高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示省公开课一等奖

第3章3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量坐标表示1/291.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算坐标运算.学习目标2/29知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引3/29知识梳理自主学习知识点一空间向量基本定理答案(1)定理假如三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.(2)基底与基向量假如三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间一个

，e1，e2，e3叫做

.空间任何三个不共面向量都可组成空间一个基底.基向量基底4/29(3)正交基底与单位正交基底假如空间一个基底三个基向量是

，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底三个基向量都是

时，称这个基底为单位正交基底，通惯用___________表示.

(4)推论设O，A，B，C是

四点，则对空间任意一点P，都存在惟一有序实数组(x，y，z)，使得答案两两相互垂直单位向量不共面{i，j，k}5/29空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别为x，y，z轴方向上

，对于空间任意一个向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，则有序实数组________叫向量a在空间直角坐标系中坐标.尤其地，若A(x，y，z)，则向量

坐标为

.(x，y，z)(x，y，z)单位向量答案知识点二空间向量坐标表示6/29知识点三坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝

；a－b＝

；λa＝

(λ∈R).a∥b(a≠0)⇔______________，

，

(λ∈R).(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)b1＝λa1b2＝λa2b3＝λa3答案7/29思索(1)空间向量坐标运算与平面向量坐标运算表示形式上有什么不一样？答案返回答案空间向量坐标运算多3个竖坐标.(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行坐标表示，可得到什么结论？8/29题型探究重点突破题型一空间向量基底解析答案反思与感悟9/29反思与感悟∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，10/29空间向量有没有数个基底.判断给出某一向量组中三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，假如从正面难以入手，惯用反证法或是一些常见几何图形帮助我们进行判断.反思与感悟11/29解析答案③12/29题型二用基底表示向量解析答案反思与感悟13/29反思与感悟14/29(1)空间中任一向量均可用一组不共面向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表示形式是惟一；(2)用基底来表示空间中向量是向量处理数学问题关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则应用.反思与感悟15/29解析答案16/29解如右图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中连结AC，AD1，17/29解析答案18/29例3

已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点，而且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量

坐标.题型三空间向量坐标表示解析答案反思与感悟解以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如下图所表示，19/29建系时要充分利用图形线面垂直关系，选择适当基底，在写向量坐标时，考虑图形性质，充分利用向量线性运算，将向量用基底表示.反思与感悟20/29跟踪训练3

已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点，而且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量

坐标.解析答案返回21/29解如图所表示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.返回22/29当堂检测123451.已知A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v值分别为________.解析答案解析∵A与A′关于x轴对称，2,10,723/29123452.与向量m＝(0,1，－2)共线向量是________.(填序号)①(2,0，－4) ②(3,6，－12)③(1,1，－2) ④(0，，－1)④解析答案24/29123453.已知向量a，b，c是空间一个基底，以下向量中能够与p＝2a－b，q＝a＋b组成空间另一个基底是________.(填序号)①2a；

②－b；

③c；

④a＋c.解析∵p＝2a－b，q＝a＋b，∴p与q共面，a、b共面.而c与a、b不共面，∴c与p、q能够组成另一个基底，同理a＋c与p、q也可组成一组基底.解析答案③④25/29123454.如图在边长为2正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1中点，写出以下向量坐标.解析∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，