2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷

2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则 C．若0＜a＜b＜c，则 D．若a＞0，b＞0，则2．已知a1，a2∈（0，1），记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（）A．甲方案 B．乙方案 C．一样 D．无法确定4．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜1或x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2}5．下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若，则x（1﹣3x）的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为 D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是36．关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，不等式cx2﹣bx+a＜0解集是（）A． B． C． D．7．不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，则a+2b的最大值为（）A．2 B．3 C．2 D．3二、多选题（多选）9．下列命题为真命题的是（）A．若，则ab＜0 B．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＞0，则 C．若c＞a＞b＞0，则 D．若a＞b＞c＞0，则（多选）10．已知正数x，y满足x+y＝2，则下列说法错误的是（）A．的最大值为2 B．x2+y2的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为2（多选）11．已知关于x的不等式x2﹣4x﹣a﹣1≥0在x∈[1，4]上有解，则a的取值可以是（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．0（多选）12．下列说法正确的是（）A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．的最大值是二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上）13．已知x，y为正实数，且x+y＝2，则的最小值为．14．已知，若正数m，n满足f（2m）+f（n﹣2）＝0，则的最小值为．15．已知函数f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]都有f（x）＜0，则实数m的取值范围为．16．若存在常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立（或F（x）≤kx+b和G（x）≥kx+b恒成立），则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝﹣x2（x∈R），，若函数f（x）和g（x）之间存在隔离直线y＝﹣3x+b，则实数b的取值范围是．四．解答题17．设函数f（x）＝x2﹣ax+b，已知不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜2}．（1）求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；（2）对任意x1，x2∈R，比较与的大小．18．（1）已知2＜a＜6，1＜b＜3，求a﹣2b，取值范围；（2）已知1≤a+b≤5，﹣1≤a﹣b≤3，求3a﹣2b的取值范围．19．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a∈R），（1）若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），求函数f（x）的解析式；（2）若b＝﹣a﹣3，求不等式f（x）＞﹣4x+2的解集．（3）若f（1）＝4，b＞﹣1，a＞0，求的最小值．20．已知关于x的不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集为M．（1）若M＝R，求实数k的取值范围；（2）若存在两个实数a，b，且a＜0，b＞0，使得M＝{x|x＜a或x＞b}，求实数k的取值范围；（3）李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．

参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】根据题意，A选项可以举反例说明，B、C两项利用作差法加以判断，D选项通过基本不等式来判断，即可得到本题的答案．【解答】解：对于A，若c＝0，则ac2＝bc2＝0，故A错误；对于B，，由于a＜b＜0，故a﹣b＜0，，所以，即，B正确；对于C，，由于0＜a＜b＜c，故，即，C错误；对于D，根据基本不等式，可知，当且，即a＝b时取得等号，因此，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．2．【分析】根据题意，利用作差法进行求解．【解答】解：由M﹣N＝a1a2﹣a1﹣a2+1＝（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，故M＞N，故选：B．【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．3．【分析】设两次加油的油价分别为x，y（x，y＞0，且x≠y），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得．【解答】解：设两次加油的油价分别为x，y（x，y＞0，且x≠y），甲方案每次加油的量为a（a＞0），乙方案每次加油的钱数为b（b＞0），则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：＝，因为﹣＝＞0，所以＞，即乙方案更经济．故选：B．【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．4．【分析】根据题意，直接求解不等式，即可得到结果．【解答】解：由（1﹣x）（2+x）＞0，得（x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的求解，考查学生数学运算的能力，属于基础题．5．【分析】直接利用基本不等式的应用和关系式的恒等变换的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：由于0＜x＜，所以•3x（1﹣3x）≤•（）2＝，当且仅当x＝时，等号成立，故A正确；对于B：由于x＞﹣1，故x+1＞0，所以y＝＝＝（x+1）++1≥2＝2+1＝3，当且仅当x＝0时，等号成立，故B错误；对于C：已知x+y＝1，x＞0，y＞0，所以1＝x+y≥2，整理得≥4，+≥2＝≥2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故C错误；对于D：正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，整理得y＝﹣x，所以3x+﹣x＝2x+≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故D错误．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．6．【分析】根据题意，利用韦达定理求a，b，进而求解即可．【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，∴a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴，，即b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，∴不等式cx2﹣bx+a＜0化为﹣6ax2﹣ax+a＞0，化为6x2﹣x﹣1＜0，解得．因此不等式的解集为．故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式与系数的关系，属于中档题．7．【分析】当a＝2时原不等式显然成立，当a≠2时，依题意，只需对应二次函数的图像开口向下，且判别式小于零即可，由此得出实数a的取值范围．【解答】解：当a＝2时，﹣1＜0恒成立，符合题意，当a≠2时，依题意得：，解得：﹣2＜a＜2，综上，实数a的取值范围为（﹣2，2]，故选：B．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于基础题．8．【分析】先变形，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵7＝（a+2b）2﹣ab＝（a+2b）2﹣a•2b≥（a+2b）2﹣（）2＝，则（a+2b）2≤8，即|a+2b|≤2，又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+2b≤2当且仅当a＝2b＝时取等号，∴a+2b的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．二、多选题9．【分析】根据不等式的性质，采用作差法逐一分析选项，即可．【解答】解：对于A，若，则，所以ab＜0，即A正确；对于B，若a＞b＞0，c＜d＜0，e＞0，则a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，c﹣d＜0，所以，所以，即B错误；对于C，若c＞a＞b＞0，则c﹣a＞0，c﹣b＞0，a﹣b＞0，所以，即C正确；对于D，若a＞b＞c＞0，则a﹣b＞0，所以，即D正确．故选：ACD．【点评】本题考查不等式的大小比较，熟练掌握作差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10．【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【解答】解：因为x+y＝2，x＞0，y＞0，所以2≤x+y＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，A正确；x2+y2＝2，即最小值为2，当且仅当x＝y＝1时取等号，B错误；（）2＝x+y+2≤2+2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以≤2，即最大值为2，C错误；＝＝＝＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，即最大值为2，D错误．故选：BCD．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．11．【分析】分离参数得a≤x2﹣4x﹣1，设f（x）＝x2﹣4x﹣1，x∈[1，4]，转化为a≤f（x）max，求其最大值即可．【解答】解：不等式x2﹣4x﹣a﹣1≥0在x∈[1，4]上有解，等价于a≤（x2﹣4x﹣1）max，设f（x）＝x2﹣4x﹣1，x∈[1，4]，则f（x）＝（x﹣2）2﹣5，而f（1）＝﹣4，f（4）＝﹣1，故f（x）在[1，4]上的最大值为﹣1，故a≤﹣1，所以a的取值可以是﹣6，﹣5，﹣1．故选：ABC．【点评】本题主要考查了不等式有解问题，以及二次函数的性质，属于基础题．12．【分析】由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．【解答】解：由基本不等式可知，x＞0时，x+≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，故A正确；B：＝，当x＝0时取得等号，故B正确；C：＝，令t＝，则t≥2，因为在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时，取得最小值，故C错误；D：在x＜0时，没有最大值，故D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定，三相等条件的检验．二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上）13．【分析】先由题意将整理为，再利用“1的代换”与基本不等式的性质即可求解．【解答】解：∵x，y为正实数，且x+y＝2，∴＝1∴＝+＝＝（）•（x+y）＝1+（）≥1+＝1+，当且仅当，即y＝，x＝3﹣时取等号，∴的最小值为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查了“1的代换”与基本不等式的性质，属于基础题．14．【分析】首先判断函数的奇偶性，即可得到2m+n＝2，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．【解答】解：因为定义域为{x|x≠0}，且，所以f（x）为奇函数，因为f（2m）+f（n﹣2）＝0，所以2m+n﹣2＝0，即2m+n＝2，因为m＞0，n＞0，所以，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性，基本不等式的应用，属于中档题．15．【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）＝x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．【分析】由已知可得恒成立，可求得实数b的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）和g（x）之间存在隔离直线y＝﹣3x+b，所以当﹣x2≤﹣3x+b时，可得﹣x2+3x﹣b≤0对任意的x∈R恒成立，则b≥﹣x2+3x，即b≥﹣（x﹣）2+，所以b，当时，可得对x＞0恒成立，即≥0，令t（x）＝3x2﹣bx+1，则有t（x）＝3x2﹣bx+1≥0对x＞0恒成立，所以，解得或b＞0，即b∈（0，2]，综上所述，实数b的取值范围是．故答案为：[]．【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．四．解答题17．【分析】（1）化为x＝1，x＝2是方程x2﹣ax+b＝0的解，求出a，b，再解不等式2x2﹣3x+1＞0可得结果；（2）作差比较可得结论．【解答】解：（1）因为不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|1＜x＜2}，所以x＝1，x＝2是方程x2﹣ax+b＝0的解，由韦达定理得：a＝3，b＝2，故不等式bx2﹣ax+1＞0为2x2﹣3x+1＞0，解得其解集为或x＞1}；（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣3x+2，所以＝＝＝，所以．【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，考查转化能力，属于中档题．18．【分析】（1）根据不等式的性质，求出﹣b和的范围，即可根据性质求得；（2）令3a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），求出m，n的值，根据不等式的性质即可得到结果．【解答】解：（1）因为1＜b＜3，由不等式的性质可得﹣3＜﹣b＜﹣1，则﹣6＜﹣2b＜﹣2，又2＜a＜6，故﹣4＜a﹣2b＜4．又，2＜a＜6，故．综上a﹣2b∈（﹣4，4），（2）令3a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），（m，n∈R），即3a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，则，解得．则，，所以，即﹣2≤3a﹣2b≤10．综上3a﹣2b∈[﹣2，10]．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．19．【分析】（1）直接利用一元二次不等式和一元二次方程的关系求出结果；（2）利用分类讨论思想的应用求出结果；（3）利用基本不等式的运算求出结果．【解答】解：（1）由不等式f（x）＜0的解集为（1，3）可得：方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根为1，3且a＞0，由根与系数的关系可得：a＝1，b＝﹣2，所以：f（x）＝x2﹣4x+3；（2）由f（x）＞﹣4x+2得ax2+（b﹣2）x+3＞﹣4x+2，又因为b＝﹣a﹣3，所以不等式f（x）＞﹣4x+2，化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1；当a＜0时，，解得．若a＞0，原不等式．此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故当a＝1时，不等式的解为x≠1；当a＞1时，，不等式，解得