人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (十)(含答案解析)

第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练(10)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知向量沆=(一sinacos。,2cosa),n=(2cos(-7r),sin(7r-^?)),其中OVaV^，三＜B＜式,

且记•n=I，求tan(a+0).

2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8=2C,3b=4c.

(1)求cosC；(2)若c=3,求△48C的面积.

3.在日ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知siMB+siMc=siM4+&sin8sinC.

(1)求角4的大小;

(2)若cosB=5a=3,求c的值.

4.(一)已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点—§

(I)^sin(a+兀)的值，

(II)若锐角£满足sin/?=卷，求cos(a-0)的值.

(二)己知对数函数y=/(x)过点(e,l)

(1)求函数丫=/0)的解析式，

(n)证明方程/(幻+x-3=0有且只有一个根.

5.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,h,c,从以下三个条件中选取一个解答该题.

①弛_£=上=；②4cos(8+C)+2cos24=-3;@=Z-

acosA)V3cosAsin(A+sCin)+n

(1)求角A的大小；

(2)若a=g,b+c=4VL求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

6.在△力BC中，a,b,c分别是角4,B,C的对边，且岑=一名-

cosC2a+c

(1)求B的大小；

(2)若b=V13a+c=4,求△ABC的面积.

7.如图，以Ox为始边作角a与。(0</?<a<7i),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,

已知点P的坐标为(一》求

sin2a+cos2a+l的值;

(1)1+tana

(2)若COSQCOSS+sinasinp=0,求sin(a+0)的值.

8.已知ZM8C的内角4,B,C的对应边分别为Q,b,c,在V5cosc(QCOSB+bcos4)=csinC;

②asin=csinA；(3)(sinB-sinA)2=sin2C-sinBsin/这三个条件中任选一个，补充在

下面问题中，当_______时，求sin/LsinB的最大值.

1(九、

9.在①函数/(司=三万(25+到0>0,阚<7的图象向右平移套个单位长度得到g(%)的图

象,g(x)图象关于原点对称；

②向量记=(V3sincox,COS2CDX),n=Qcosa)x,,o)>0,/(x)=nJ-n；

n

③函数f(x)=cosoxsina)x+——*>o).

6

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知,函数/(%)的图象相邻两条对称轴之间的距离为最

jr

⑴求勺:

(2)求函数/(x)在［0,2兀］上的单调递减区间.

10.在①acosC+V3asinC—b—c=0,@2>/3cos2+sin(B+C)=V3,③asinB=V3>a<b

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

在团ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,c=l,。为线段BC上一点，回4DC与

EMB。的面积分别为S「52，且Si=2Sz，,求线段的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

11.设函数/'(x)=sinx(J5cosx+sinx)—

(1)求函数〃尤)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若/(B)=1,b=2,且b(2-cos4)=

a(cosB+1),求△ABC的面积.

12.已知角a为锐角，且满足：迫竺曳=_。

tana2

(1)求tan2a的值；

(2)求cos(2a-：)的值.

13.在△ABC中，B=8,点。在BC边上，且CD=2,cosZ/lDC=

(1)求sinNBAD;

(2)求BD4c的长.

14.已知函数/(%)=cosx•sin(%+*)—V3cos2x+x6.

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)求/⑺在闭区间［-3,可上的值域.

15.已知a,0为锐角，tana=g,tan(a4-/?)=-2.

(1)求cos2a的值.

(2)求tan(a-£)的值.

16.已知函数/1(x)=4sin@x+w)(4>0,(o>0,\(p\<今的部分图象如图所

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数y=的图象向右平移%个单位得到函数g。)，当xe［。,§时，求函数九。)=/(%)+

g(x)的值域.

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为上•.

3sinB

(1)求sinAsinC；

(2)若cos/cosC=，，Z?=3,求a+c的值.

18.在①V5sinB=cosB4-1>@2bsinA=atanB>③(a—c)sinA+csinC=bsinB这三个条件中

任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知日ABC的内角A、B、C所对的边分别是

b、c,a=®b=遮，若.求角B的值与团48c的面积.(注：如果选择多个条件分别

解答，按第一个解答计分.)

19设函数/'(%)=V5cos+sin&wccoscox+a(其中3>0,aE7?),且/'(%)的图象在y轴右侧的第

一个高点的横坐标为?

O

(1)求3的值；

(2)如果/⑶在区间［/期上的最小值为禽，求a的值.

20.(1)已知角a的终边在直线y=4无上，求2sina-3cosa的值.

(2)若0<aV-cos(：+a)=1,cosQ-=y,求cos(a+§的值.

21.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=—3

(I)求$也2+cos24的值；

(11)若°=g，求AABC面积的最大值.

22.求证:

l-2sinxcosx1-tanx

(1)cos2x-sin2x1+tanx

1+sin2x-cos2x

⑵=tanx.

1+sin2x+cos2x

23.在直角坐标系xOy中，圆G的参数方程为｛；二为参数).以坐标原点。为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程p=4sin0.

(1)求圆Q的普通方程与圆C2的直角坐标方程，并判断圆G与圆C2的位置关系；

(2)直线2:8=a(aeGR)与圆G的异于极点的交点为A,与圆C2的异于极点的交点为8,

求|0川+|08|的最大值及此时直线/的直角坐标方程.

24.,已知函数f(x)=cosxsin(x+》—V3cos2x+^-l(xe/?).

(1)求/(x)的最小正周期及对称轴；

(2)求/(乃在区间[-%力上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值.

25.在①函数/(无)=sin(2s:+w)(3>0,|初<§的图象向右平移汐单位长度得到g(x)的图像,

g(x)图像关于仁,0)对称；②函数/(x)=2cos3xsin(3尤+-[3>0)这两个条件中任选一

个，补充在下而问题中，并解答.

已知,函数/(久)的图象相邻两条对称轴之间的距离为最

⑴若/⑺在［0,a］上的值域为层1］,求a的取值范围；

(2)求函数f(x)在［0,2兀］上的单调递增区间.

26.已知f(%)=2sinx-cos(x+g)+当

(1)求/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若/(a)=|,且ae(0,$,求cos(2a+J的值.

27.44BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinC=ccos*

(I)求A;

(11)已知6=1,c=3,且边BC上有一点。满足=3544%，求AD

28.已知函数/'(x)=2sin2(x+£)—V3cos2x-l,xG弓,与

(/)求f(x)的单调递增区间；

(II)若不等式|/(为-叫＜2在xe[?外上恒成立，求实数〃?的取值范围.

29.已知0</?<pcos(E+a)=-gsin(午+S)=*

444

(1)求sin(a+S)值.

(2)求cos(a-/?)的值.

30.已知函数/'(x)=V5sin2x+cos2x，x&R.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

(2)求函数/(X)在％e［一不§的最值.

【答案与解析】

1.答案：解：,・•沅•元=—sinacos/?•2cos(-TT)+2cosa-sin(;r—0)

=2sinacosg+2cosasin^

=2sin(a+/?)=|,

・•・sin(cr+/7)=|.

又0VaV；,

<a+/?<y,

又sin(a+/?)=|>0,

­•^<a+p<n,cos(a+夕)=—%

:.tan(a+0)=—[.

解析：本题考查了向量的数量积和同角三角函数的基本关系，同时考查了两角和与差的三角函数公

式以及诱导公式，属于中档题.

由记•元=：和两角和与差的三角函数公式以及诱导公式，可得sin(a+0)=|,故可得cos(a+£)=

~1，再由同角三角函数的基本关系可得tan(a+£).

bc

2.答案：(l)・.・3b=4c根据正弦定理：，一=-^可得：3sinB=4sinC，

sinBsinC

B=2C，3sin2C=4sinC»3sinCcosC=2sinC,，Ce(0,〃)，sinC#0,

2

/.cosC=—.

3

(2)・・・c=3又♦・♦3b=4c可得：6=4，・.・。£(0,乃)，/.sinC=Vl-cos2C=y^,

二sin8=sin2。=2sinCcosC=，cosB=cos2C=cos2C-sin2C=-^-,

99

sinA=sin(7U—B—C)=sin(fi+C)=sinBcosC+cosSsinC=""x---x

939327

・。1人.彳l…玮14后

••S人4舞(、=—besinA=-x4x3x------=--------

22279

解析：本题主要考查了正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式、诱导公式、两角和与差的三角函

数、同角三角函数基本关系式，属于中档题.

(1)根据正弦定理得到3s仇8=4sinC,结合条件B=2c利用二倍角公式得到3s出CcosC=2sinCf进

•步求得cosC.

(2)由c=3结合条件得到b=4,由cosC：',用同角三角函数基本关系式求得sinC=些，进一步求

J3

得sinB,cosB,再用诱导公式及和角的正弦公式求导sinA,最后利用面积公式求得结果.

3.答案：解：(1)由正弦定理可得/+02=.2+近比，

由余弦定理得8sA=笔贮=字

因为46(0,n)，所以4=今

(2)由(1)可知sinA=y,

因为cosB=g8为团ABC的内角，所以sinB=2,

33

故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

^i+—x—=—,

=-2x3T23-6’

由正弦定理心=看得

sin4sme

asinC3X学L

-^=2V2+1.

sinA

解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式及两角和的正弦

公式，属于中档题.

(1)由正弦定理将角的条件化为边的条件，再用余弦定理求得cosA,进一步结合角的范围求得2;

(2)由(1)的结论和已知用同角三角函数基本关系式求得sinA,sinB,再利用诱导公式及和角的正弦公

式求得sinC,最后用正弦定理求得结果.

4.答案：(-)

解：(I)••・角a的顶点与原点0重合，始边与x轴非负半轴重合，

终边过点P(—1,—Jx=-|,y=一打=\0P\=J(-1?+(-1=1，

•••sin(a+兀)=—sina=-*=：；

(11)由％=-|,y=-g,r=\0P\=1,

得sina=-：,cosa=-|,由锐角6满足sin。=堤得cos/?=

OOXX>3

cos(Q—£)=cosa-cos/?+sina•sin£=——,

65

••.cos(a-S)的值为一号.

(-)

(I)设/(“)的解析式为/1(%)=logax(a>0且aH1),

代入点(e,1),得。=6,

故函数的解析式为f(x)=Inx.

(11)令。(%)=/(x)+x-3=lnx+x-3,即证g(x)只有一个零点，

g'(x)=；+1>0(x>0)恒成立，故g(x)在定义域内单调递增，

又g⑴=-2<0,g(3)=ln3>0,

故g(x)在(1,3)上有一个零点，又g(x)在定义域内单调递增，

故g(x)在定义域内只有一个零点，即方程/(x)+x-3=0有且只有一个根.

解析：(一)

本题考查两角和与差的三角函数公式及同角三角函数的基本关系，涉及诱导公式，是基础题.

(I)由已知条件即可求r,则sin(a+兀)的值可得；

(H)由己知条件即可求sina,cosa,cos0,再由cos(a-夕)=cosa•cos0+sina•sin0代值计算得

答案.

(-)

本题考查对数函数的解析式，函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性，属于

基础题.

(I)设出函数的解析式，代入点即可得解.

(n)5(x)=/(x)+x-3=lnx+x-3,求出g(x)的导函数，得到其在定义域内单调递增，即可证

明.

5.答案：解：若选①，(1)根据正弦定理知，

亚二_2smB-sinc=空£,即2sinB-cosA=cosC•sin4+sinC•cosA,

asinAcosA

即2sinB•cosA=sin(4+C),因为44-C=冗一B,所以2sinB•cosA=sinB,

1_TT

又sin8H0,解得cosA=］又AE(0,兀)，所以

(2)因为a?=h2+c2-2bccosi4=(h4-c)2-2bc-2bccosA,a=V14,b+c=4近，』=

所以(Sq)2=(4V2)2-2bc-2bcxI，得be=6,所以S』BC=1尻­sin=|x6xsin^=手.

若选②，(1)由题意可得4cos(8+C)+2(2cos2A-1)=—3,又cos(B+C)=—cosA,

所以一4cosA+2(2COS2A-1)=—3,所以4cos24—4cos>1+1=0,解得cos4=｝又4e(°，兀)，

所以4=与

(2)因为a?=fa2+c2-2bccos4=(b+c)2-2bc—2bccosA,a=V14,b+c=4或，^4=p

所以(VT?)2=(4\/2)2-2bc-2bcxI，得be=6,所以=2bc.sinA=1x6xsing=当.

若选③，(1)由正弦定理及高=而扁，得号=湍%，

又sin(A+C)=sin(zr—B)=sinB,所以、黑\=得tanA=V3-

又4€(0,TT),所以

22

(2)因为a?=fa4-c-2bccos4=(b+c)2—2bc—2bccosAfa=V14,b+c=4V2,=p

所以(VH)2=(4V2)2-2bc-2bcxi,得儿=6,所以乂而。=：儿•sina=：x6xsin；=苧.

解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角和与差的三角函数、同角三角函数之

间的关系及三角形面积公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

若选①，(1)根据正弦定理及两角和与差的三角函数即可求得结果；

(2)利用余弦定理及三角形面积公式即可求得结果.

若选②，(1)可以二倍角公式即可求得结果；

(2)利用余弦定理及三角形面积公式即可求得结果.

若选③，(1)利用正弦定理及同角三角函数之间的关系即可求得结果；

(2)利用余弦定理及三角形面积公式即可求得结果.

6.答案：(1)由正弦定理得，a=2Rs讥A,b=2RsinB,c=2RsinC,

cosBsiid?

cosC2siiu4+siiiC'

即2sinAcos8+cosBsinC=-sin^cosC,

:.2sinAcosB=—(cosBsinC+sinBcosC)

=-sin(B4-C)=—sinA,

・・・A为三角形的内角，si几4HO,

/.ct)«2?=，

・・・8为三角形的内角，

*)

(2)由余弦定理得，b2=a24-c2—2accosB,

得庐=(a+c)2—2ac—2accosB,

因为b=a4-c=4,B=-n,

.­.13=16-2acx(l-i),

**•CLC—3,

°1・»3/i

解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题.

(1)由正弦定理得，号二半BK，可得结合B的范围即可求出结果；

cusC2SIIL4+sniC2

(2)由余弦定理得，b2=a2+c2—2accosB,可得13=16—2acx(1-解得ac=3,利用三角

形面积公式即可求出答案.

7.答案：解：(1)由三角函数定义得cosa=—|,sina=p

百2sinac°sa+2c°s%_2cosa(sina+cosa)_?2?乂/_三避_竺

••原式]।sinasina+cosa/COSCC/X(2s.

cosacosa

(2)vcosacosp+sinasin/?=cos(a—6)=0,且0</?<a<TT,

:・a-0='/.y?=a-p

・•・sinp=sin(a-；)=—cosa=|,

cos/?=cos(a—1)=sina=1.

44337

:.sin(a+£)=sinacos£+cosasin/?=-x-+(—-)x-=—.

解析：本题考查了三角函数的定义及基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和与差的三角函数

公式等，记住基本的三角恒等变形式是关键.

(1)先利用倍角公式将s讥2a,cos2a化为单角的三角函数，利用同角三角函数的基本关系将tcma用

sina,cosa表示，再根据三角函数的定义可求得；

(2)由cosacos/?+sinasin0=0得a—，=],故可求得si"0、cos。，由两角和与差的三角函数公式求

值.

8.答案：解：若选①，

由正弦定理得加cosC(sirh4cosB+sinBcos4)=sinCsinC.

即次cosCsin(A+B)=sinCsinC，

因为sMCH0,

所以次=tanC,

又0<C<n,

则C与

若选②，

由正弦定理知:sinAsin芋=sinCsin定

所以cosg=sinf=2sin^cosp

因为cos^HO,所以

因为0VCV7T,所以C=g;

若选③，

由正弦定理知(b-a)2=c2-ab,

222

:.ft4-a—c=abf

由余弦定理知：cosC=I，

由0VCVTT得c=g,

所以4+8=拳

2n

・••sinA-sinB=sinA-sin(———A)

V31

=sinA•(—cosA+-sin4)

V31

=—sin>l•cosA4--sin9z?l

V31

=—sin2A4--(1—cos24)

44

=isin(2/l-5+i,

••・46(0,争,

•••2"W爷，

所以当4=(时,sinA•sinB的最大值是

34

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数的最值和三角恒等变换，是中档题.

若选①，则由正弦定理口」得，5cosC(sin4cosB+sinBcosTl)=sinCsinC,化简口丁得遮=tanC,则C=

n

3；

若选②，则由正弦定理知：sinAsin?=sinCsin/,化简得sing=｝得C=g；

若选③，则由正弦定理知(b-a)2=c2-c,则82+彦―2=儿，由余弦定理可得C=全

所以4+8=拳则sin/・sinB=sinA,sin(g—/),由三角恒等变换和三角函数性质可得最大值.

9.答案：解：选条件①

由题意可知，T=三=7T,・•,3=1

2a)

•••/(X)=］in(2x+>),二g(x)=］in(2x+p—§,

又函数g(x)图象关于原点对称，二8=1兀+,卜62,

=•,-/(X)=isin(2x+^),

/OZ\o/

(l)f《)=；sin|"F；

(2)由卫+2/CTTq2.x+'W27T+2.kji,kWZ,得巴+kii<xW2zr+kTi,kEZ,

26263

令k=0,得令k=1,得Z"工、工9兀，

6363

二函数f(x)在［0,2兀］上的单调递减区间为长,|兀］,［3兀(兀］.

方案二：选条件②

•••m=(V3sincox,cos2(ox),n=Qcosaix,,

V31

••・/(%)=m-n=—sina)xcosa)x+-cos2a)x

1/V31\

—sin2a)x+-cos2toxI

2

=［sin(23%+》

又T=—=yr,・•・3=1,・••f(x)=1sin(2x+

2coJ

(1)/(-)=-sin-7r=—;

'W234

(2)由—F2fc/rW2.xH—W'兀+2fc/r,kWZ,得°+kjiW%W-TT+kn,kWZ,

26263

令k=0,得!4工工；"，令k=1,得:"4x4=71,

6363

••・函数/(x)在［0,2兀］上的单调递减区间为长,|兀］,［，|斗

方案三：选条件③

/(%)=coscoxsin(o>x+§-［=cosa)x(sincoxcos,+cosa)%sin§—［

6.,121V3.,1

=­sino)xcosx+-cosza)x——=—sin2Qa)x+-cos2neox

22444

=2Csin2a%+jcos2eox)=jsin(2a%+/),

又7=1^=7'・,・3=1,・•・f(x)=［sin(2%+§,

⑴心=封承=?；

(2)由1+2kli<2X+^<|TT4-2kn,k6Z,得专4-fc7r<x<|7r+kn,keZ,

令k=0,得,<工工|兀，令k=1,得3〃工工工［九.

.•・函数f(x)在［0,2兀］上的单调递减区间为t，|可D］

解析：本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和数量积，属于基础题型.

选条件①，利用周期性和对称性求出解析式；

选条件②，由数量积的坐标表示和三角恒等变换公式得fW=：sin(23x+9，由周期性

求出解析式；

选条件③，由三角恒等变换公式得=：sin(23x+9,由周期性求出解析式.

(1)求出解析式后，赋值计算即可；

(2)利用正弦型三角函数的性质即可求解.

10.答案：解：选①：因为acosC+V5asinC—b—c=0,

所以sin/cosC+巡sinAsinC-sinB-sinC=0,

又因为4+C=TT-8,

所以sinAcosC+V3siny4sinC-sin(X+C)—sinC=0,

所以sinCsin(力一/)=|sinC,

又因为A,CG(0,7r),所以4=%

又因为b=2,c=1,所以a?=h24-c2—2bccosA=3,

所以〃=。2+<2,故8=方

因为Si=2Sz，所以2x：BDxc=[CDxc,

所以2BD=CD,BD=-BC=­.

33

选②：因为28cos2+sin(B+C)=V3,

所以sin(B+C)=-V3cos(5+C)，所以sin4=A/5COS4,

因为4c(0,兀),所以4=4

又因为b=2,c=1,所以a?=b2+c2—2bccosA—3,

所以/?2=a2+c2,故8=]，

因为品=252，所以2xgB0xc=TC0xc,

所以2BD=CD,BD=-BC=—.

33

选③：因为asinB=8，所以2asin8=2遮，

又因为b=2,所以2asinB=V3b,

由正弦定理知,2sin4sinB=V3sinB>

又因为A,BG(0,yr),且aVb,所以力=g,

又因为C=1,所以。2=匕2+_2bcCQSA=3,

所以62=Q2+C2,故8=今

因为SI=252，所以2X[BOXC=TC£)XC,

所以28D=CD,BD=-BC=—.

33

解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换在解三角形中的运用，考

查了分析和运算能力，属于中档题.

选择条件①，结合正弦定理和三角恒等变换将已知式子进行化简得到sinCsin。!-§=《sinC,即可

求出角A,从而利用余弦定理可得方2=a?+c2,则B=p进而根据Si=2s2,利用三角形面积公式

可求出BD.

选择条件②，利用二倍角公式可推出sin4=遍cosA，即可求出角A,下同①；

选择条件③，利用正弦定理可得2sin4sinB=gsinB,由此可求出角4,下同①.

11.答案：解：(1)由题意得：

,l、1

/(x)=sinx[yj3cosx4-sinx)—~

L1

=v3sinxcosx+sin9zx--

y/31-cos2x1

=—sinlx+----------------

=sin(2x-*),

则——+2/CTTW2X—W—F2kR,kGZ,

262

解得一£+kn<xknkeZ

63t9

即函数/GO的单调递增区间为[一廿时,升同，kez；

⑵•・•/(B)=1,BG(0,兀)，

：.f(B)=sin(2B-匀=1,

B=-,

3

由正弦定理得：

vb(2—cosA)=a^cosB+1),

・•・sinB(2—cosA)=sinA(cosB+1),

..D—

•D——9

・•・-sinA+—cosA=V3,

22

即sin(A+*)=1,

••FC(。书,

•・•4+8+C=7T,

・•.△4BC为边长为2的正三角形，

故又48c=|a^sinC=1x2x2Xy=V3.

解析：本题考查三角形面积公式，考查正弦定理，两角和差公式，难度较大.

(1)先将括号展开，利用两角和差公式将函数化简，根据函数图象的性质找出函数的递增区间；

(2)先求出8的值，再将已知等式利用正弦定理进行化简，可得出△ABC为正三角形，即可求出三角

形的面积.

tana+tan

12.答案：解：⑴由3誓7,得—13'即3tan2a-5tana-2=0,

解得tana=2或tana=-

•・•角a为锐角，・•・tana=2,

・•・tan2a=2tana4

1-tan2a1-43

222

(2)当tana=2时，cos2a=cosa-sina1-tana1-4

cos2a+sin2a1+tan2a1+4

2sinacosa2tana_4_4

sin2a=cos2a+sin2a1+tan2a1+45'

nnn

cos(2a——)=cos2acos—+sin2asin—

44

一X立+〃立=立

525210

解析：本题考查两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式.

(1)由已知利用两角和的正切公式化简求出tana的值，然后再由正切的二倍角公式即可求解;

(2)由题意求出cos2a和sin2a的值，然后利用两角差的余弦公式进行求解.

13.答案：解：(1)在A/WC中，•••COSZTIOC=3

•••sinZ-ADC=—7>

・•・sinZ-BAD=sin(Z.ADC—乙B)

=sinZ-ADCcos3-3-co1s4Z-ADCsin-=—•

(2)sin±/D8=sin^ADC=手

则在△的中，由正弦定理得皿=黑辞=3,

则8c=BD+DC=5.

在^ABC中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2_248.BC•cosB=49,

•­AC=7.

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数公式，是中档题.

(1)先由cos乙4DC=｝得出sinZTlDC=竽，再由sinZ_B4。=sin(乙4DC—Z_B)展开计算即可;

(2)根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结果.

14.答案：解:(1)由已知，有/(%)=cos%gsinx+号cos%)—+=

1.V3V3

=-sinxcosx———■cos2zx+—

224

=—sin2x———(1+cos2x)+—

1V3

=—sin2x-----cos2x

44

噌*D

/(%)的最小正周期T=y=7T.

(2)由％e［-；,；］＞

所以一—三Wg

o36

所以当2x冶屋时，f(x)的最大值为%

当2X一；=一与时，/(x)的最小值为一点

・•・函数/(x)在闭区间［十引上的最大值为方最小值为-i.

“X)在闭区间卜？用上的值域为［一言

解析：本题考查正弦型函数的性质，考查两角的和差公式和二倍角公式，属于中档题.

(1)由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将/(%)的解析式化为一个复合角的三角函数

式，再利用正弦型函数y=As讥(3%+*)+8的最小正周期计算公式7="，即可求得函数/(x)的最

小正周期；

(2)根据三角函数性质求出最值即可，故得答案

_sina_4

tan。=加■,

{sin2a+cos2a=1

sina=1

解得:3'

cosa=-

・•・cosQ2a=cos2za—si.n2za=-9------1-6-=-----7-；

252525

(2)由(1)知，sin2a=2sinacosa=2x^x|=|^,

24

sin2a24

则tan2a=

cos2a7

tan(a-0)=tan[2a—(a+1)]=tan2a-tan(a+/?)

1+tan2atan(a+0)'

24、io

_(__-7_2

1+(号>(-2)=亨=一五'

故tan（a-夕）=一M

解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦，正切公式的应用,

属于中档题.

(1)利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；

(2)先求出tan2a=-y,再利用tan(a—£)=tan[2a—(a+/?)]即可求解.

16.答案：解：(1)■.■7=2x(^-^)=7r,.-.a)=-=2

6371

则/(%)=Asin(2x4-(p),

由图可得，/(工)=一4

7Q-TT

即2X石7r+=-7T+2/CTT(/CGZ),\(p\<

・•.(p=三,即f(%)=Asin(2x+g)

又/'(())=Asin日=百，即34=6，

则A=2

・•・f(x)=2sin(2x+

(2)依题意g(%)=2sin2xf

nb1

九(%)=2sin(2x+—)4-2sin2x=3sin2x+\3cos2x=2v3(—sin2x+-cos2x)

=2V3sin(2x+》

,:xG[0勺,2x+e碎，?，

2V3sin(2x+-)6[-V3,273],

6

/I(x)的值域为[一四,2g].

解析：(1)根据三角函数的图象求出4,3和租的值即可

(2)根据三角函数的平移关系求出9(%)和h(x)的解析式，结合三角函数的有界性进行求解即可

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键.

17.答案：解：(1)由三角形的面积公式，

可得SBIABC=^bcsinA=

•••3csinBsinA=2b,

由正弦定理可得3s讥CsinBsinA=2sinB,

vsinB工0,

2

・•・sinAsinC=一；

3

(II)vcosAcosC=",

6

・•・cos/lcosC—sinAsinC=-

2

・•・cos(/l+C)=—I，

•••cosB=

2

•・•0VBV7T,

・・.B=p

•••由正弦定理得一二二=2R2X/3,

SIIL4sinHsmC

2

sin/lsinC=

3

・•・ac=8,

由余弦定理得炉=a234-c2-2accosB,

・•・a2+c2—ac=9,

:、(a+c)2=33,

・•・a+c=V33-

解析：本题考查了三角形的面积公式，两角和差的余弦公式，正弦定理，余弦定理的应用，属于中

档题.

⑴由三角形的面积公式，得到3csinBs讥4=2b,利用正弦定理进行化简整理，即可求出sinAsinC；

(2)由已知cosAcosC=得到cos(A+C)=-；,可得8=三利用正弦定理列式，得到ac=8,再

623

由余弦定理得到a+c=后，即可求出a+c.

18.答案：解:选①由遍sinB=cosB+1，可得sin(B-}

因为86(0,兀)，所以8*=也所以B=g,

由正弦定理：&=目，得sinA=乌又因为a<b,所以4=三

smAsinB24

所以sinC=sin75°=sin(45°4-30°)

=sin45°cos30°+cos450sin300='"+'",

4

所以Sgj/Bc=|nbsinC=

选②由2bsin4=atanB得2bsin4cosB=asinB,

由正弦定理：三b化简得cosB=1

sinB，

因为8W(0,7r),所以B=%以下与选①相同.

选③由正弦定理：-T—=-T--=(。-c)sin4+csinC=bsinB

可化简为小—ac+c2=b2而cosB="+，一”=-

2ac2

因为Be(0,7T),所以B=泉以下与选①相同.

解析：本题考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题.

选①，由条件得得sin(BY)=1,求出8,再由正弦定理求A,进一步求C,从而求出三角形的面

积；

选②，利用正弦定理即可求3,以下与选①相同.

选③，利用正弦定理和余弦定理即可求8,以下与选①相同.

19.答案:

解：(l)/(x)=V3x+|sin2a)x+a=sin(2cox+g)+?+a，

由题意知，23XB+T=M得3=：；

(2)由(1)知，/")曲1卜+1)++a,

7T//571

,一产工47

・,,0工%+左？

36

-1<sin(x+^)<1,

・•.f(x)的最小值为：-^4-y+a=V3,

解析：本题考查二倍角公式及辅助角公式，同时考查函数y=As讥(wc+w)的图象与性质.

(I)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，求得3即可；

(U)根据的解析式求得函数的最小值的表达式，进而求得a.

20.答案：解：⑴因为角a的终边在直线y=4x上,

则tana=4,角a的终边在第一象限或第三象限

①当角a的终边在第一象限时，cosa=*,sina=♦会,

2……迎皿="

171717

②当角a的终边在第三象限时，cosa=—詈,sina=~~~~

2疝。-3--g+啦=5v/17

1717

5V街或—5仅

综上所述2sine-3co«c

1717

(2)v0<a<p-=</?<0,

，一冗〈，一冗+ia<-——3冗，式一<,——冗-B<,冗

4444422

•・•COSg+a)=i,C0Sg-Q=^,

1十笔有哈加J1-1=^

・•・sin+a

33

则

1瓜瓜

+-x—4-X——

(7°(%。3

解析：本题主要考查三角函数的定义，考查象限角，两角和与差公式，是基础题.

(1)由角a的终边在直线y=4%上，得tana=4,角a的终边在第一象限或第三象限，对

角a的终边在第一象限与第三象限分类讨论即可求值，

⑵易求得sin(;+«)==誓，/仁一与)==争而

<xw(c+9)=cos[(：+一一4)]利用两角和与差公式即可解.

O1p

21.答案：解：(1)由「二芸,+CS2.A

/71-A\

=sino2(---j+2coso24—1

=co«2—+2cos。—1

2

1+Cd,c241

=「一+22.4-1

W+2x(-»lT

(2)在4ABC中，cosA=-I，

可得sinA=\/l—cctiiA=yl—9

由余弦定理可得

Q2=非+c2+2儿》2bc+-bc=-be,

333

即be《疗2,

o=o

当且仅当b=c=乎时.，取到等号，

则^ABC面积为三besinA<-x-x—=

22838

所以△ABC面积的最大值为延.

8

解析：本题考查了诱导公式、二倍角公式的化简求值问题，同角三角函数关系式的应用，余弦定理

的应用，基本不等式求最值问题，属于中档题.

(1)由已知利用诱导公式、二倍角公式进行化简求值，即可得结果；

(2)由已知利用同角三角函数关系式，可得37部，再利用余弦定理结合基本不等式求最值,

即可求出△AB