大学机械制图-CAD-及其答案4几何元素间的相对关系市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

第四章几何元素间相对关系第1页本节讨论直线与平面、平面与平面相对位置关系及其投影，包含以下内容：

1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行；

2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交；

直线、平面相对位置3)垂直关系：直线与平面垂直，两平面垂直；

第2页基本要求（一）平行问题1．熟悉线、面平行，面、面平行几何条件；

2．熟练掌握线、面平行，面、面平行投影特征及作图方法。（二）相交问题1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面投影含有积聚性）交点求法和作两个面交线（其中一平面投影含有积聚性）。

2．熟练掌握普通位置线、面相交求交点方法；掌握普通位置面、面相交求交线作图方法。

3．掌握利用重影点判别投影可见性方法。（三）垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直投影特征及作图方法。（四）点、线、面综合题

1．熟练掌握点、线、面基本作图方法；

2．能对普通画法几何综合题进行空间分析，了解综合题普通解题步骤和方法。

第3页一、直线与平面平行几何条件若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是处理直线与平面平行作图问题依据。相关线、面平行作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。

例题1

例题2二、平面与平面平行几何条件若一个平面内相交二直线与另一个平面内相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行作图依据。两面平行作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面所缺投影。

例题3

例题4

例题54.1平行关系：直线与平面平行、两平面平行第4页定理:若一直线平行于平面上某一直线，则该直线与此平面必相互平行。一、直线和平面平行

第5页因为ef∥bd，e′f′∥b′d′，即EF∥BD，且BD是ABC平面上一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。

例判断直线EF是否平行于平面ABC。第6页例过已知点k，作一条水平线平行于△ABC平面。步骤：1）在ABC平面内作一水平线AD；2）过点K作KL∥AD；3）直线KL即为所求。第7页例如图所表示，过点C作平面平行于已知直线AB。（1）过点C作CD∥AB（即作cd∥ab，c/d/∥a/b/）；（2）再过点C作任意直线CE则相交两直线CD、CE所决定平面即为所求。

作图步骤：第8页二、平面与平面平行

假如一平面上两条相交直线分别平行于另一平面上两条相交直线，则此两平面平行。

因为：AB∥A1B1，BC∥B1C1，所以：平面ABC和平面A1B1C1相平行第9页例过K点作一平面，是其与平面ABC平行解

只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC两条边，则这两条相交直线所确定平面就是所求平面作图步骤：1）作KL∥BC(k

l

∥b

c

,kl∥bc);2)作KD∥AC(k

d

∥a

c

,kd∥ac);3)平面KDL即为所求。第10页例判别△ABC与△DEF是否平行？（1）在△DEF内过点E作两条直线EM和EN，使e/m/∥b/c/，e/n/∥a/b/；（2）然后作出em和en，因为em∥bc，en∥ab，所以△ABC∥△DEF。作图步骤：第11页[例题3]试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行第12页[例题4]已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k第13页[例题5]试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行第14页用迹线表示两平面平行

第15页第16页4.2直线与平面交点、两平面交线一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面交线是直线三、特殊位置线面相交四、普通位置平面与特殊位置平面相交五、直线与普通位置平面相交六、两普通位置平面相交直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面共有点。两平面交线是直线，它是两平面共有线。求线面交点、面面交线实质是求共有点、共有线投影。第17页一、直线与平面相交只有一个交点直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面共有点。第18页二、平面与平面相交两平面交线是一条直线，这条直线为两平面所共有第19页三、直线与平面相交1、直线与特殊位置平面相交2、特殊位置直线与普通位置平面相交3、普通位置直线与普通位置平面相交

当平面或直线投影有积聚性时，交点两个投影有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点方法求出。

第20页1、直线与特殊位置平面相交因为特殊位置平面某个投影有积聚性，交点可直接求出。第21页判断直线可见性特殊位置线面相交，依据平面积聚性投影，能直接判别直线可见性。第22页例：求直线MN与平面ABC交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一正垂面，其V投影积聚成一条直线，该直线与m

n

交点即为K点V投影。1)求交点2)判别可见性由V投影可知，K

M

段在平面上，故H投影上km为可见。还可经过重影点判别可见性。作图第23页2、特殊位置直线与平面相交第24页km(n)b●m

n

c

b

a

ac空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K水平投影也积聚在该点上。1)求交点2)判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法第25页3、普通位置直线与普通位置平面相交

以正垂面为辅助平面求线面交点

示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图判别可见性

示意图第26页1

2

以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF交点K。示意图第27页ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图第28页12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF交点K。k

k2

示意图第29页CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图第30页f

e

e直线EF与

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

34示意图(

)2

1

第31页直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影点。判别可见性Ⅳ第32页四、平面和平面相交求两平面交线问题能够看作是求两个共有点问题,求交线方法主要有：1、直接法2、辅助平面法3、穿点法第33页1、直接法nlmm

l

n

bacc

a

b

PBCacbPHA第34页判断平面可见性第35页两平面之一含有积聚性求交线在两平面之一有积聚性情况下，能够在没有积聚性那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性那个平面交点，则这两个交点连线就是两平面交线。第36页例4求普通位置平面ABC与铅垂面DEF交线解

由图可见，只要求出上△ABC两条直线AB、AC和△DEF交点M、N，就能够求得两平面交线。第37页作图步骤：1）利用积聚性求AB与△DEF交点M(m,m

)；2）利用积聚性求AC与△DEF交点N(n,n

)；3）连接MN(mn,m

n

)就可得到两平面交线；4）取直线AB和DF在V面上重影点1

(2

)，分辨可见性。由图可见，点1在点2前面，故b

m

为可见，为m

l

不可见。因为过重影点两线段投影之可见性必不相同，所以能够确定其它各边可见性。第38页2用辅助平面求交线当相交两几何元素都不垂直于投影面时，则不能利用积聚性求交点和交线。

第39页用辅助平面求交点第40页例：已知直线CD、EF、GH，要求作一条直线AB平行于CD，且与EF、DH相交。第41页用辅助平面求交线第42页用辅助面三面共点法求交线第43页第44页两迹线平面相交第45页普通位置平面和水平面相交第46页当两个平面在图纸区域不相交时第47页4.3几何元素垂直问题一、直角投影特征二、直线与平面相互垂直三、直线与直线相互垂直四、平面与平面相互垂直第48页1、若直角中有一边平行于某一投影面，则它在该投影面上投影仍为直角。2、反之，若一直角投影仍是直角，则被投影角最少有一边平行于该投影面。

一、直角投影特征总之，相互垂直两直线当中，最少有一条直线平行于投影面时，这两直线在该投影面上投影才会垂直。第49页二、直线与平面垂直直线与平面垂直，则直线垂直平面上任意直线（相交或不相交）。反之，直线垂直平面上任意两相交直线，则直线垂直该平面。第50页第51页定理1若一直线垂直于一平面、则直线水平投影必垂直于属于该平面水平线水平投影；直线正面投影必垂直于属于该平面正平线正面投影。knk

n

第52页定理2（逆）若一直线水平投影垂直于属于平面水平线水平投影；直线正面投影垂直于属于平面正平线正面投影，则直线必垂直于该平面。第53页[例题7]平面由

BDF给定，试过定点K作平面法线。a

cac

n

nkk

第54页h

[例题8]试过定点K作特殊位置平面法线。hhhh

h

（a）（c）（b）第55页[例题9]平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。e

f

ef第56页[例题11]试过点N作一平面，使该平面与V面夹角为60°，与H面夹角为45°。第57页分析：平面法线与平面最大斜度线对同一投影面夹角互为余角第58页直径任取NM作图过程|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

n第59页例：求C点到直线AB距离。二、直线与直线垂直第60页第61页四、平面与平面垂直若直线垂直一平面，包含这直线一切平面都垂直于该平面。反之，从第一平面任意一点向第二平面所作垂线，必定在第一平面内。第62页绘制相互垂直平面两种方法：1、使平面Q经过垂直于平面P直线AB；2、使平面Q垂直于平面P上直线CD；第63页g

[例题12]平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面垂面。ha

cac

h

g第64页[例题13]试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定平面是否垂直。f

fd

d结论：因为AD直线不在

ABC平面上，所以两平面不垂直。第65页[例题14]试过定点A作直线与已知直线EF正交。第66页EQ分析

过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。FAK第67页作图2

1a

efaf

e

1

22

1PV1

2k

k第68页第69页4.4平面上最大斜度线1．平面上投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大直线。它与投影面倾角反应该平面与投影面倾角。2．平面上对某投影面最大斜度线与该平面上对某投影面平行线相互垂直。3．平面上投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面最大斜度线（2）平面上对正面投影面最大斜度线（3）平面上对侧面投影面最大斜度线

例题6

例题7

例题8

例题9第70页PCD

aE1

S

AE第71页（1）平面上对水平投影面最大斜度线EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABPEFBA第72页（2）平面上对正面投影面最大斜度线CD

A