点尸在直线/：x-2y=0上，

不妨设点P的坐标为（2m,?7?）,

所以PM=J（2m）2+（加+2『=2，解得机=0或2,

所以点P的坐标为（0,0）或（1，1］

（3）①当直线CD的斜率不存在时，其方程为x=2,此时直线8与圆M相离，不符

合题意；

②当直线。。的斜率存在时，设其方程为y-l=Z（x—2）,

由勾股定理得，圆心M到直线CO的距离为，1/回］=,1/也