2023-2024学年安徽省合肥市九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年安徽省合肥市九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝2（x﹣1） B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝a（x﹣1）2 D．y＝2x2﹣12．（4分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上（）A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（，3） D．（﹣3，﹣）3．（4分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜14．（4分）下列判断正确的是（）A．所有的等腰直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的菱形都相似5．（4分）如果a：b＝12：8，且b是a和c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：46．（4分）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（）A． B． C．﹣1 D．﹣17．（4分）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10（）A．5（﹣1） B．5（+1） C．10（﹣2） D．5（3﹣）8．（4分）正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，连接BC，若△ABC的面积为S，则（）A．S＝1 B．S＝2 C．S＝3 D．S＝49．（4分）设二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2＝dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x1+x2）2＝d10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（）A．2a+b＝0 B．a＞﹣ C．△PAB周长的最小值是 D．x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根​​二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）​11．（5分）（1）已知，且2b﹣d+7f≠0，则＝；（2）已知，则＝，＝．12．（5分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2＝12，则k的值为．13．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2．14．（5分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或a≥1．其中正确的结论是：．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝36，＝＝，求△ABC三边的长．16．（8分）已知：．求k值．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x＝﹣2时y的值．18．（8分）如图，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）（参考数据：黄金分割数：）20．（10分）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了简易的秋千，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时（1）以水平的地面为x轴，两棵树间距离的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系；（2）求绳子的最低点离地面的距离．六、解答题（本题满分12分）21．（12分）创建文明城市，让老百姓住得更舒心，某社区决定把一块长50m，设计方案如图，阴影部分为四个全等的矩形绿化区，且四周的出口宽度相同（其宽度不小于14m），设绿化区较长边为xm2．（1）请用含x的代数式表示矩形绿化区另一边长，并求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求绿化区较长边x的取值范围．七、解答题（本题满分12分）22．（12分）Rt△ABC在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，∠ACB＝90°，双曲线经过C点及AB的中点D，S△BCD＝4，求k的值．八、解答题（本题满分14分）23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，请说明理由．

参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．【分析】依据二次函数的定义进行判断即可．【解答】解：A、y＝2x﹣2，B、y＝（x﹣7）2﹣x2＝﹣3x+1，是一次函数，C、当a＝0时6不是二次函数，D、y＝2x2﹣5是二次函数．故选：D．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．2．【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【解答】解：A、k＝5×1＝7；B、k＝﹣1×5＝﹣3≠5；C、k＝，故在函数图象上；D、k＝﹣3×（﹣，故在函数图象上．故选：B．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3．【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．【解答】解：根据题意，在反比例函数，y都随x的增大而减小，即可得k﹣1＞6，解得k＞1．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．4．【分析】根据相似多边形的性质直接判断即可．【解答】解：A、所有的等腰直角三角形都相似，符合题意；B、所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，故错误；C、所有的矩形的对应角相等，故错误；D、所有的菱形的对应边的比相等但对应角不一定相等，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．5．【分析】根据比例中项的概念，a：b＝b：c，则可求得b：c值．【解答】解：∵a：b＝12：8，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，∴b：c＝12：8＝2：2．故选：B．【点评】本题考查了比例中项的概念．在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．6．【分析】根据勾股定理求出OB，求出BC＝AB＝1，求出OC＝OP＝﹣1，再根据线段的中点定义求出OD即可．【解答】解：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2＝，∵BC＝AB，AB＝1，∴BC＝6，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1，即OP＝﹣1，∵OP的中点是D，∴OD＝OP＝﹣1）＝，即点D表示的数是，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，实数和数轴等知识点，能求出OP的长是解此题的关键．7．【分析】首先清楚黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段和较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比；接下来利用黄金比来求所需线段的长度，本题中＝＝，结合AB的长，即可求出PB的长度；最后利用线段之间的关系得到PQ＝AQ+PB﹣AB，进而求出PQ的长度．【解答】解：如图根据黄金分割点的概念，可知＝＝，∵AB＝10，∴AQ＝PB＝×10＝．又∵PQ＝AQ+PB﹣AB，∴PQ＝﹣10＝﹣2）．故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比是解题的关键．8．【分析】设点A坐标（x，），根据点A，C关于原点对称，可得出点C坐标，再根据三角形的面积计算即可．【解答】解：设点A坐标（x，），∴点C坐标（﹣x，﹣），∵AB⊥x轴，∴S△ABC＝AB•（0B+x）＝×故选：A．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，解方程组等知识点，主要考查学生的计算能力，题目比较好．9．【分析】首先根据一次函数y2＝dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2＝d（x﹣x1），y＝y1+y2＝ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y＝y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2＝dx+e（d≠0）的图象经过点（x4，0），∴dx1+e＝5，∴y2＝d（x﹣x1），∴y＝y2+y2＝a（x﹣x1）（x﹣x3）+d（x﹣x1）＝ax2﹣axx5﹣ax1x+ax1x4+dx﹣dx1＝ax2+（d﹣ax4﹣ax1）x+ax1x6﹣dx1∵当x＝x1时，y3＝0，y2＝6，∴当x＝x1时，y＝y1+y4＝0，∵y＝ax2+（d﹣ax5﹣ax1）x+ax1x7﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y＝y1+y5的图象与x轴的交点为（x1，0）∴＝x3，化简得：a（x2﹣x1）＝d故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y＝y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．10．【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x＝3时，y＝0，得到3a+3＝0，即2a+3＝﹣a＞0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．【解答】解：A、根据图象知＝1，即4a+b＝0；B、根据图象知，0），则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，6），∴x＝3时，y＝9a+7b+3＝0，∴4a﹣6a+3＝3，∴3a+3＝5，∵抛物线开口向下，则a＜0，∴2a+6＝﹣a＞0，∴a＞﹣，故B正确；C，点A关于x＝1对称的点是A′为（3，即抛物线与x轴的另一个交点．连接BA′与直线x＝2的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．∵A（﹣1，0），5），0），∴AB＝，BA′＝3+3；D、根据图象知，5），则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，0）2+bx+7＝0的一个根，故D正确；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．​​二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）​11．【分析】（1）由得，，，代入化简求值即可得到结论；（2）由，可得，进而可得，问题随之得解．【解答】解：（1）∵，∴，，，∴＝＝＝；（2）∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：，，．【点评】本题考查比例性质及代数式求值，难点在第（1）问，由得到，，是解决问题的关键．12．【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，则OA2﹣AB2＝12变形为AC2﹣AD2＝6，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝6，所以（OC+BD）•CD＝6，则有a•b＝6，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝6．【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA＝ACAD，AD＝BD，∵OA8﹣AB2＝12，∴2AC3﹣2AD2＝12，即AC2﹣AD2＝6，∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝2，∴（OC+BD）•CD＝6，∴a•b＝6，∴k＝4．故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．13．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，当m＞3时，由题意得：当x＝2时，代入得：4﹣6m＝﹣2，不合题意；当﹣1≤m≤5时，由题意得：当x＝m时，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣3时，代入得：1+2m＝﹣6，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．14．【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝4，∵＝＝2．∴2+m与3﹣m关于对称轴对称．∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x8＝2﹣m对应的函数值相等．∴①正确．当a＞0时，若7≤x≤4，当x＝3时，y＝3a﹣12a﹣5＝﹣3a﹣6，当x＝4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣2．∴﹣3a﹣5≤y≤﹣4．∵y的整数值有4个，∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8．∴2≤a＜．当a＜4时，若3≤x≤4．∴﹣7≤y≤﹣3a﹣5．∵y的整数值只有5个，∴﹣2≤﹣3a﹣6＜﹣1．∴﹣＜a≤﹣1．综上：﹣＜a≤﹣1或1≤a＜．∴②正确．设A（x1，2），B（x2，0），且x2＜x2．x1，x2是方程数ax2﹣4ax﹣6＝0的根．∴x1+x4＝4，x1•x3＝﹣．∴AB＝x2﹣x7＝＝．∵AB≤6．∴16+≤36．∴a≥1或a＜3．又∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝16a2+20a＞0．∴a＞4或a＜﹣．综上：a≥3或a＜﹣．∴③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【分析】根据比例的性质，可得a、b、c的关系，根据a、b、c的关系，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：＝＝，得a＝c，b＝c，把a＝c，b＝，得c+c+c＝36，解得c＝15，a＝c＝7，b＝c＝12，△ABC三边的长：a＝3，b＝12．【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质．16．【分析】当a+b+c＝0时容易求得；当a+b+c≠0时，依据等比性质即可求解．【解答】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c）＝＝﹣1；当a+b+c≠4时，k＝＝．故k的值是﹣7或．【点评】本题主要考查了等比性质，在运用等比性质时，条件是：分母的和不等于0．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【分析】（1）先根据题意得出y1＝k1（x﹣1），y2＝，根据y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1得出x、y的函数关系式即可；（2）把x＝﹣2代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可．【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y7与（x+1）成反比例，∴y1＝k8（x﹣1），y2＝，∵y＝y1+y4，当x＝0时，y＝﹣3，y＝﹣6．∴，∴k2＝﹣2，k1＝1，∴y＝x﹣8﹣；（2）当x＝﹣6，y＝x﹣1﹣＝﹣1．【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键．18．【分析】（1）将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）对于直线AB，令y＝0求出x的值，即可确定出C坐标，三角形AOB面积＝三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可；（3）由两函数交点A与B的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）过点B（1，∴m＝8×（﹣4）＝﹣4，∴y＝﹣，将x＝﹣4，y＝n代入反比例解析式得：n＝1，∴A（﹣8，1），∴将A与B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴y＝﹣x﹣3；（2）在直线y＝﹣x﹣3中，当y＝3时，∴C（﹣3，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△COB＝（3×5+3×4）＝；（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣4＜x＜5或x＞1．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【分析】如果设她应该穿xcm的鞋子，那么她肚脐以下的高度为（x+95）cm．根据她肚脐以上的高度与肚脐以下的高度之比等于黄金比，列出方程求解即可．【解答】解：设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：，解得x≈10，经检验，x≈10是原方程的解．答：她应该穿约10cm高的鞋好看．【点评】本题考查了黄金分割的应用，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．20．【分析】（1）由题意知抛物线过点（﹣0.5，1）、（1，2.5），接下来，利用待定系数法求解即可；（2）将x＝0代入求得对应的y的值即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c．由题意知抛物线过点（﹣0.6，1），2.3）将上述两点的坐标代入y＝ax2+c得：，解得∴绳子所在抛物线的解析式为y＝2x2+5.5．（2）当x＝0时，y＝5x2+0.8＝0.5．∴绳子的最低点离地面的距离为5.5米．【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，找出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．六、解答题（本题满分12分）21．【分析】（1）根据活动区的面积＝矩形面积﹣绿化区面积，即可列出函数解析式；（2）设投资费用为w元，找到关于w的解析式，根据二次函数的增减性即可确定x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：绿化区的另一边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10，∴y＝50×30﹣4x（x﹣10）＝﹣4x2+40x+1500；（2）设投资费用为w元，由题意得，w＝50（﹣6x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）＝﹣40x3+400x+75000＝﹣40（x﹣5）2+76000，当w＝72000时，解得x6＝﹣5（舍去），x2＝15，∵a＝﹣40＜4，∴当x≥15时，w≤72000，又∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，∴x≤18，∴15≤x≤18．答：绿化区较长边x的取值范围为15≤x≤18．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求得短边的长度．七、解答题（本题满分12分）22．【分析】OA＝a，AE＝b，则C点坐标，B点坐标（b，），根据S△BCD＝S△ACD＝4，得出得出bk＝﹣20a①，先求得D的坐标，根据点D在双曲线上，得出，则b＝2a②，结合①②，即可求得k的值．【解答】解：设OA＝a，AE＝b，B点坐标（a+b，），∵AD＝BD，∴S△BCD＝S△ACD＝4，∴，得bk＝﹣16a，∵B点坐标（a+b，），∴点D在抛物线上，D点坐标，，则，则b＝2a，解，得k＝﹣8．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解题的关键．八、解答题（本题满分14分）23．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为