实验报告-卡尔曼滤波

声是白噪声，测量值的离散值讹)为已知，7；=0.025,-3.2,-0.8,-14,-16,-17,-18,-3.3,-2.4,-18,-0.3,-0.4,-0.8,-19,-2.0,-1.2,-11,-14,-0.9,-0.8,10,0.2,0.5,-0.5,2.4,-0.5,0.5,-13,0.5,10,-12,0.5,-X的波形。(1)产生三组观测数据：首先根据s(")=as(n-l)+w(")产生信号s("),将其加噪(信卡尔曼滤波原理早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。它用状态空间法描述系统，由状态方程和量测方程所组成，即知道前一个状态的估计值和最近一个观测数据，采用递推的算法估计当前的状态值。由于卡尔曼滤波采用递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很yk=Ckxk=ckAkXk~\多领域，并取得了很好的结果。卡尔曼滤波一经出现，就受到人们的很大重视，并在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统。卡尔曼滤波(1)算法是递推的，且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维理。(2)用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化。k状态变量为忑，状态方程和量测方程(输出方程)表示为忑=4也_1+叫_1yk=ckxk+vkkklQksQkkEvJO'bj=Rk，、,Vj=Rk§kj卡尔曼滤波采用递推算法来实现，其基本思想是先不考虑输入信号w*和观测噪声叫的影响，得到状态变量和输出信号(即观测数据)的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。因此，卡尔曼滤波器的关键是量测方程为Xk—ApXk-\影响，输出信号的估计值与实际值是有误差的，用儿表示yk=yk-yk，用输出信号的估计误差yk来校正状态变量(A'A(心=Akxk-i+Hkyk-yk=Akxk-i+Z/Jyk-CkAkk)、丿即加权矩阵。经过校正后的状态变量的估计误差及其均方值分xkPk正的状态变量的估计误差的均方值用Pk表示Xk=xk-Xk('\(，、丁APk=Exk_Xkxk_Xkl八丿卡尔曼滤波要求状态变量的估计误差的均方值/为最小，因此卡尔曼滤波的关键即为XkAkXkIXkAkXkI+Hk\yk~CkAkxk-iIpk=Akpt-iAI+2-ikCkPkCkQkRkykXkiPkAXo=E\X0],PO=var[x0],那么递推流程如下:2.卡尔曼滤波递推程序编程思想(1)由于信号询)为加性噪声所干扰，可知yk=xk+vk,所以Ck=1为噪声为白噪声，所以Rk=SVV(O)=1rxre^,所以/n=com=com=0m=x>Sjz=DM"=工/叫T"=》e"h"+工严厂m=-<x>加=-oozn=-oom=01(az)"_l-e~2~1-e^z+1-訂厂-7-1Qk=^l=肚[0]=E[w(")w(")]=1-严得卡尔曼实际递推公式；*=e-°-02xk-l+Hk^yk-e-Q-02二Pk=严£+1-严Pk=(I_H)PkAkXkWkVk参数值Akexp-0.02);Ck=l;值设置XPl%观测值y(k)Y.8-14-16-17-18-3.3-2.4-18-0.3-0.4-0.8-19-2.0-11-14-0.90.8100.20.52.4-0.50.5-130.510-120.5-0.67157-11-14];长度NlengthYklklXkAkXHk)*(Y(k)-Ck*Ak*X0);ekl公式Xk=Ak*X(k-1)+H(k)*(Y(k)-Ck*Ak*X(k-1));M=1:N;T=0.02*M;%作图，画出X(t)的波形figure1)plot(1r1f1LineWidth*,1);xlabeltylabely(t)*);title('卡尔曼滤波-测量信号y(t)波形1);figure2)plot(TrX,*b*,*LineWidth*,1);xlabelt');ylabel(*x(t)*);titlex(t)波形');txt)波形t维纳滤波器原理0xd伙)=Xhgrjk-m)=h(k)*q仏)mMM度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为M-1rMhmQkmhkklmRxd=Rxxh到h=RXXRMhh22)G(°)Rxd=“(o)〕s(i)“(M-1)互相关函数及观测数据的自相关函数,则可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果作量很大，并且需要计算人口的逆矩预测是根据观测到对的过去数据来估计当前或将来的信号值。维纳预测是已知以前时刻号值，即估计；("+N),N>Q,估计得到的结果仍然要求满足均方误差最小的准则。信号可以预测是由于信号内部存在着关联性。预测是利用数据前后的关联性，根据其中一部分推预测的时域解成为一步线性预测。设定系统的单位脉冲响应为//(«)□根据现行系统的基本理论，输出信号AP(上)兀(力一上)kix(n)=-^apkx(n-k)k=l+P+Pe(n)=x(n)~x(n)=x(n)-^y^ankx(n-k)=y^ankx(n-k)“1k=0Ele(nf+Px(n)+工a來x{n-kk=i值，要求8aPi到EnxnZG(/)+工％■(—/)=k=\同样满足正交性值EMLEeillxz-.r(/z)j=E[e*(”)x(”)]式可得Pp、=E%*(〃)+£%兀*(〃-k)x(n)(2)I"1)00G(I)•-rM-rMjj_aPirM••P_R中，假设a=0.2,信号s(")的初值5(l)=0orpredictLN比SNSNSN=20;%产生信号s(n)mrLSfornLS(n)=a.★S(n-1)+W(n);观测信号Am=sum(abs(S).A2)/L;VI=random(*norm*r0rPlfL,1);V2=random(*norm*r0rP2rL,1);V3=random(*norm*,0,P3zL,1);XI(n)=S(n)+VI(n);X2(n)=S(n)+V2(n);subplot(2r2Z1);plot(S,*b*);title(S(n)*);ylabel('幅度');gridplotXIb)/title(，观测信号XI(n)');ylabelsubplotplotXb);titie(*观测信号X2(n)*);ylabel(*nsubplot(2,2,4);plot(X3f1b*)le(*观测信号X3(n)*);ylabel(*n==(X);rx=zeros(1rN4-1);R=zeros(N4-1rN4-1);NLi;sumsumXjX(j+i-1);rxisumLi1);fori=1:N+1R(i,1:(i-1))=rx((i-1)：-l:l);R(i,i:(N+l))=rx(1:(N-i+2));zxrxNlap=inv(R(1:N,1:N))*(-zx)*;forjLinewlLAN生三组观测数据SNR20;SNR2=10;SNR3=6;%产生信号s(n)fornLSn=a*S(n-1)+W(n);声产生观测限号X2=awgn(SzSNR2,'measured*,XawgnSSNR'measured*r信号图像subplot(2,2,1);plot(S^*b，);titie('信号S(n)');ylabel(*fefi*)subplotplotX2rbtitle*观测信号XI(n)*);ylabel(*btitleX(n)*);ylabelsubplot(2,2,4);plot(X3r*b*);title('观测信号X3(n)*);ylabel(*幅度*);计AR模型参数tfnXL=length(X);rx=zeros(1rN+1);R=zeros(N+1rN+1);foriN4-1)rxisum(L-i+1);fori=1:N+1Rii1))=rx((i-1)：-l:l)；Rii(N+l))=rx(1:(N-i+2));apinv(R(1:1:N))*(-zx)*;xzxap4.实验结果与分析原始信号S(n)观测信号X1(n)(2)模型阶数N对实验结果的影响AR19364739AR-0.34185均方误差:0.99317XIN型参数和误差分别为:AR系数：1-0.56619-0.540050.65254-0.51327均方误差:1.2405XN型参数和误差分别为:AR系数：1-0.273430.102270.0289440.21289-0.2508误差分别为:AR系数：1-0.365940.41414-0.416650.66894-0.60712.1025AR方误差会验结果有很大影响。仿真情况有限，在以上仿真中我们可以看到当模(3)信号长度L对实验结果的影响XIN型参数和误差分别为:AR78698XN型参数和误差分别为:AR9629XN型参数和误差分别为:XIN型参数和误差分别为:增加，均方信号S(n)观测信号X1(n),SNR=20dBXIN型参数和预测误差的最小均方值分别为:观测信号X2(n),SNR=10dB观测信号X3(n),SNR=6dB超XN模型参数和预测误差的最小均方值分别为:XN模型参数和预测误差的最小均方值分别为:XIN型参数和预测误差的最小均方值分别为:XN模型参数和预测误差的最小均方值分别为:XN模型参数和预测误差的最小均方值分别为:NAR0.22397-0.243060.24469-0.13453NAR-0.25370.31482-0.190140.122430.040983NAR0.33384-0.278810.25752-0.11447XIN型参数和预测误差的最小均方值分别为:AR系数：1-0.0857460.17042-0.248870.3049-0.290130.34871-0.331290.48704-0.399420.37265NAR系数：1-0.101830.20689-0.18967