2020-2021学年乐山市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年乐山市高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知命题p：任意久ER,sin%<1,则它的,否定是()

A.存在I€Rsitu21B.任意IeR$in121

c.存在在Rsitu>lD.任意RsiiuNl

2.(8类题)如图，已知六棱锥P—HBCDEF的底面是正六边形，1平

面ABC,PA=43AB,则下列结论正确的是()/

A.PB1AD/

B.平面P4BJ_平面PBC2^---------y

C.直线BC//平面PAE

D.APFB为等边三角形

3,圆/+y2一6x=0的圆心恰为y2=2px(p>0)的焦点，贝l]p的值为()

A.4B.5C.6D.7

4.下列四个命题：

①定义在阿0上的函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充要条件是f(a)f(6)<0；

②关于x的方程/+ax+2=0一根大于1且另一根小于1的充要条件是a<-3；

③直线人与％平行的充要条件是4与％的斜率相等；

222

④已知p：椭圆B+2y2=1的焦点在y轴上，q：双曲线枭+£=1的焦点在%轴上，当p/\q为真

时，实数k的取值范围是(0,9,

其中正确命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

5.已知方=(1,2/)1=(%,1,2)，且0+2方)〃(2)一%)，则%4=()

A.-B.2C.—|D.—1

6.已知直线/为抛物线y2=2px(p>0)的准线，F为其焦点，直线AB经过F且与抛物线交于A,B两

点.过点48做直线1的垂线，垂足分别为C,D,线段CD的中点为M,。为坐标原点，则下列

命题中错误的是()

A.CF-DF=0B.=0

C.存在实数；l使得力？=AODD.三角形/MB为等腰三角形

7.如图，在直三棱柱（即1面4BC）中，AC=AB=

AAt=V2,BC=2AE=2,则异面直线/E与&C所成的角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

22

8.已知P为椭圆2+匕=1上的点，点M为圆G：（%+3）2+y2=1上的

2516

动点，点N为圆C2：。一3/+y2=i上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（）

A.8B.12C.16D.20

9.两圆相交于点4（1,3）、两圆的圆心均在直线x—y+c=0上，则m+c的值为（）

A.3B.2C.0D.-1

10.已知双曲线的一个焦点为&（5,0）,它的渐近线方程为y=±1x,则该双曲线的方程为（）

,,2,,222-.2-.22

A.--匕=1B.匕一v土=1C.Y--^=1D.匕一v二=1

169169916916

11.如图,甲、乙、丙所示是三个立体图形的三视图，与甲乙丙相对应的标号是（）

①长方体

A.④②③B.①②③C.③②④D.④②①

12.如图，点E是矩形4BCD的边BC上一点，将AABE沿直线AE折起至AAEM,点M在平面4ECD上

的投影为。，平面4EM与平面力ECD所成锐二面角为a,直线MC与平面4ECD所成角为.，若OB=

OC,则下列说法正确的是（）

M

D

C.a<2/?D.无法确定

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.不等式组的解集记为。，有下列四个命题：其中真命题是____

1%Ly4,

(1)：V(x,y)eD,x+2y>—2

(2)：3(x,y)GD,%+2y>2

(3)：V(x,y)ED,%+2y<3

(4)：%+2y<-1.

14.已知ATIBC的顶点8、c在椭圆1r上,/7上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦

点在BC边上，贝必4BC的周长是

15.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球

两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为

2

16.已知双曲线C；y-y2=1,P,Q是平面内的两点，P关于两焦点的对称点分别为4,B(P与焦

点不重合)，线段PQ的中点在双曲线C上，则MQ|—|BQ|=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在三棱柱力BC-中，44]i底面743c且△/比为正三角形，A4]=4B=6,为

4c的中点•

(I)求证：直线AB1〃平面BC]D；

(口)求证：平面平面4CC14；(皿)求三棱锥c-Bq。的体积.

18.已知双曲线C与双曲线＞2-2/=2有公共渐近线，且过点M(2,/).

(1)求双曲线C的方程；

(2)若&,尸2是双曲线C的左右焦点，过尸2且倾斜角为30°的直线交双曲线c于4B两点，求ANFiB的

面积.

19.如图，四边形ABCD中，AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分另U在BC,AD上，

EF//AB,现将四边形48CD沿EF折起，使平面4BEF_L平面EFDC.

(1)若BE=1,是否在折叠后的线段4D上存在一点P,且羽=APD，使得CP〃平面A8EF?若存在，

求出2的值，若不存在，说明理由；

(2)求三棱锥力-CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E-AC-F的余弦值.

20.如图，抛物线C：必=20刀的焦点为F(l,0),E是抛物线的准线与x轴的交点，直线4B经过焦点尸

且与抛物线交于4,8两点，直线AE,BE分别交y轴于M,N两点，记ATlBE,AMNE的面积分

别为S「S2.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)高是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

(3)求Si+S2的最小值.

21.如图，在等腰梯形4BCD中，AB//CD,乙4BC=5BC=CD=CE=1,

EC1平面2BCD,EF'LALP是线段EF上的动点.

(1)求证：平面BCE1平面4CEF；

(2)求平面P42与平面8CE所成锐二面角。的最小值.

22.在平面直角坐标系式。丫中，直线/：y=依+/n(/c>0)交椭圆氏9+、2=1于两点。，D.

(I)若m=k=且点P满足税+说+赤=6,证明：点尸不在椭圆E上；

(II)若椭圆E的左，右焦点分别为0,F2,直线/与线段F1F2和椭圆E的短轴分别交于两个不同点M,

N,且|CM|=|DN|,求四边形CF1DF2面积的最小值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析:解:命题为全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题，得命题的否定是:存在久GR,sinx>1,

故选：C.

2.答案：D

解析：解：•••4D与PB在平面的射影力B不垂直，

a不成立，

又平面P4B1平面PAE,

二平面24B_L平面PBC也不成立；BC〃A。//平面PAD,

直线BC〃平面P4E也不成立.

vPA=陋AB，PA1平面4BC

PF=PB,BF=WAB

为等边三角形，

故选：D.

利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案.

本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质，属于基础题.

3.答案:C

解析：解：,圆尤2+y2-6%=0的圆心(3,0),y2=2px(p>0)的焦点g,0),

圆心恰为*=2px(p>0)的焦点，

•••^=3,p=6.

故选：C

圆/+y2-6久=0的圆心(3,0),y2=2p久(p>0)的焦点《,0),两个点重合，即可求出P的值.

本题综合考查了圆，抛物线的几何性质，基础难度不大，很容易做出来.

4.答案:B

解析：解:①定义在［a,句上的函数y=/(%)在(a,b)内若/(a)f(b)<0,则函数/(%)有零点,反之不

一定成立，比如/(X)=因在［―1,1］存在零点0,但/(—1)/(1)〉0,.•.①错误；

②若关于x的方程/+ax+2—。一根大于1且另一根小于1,则设/(尤)=x2+ax+2,则/'(1)=3+

a<0,即a<—3,.,.②正确；

③若人与％的斜率相等，则直线%与%平行，但%与％的倾斜角为90°时，满足两直线平行，但匕与G的

斜率不存在，.•.③错误；

21722

④若椭圆2+2y2=1的焦点在y轴上，贝Uo<k—3<；,即3<k<；,若双曲线3+1二=1的焦

K—3NN2.KK.-4

点在工轴上，则［匕Ho,即0<k<4,

・•・当p/\q为真时，p，q同时为真，即FvkV5,解得3<k<g.•.实数k的取值范围是(3,9,.•.④错

(.0<fc<422

误.

故正确的是②，

故选：B.

①根据函数零点存在定理进行判断.

②根据一元二次函数根的分布进行判断即可.

③根据直线平行的充要条件，即可判断.

④根据椭圆和双曲线的定义，以及复合命题的关系即可判断.

本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，考查学生的综合知识的应用.

5.答案：B

解析：

本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、考查了计算能力，属于基础题.

由位+2及〃(2五—尤)，可得存在实数k使得N+2B=k(23一母，利用向量相等即可得出.

解：a+2Z?=(1+2%,4,4+y)>2a—/?=(2—x,3,2y—2)>

(a+2K)//(2a-K).

.,.存在实数k使得日+2b=k(2a-b),

1+2x=k(2—%)

4=3fc,解得％=%y=4.

4+y=k(2y-2)

：.x-y=2.

故选：B./

c------------~^TA

6.答案：D-

解析：解：4、由于4B在抛物线上，根据抛物线的定义可知一/彳//

抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，即C4=AF,DB=BF,

因为C、。分别为4、8在I上的射影，所以故A正确；

B、取4B1久轴，则四边形ABDC为矩形，

则MF在X轴上，故MF14B；不垂直时可设4B方程并与抛物线联立，可求得MF斜率与4B斜率之积

为-1,故B正确；

C、取481x轴，则四边形力BDC为矩形，

则可知4。与CB交于原点，故A。过原点，则C正确；

D、如图知，若48与x轴不垂直，则四边形ABDC为梯形，即得4CKBD,

又由CM=MD,ZXCM=ABDM,贝i]AM4BM,则。错误.

故答案为。.

A、由于4,B在抛物线上，根据抛物线的定义可知CF=4F,DF=BF,从而由相等的角，由此可

判断CF1DF；

B、取4B1久轴，则四边形4BDC为矩形，不垂直时可设力B方程并与抛物线联立，可求得MF斜率与

4B斜率之积为-1,则可得结论；

C、取轴，则四边形2BDC为矩形，则可得结论；

。、取力B与％轴不垂直，则四边形4BDC为梯形，则可得结论.

本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义.

7.答案：C

解析：解：取Big.的中点连结力送1，EQ

根据勾股定理可得，△ABC是等腰直角三角形，又•：BC=2AE=2,

可得4E为直角三角形斜边上的中线，

・••4E1同样是斜边上的中线，「aE〃&NE/iC是异面直线4E与41C所成的角，

AC=AB——AA1=-2,A^B-^-711C1=AB=AC—V2,

4向+=Bi。/,即a/iia©,

]

Rt△i41B1C14»=1,

在正方形4416。中，41c=V2,4___________G

E±C=J"/+E]C/=V3>

22

：.+ErC=ArC,即&E11ECP\

RtA&EiC中，（：05/々力道=兼=aA\\--------:金

••・异面直线4E与&C所成的角是60。.

故选：C.

取B16的中点位，连结EQ由4E〃&Ei，得NEiAC是异面直线4E与&C所成的角，由此能

求出异面直线力E与&C所成的角.

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空

间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题.

8.答案：B

解析：

本题考查椭圆的定义、方程和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和圆的性质的合理

运用，属于中档题.

由题设知椭圆E+艺=1的焦点分别是两圆(久+3)2+y2=1和(久一3)2+y2=1的圆心，运用椭圆

2516

的定义,由此能求出|PM|+|PN|的最大值为2a+2.

22

解：依题意，椭圆匕=1的焦点为(-3,0),(3,0),

2516

分别是两圆(久+3)2+y2=1和(x—3)2+y2=1的圆心，

所以(|PM|+\PN\)max=\PC.\+\PC2\+2

=2x5+l+l=12,

故选：B.

9.答案:A

解析：试题分析：由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，0中点为□代入直线得

S，□

考点：圆与圆的位置关系

点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线

10.答案：C

解析：解：•••双曲线的渐近线方程为y=±:X,即W—[=0，

22

.•.对应的双曲线方程为菅—工=/UK0,

,••双曲线的一个焦点为&(5,0),

c=5,且4>0,

?7

则A"

贝UM=92,b2=16A,

则=9A+16a=25A=25,

则a=1,

27

即双曲线的方程为二—匕=1,

916

故选:C

根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可.

本题主要考查双曲线方程的求解，根据双曲线渐近线方程设出渐近线方程，利用待定系数法进行求

解是解决本题的关键.

11.答案：A

解析：解：根据几何体的三视图知,

甲是圆柱，乙是圆锥，丙是三棱锥;

则甲乙丙对应的序号是④②③.

故选：A.

根据几何体的三视图得出与甲乙丙相对应的几何体.

本题考查了根据几何体的三视图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题.

12.答案：A

解析:解：当OB=0c时,NMB。=Z.MC0=

设B。交力E于F,贝ijAE1MF,乙MFO=a,

又由于BF=MF,•••乙MBF=ZFMF=/?,

2/3=a,

故选：A.

利用几何体判断a,£的对应角，然后判断大小

即可,

本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考查考生空间想

象能力和作图能力，属于中档题.

13.答案：(1)(2)

解析：解：作出不等式组

(x+y>1

表示的区域:

(%—2y<4

由图知，区域D为直线x+

y=1与x-2y=4相交的

上部角型区域，

显然，区域。在x+2yN

-2区域的上方，故(1)：

V(x,y)eD,x+2y>-2

成立.

由图知，在直线比+2y=2的右上方区域，：3(%,y)eD,x+2y>2,

故(2”Q,y)e。，x+2y22正确.

由图知，03：V(x,y)eD,久+2yW3错误.

x+2y<-1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域。下方，

同理，P4：3(^,y)GD,x+2y<-l错误.

综上所述，⑴、(2)正确,

故答案为：(1)(2).

作出不等式组『十；的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.

(%—zy<4

本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题.

14.答案：4收

解析：试题分析：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,

可得△ABC的周长为4a=4收，所以，答案为4格.

考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质。

点评：简单题，涉及椭圆的焦点弦时，往往要运用椭圆的定义。

15.答案：2+辿

3

解析：解：上面三个球的球心所在平面EFG与下面三个球的球心所在平面力BC平行,

且平面EFG与圆柱上底面的距离为1,平面力BC与圆柱下底面距离为1,

如图：

E

△ABC与AFFG均是边长为2的等边三角形，设上下底面的中心分别为01，02,

连接。1。2，则。1。2为平面4BC与平面EFG的距离，

取FG中点M,则AM=W，EM=V3,M01=y,

取BC中点K,连接4K,贝Uz02=竽，可得4N=A。？一MO1=日，

...010?=MN=J（百尸一（当2=乎，

则该圆柱体的高的最小值为2+2.

3

故答案为：2+辿.

3

通过分析，可知上面三个球的球心所在平面EFG与下面三个球的球心所在平面力BC平行，且平面EFG

与圆柱上底面的距离为1,平面力8c与圆柱下底面距离为1,再求出平面A8C与平面EFG的距离，即

可求得圆柱体的高的最小值.

本题考查圆柱内切球有关的问题，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，难度较大.

16.答案：+4V3

\BQ\=2\MF2\,

.■.\AQ\-\BQ\=2(<\MF1\-\MF2\),

・・•点M在双曲线上，

\MF±\-\MF2\=±2百，

•••\AQ\-|BQ|=±4V3.

故答案为：±4旧.

设PQ的中点为M,作出示意图，结合双曲线的定义及中位线的性质即可得解.

本题考查双曲线的定义及三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于基础题.

17.答案：（/）证明：连接B：C交BC：于点0,连接0D,则点0为时的中点，

为AC中点，得D0为，18c中位线，，43OD，

•：ODu平面44c二平面直线AB：〃平面BC：D;

（〃）证明：..,区4一底面以灰7,.•.14-BD，

...底面.13。正三角形，D是AC的中点/.BD1AC>

必r\AC=A，二BD_L平面ACC：&，•:BDu平面BCQ,二平面一平面4CG4

（/〃）：9点.

解析：解：

。）证明：连接B：C交g于点0,连接0D,则点。为B：C的中点，

；D为AC中点，得D0为爪15。中位线，」.43OD，

•.•ODu平面典;平面H5。,直线AB：〃平面BC-D;

（〃）证明：：W4-底面H3C,「.W&_BD，

..・底面H8C正三角形，D是AC的中点.'.BD±AC>

^<ic/c=A，/.BDJ•平面ACCA>•:BDU平面BCQ,二平蒯G。一平面4cq.4；

1

（/〃）由（2）知△4BC中，BD_LAC,BD=BCsin60°=3\l；3'，，$=,X3X3,

=Vr.Dn=—0-^^'6=9V3.

又CC：是底面BCD上的高，--ayu»_—w；su32*

18.答案：解：（1）由题意，设所求双曲线方程为y2—2/=3

代入点M（2,&）,可得4=-6,

则所求双曲线的方程为史-加=1.

36

（2）由双曲线的方程得&（一3,0）,尸2（3,0），

,•,直线的倾斜角为30。，

.••直线4B的方程为y=一3）,

代入到匕—艺=1,消y可得5久2+6%-27=0,

36

设力（久1，乃），8（久2，%），

,627

%1+%2=―，X1X2=一g，

\AB\=Jl+|-+叼）2—4叼久2=

设Fl到直线4B的距离为d,贝Ud=L3一丁31=3,

的面积S=||aB|-d=1x警x3=等

解析：（1）由题意，设所求双曲线方程为*-2/=九代入点”（2,a）,可得2=-6,问题可得，

（2）根据双曲线的标准方程，确定焦点坐标，进而可得直线的方程，与双曲线联立，利用韦达定

理，可计算MB|,再根据点到直线的距离公式求出d,根据三角形的面积公式计算即可.

本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，三角形的面积公式，考查学生的计算

BE=1,可得F(0,0,0),4(0,0,1),D(0,5,0),C(2,3,0).

可得平面2BEF的法向量为丽=(0,5,0).

■.■AP^APD，.-.FP=^-FA+^-FD=*(0,0,1)+*(0,5,0)=(。,言击)

・••P(哈，击)，

二方=(—2,争，告)，则方,而=%2=°，解得2=

1+A1+A1+Az

.•・线段4。上存在一点P(0,3,|),且布=|前，使得CP〃平面48EF.

(2)设BE=a,AF=a(0<a<4),FD=6-a.

•••V三棱锥A-CFD=|xaxjx2x(6-a)=|a(6-a)<|x(生尸/=3)当且仅当a=3时取等号.

・•・当a=3时，三棱锥4-CDF的体积有最大值3.

可得4(0,0,3),D(0,3,0),C(2,l,0),E(2,0,0),

.,.荏=(2,0,—3)，前=(2,1,—3),同=(0,0,3),而=(2,1,0).

设平面4CE的法向量为沅=(比1，%,21),则m-AC=0

~m-~AE=0

(2x+yi—3zi=0

r,令％i=3,解得力=0,Zi=2,

(2x1—3zr=0

.・.m=(3,0,2).

设平面acF的法向量为元=(如月多)，则性巨=°

(n-FC=0

同理可得元=(1,—2,0),

,―>—、m-n33A/65

.-.cos<m,n>=—=7^==—,

二面角E-AC-F的余弦值为逅.

65

解析：(1)由EF//4B,ABA.AD,可得EF1AF,EF1FD,折起后平面力BEF1平面EFDC,可得力F1

平面EFDC,假设线段力。上存在一点P,且Q=APD，使得CP〃平面4BEF,若BE=1,可得平面力BEF

的法向量为丽=(0,5,0).由布=44，可得丽=展而+击的可得方，利用衣•丽，解得2即

可判断出.

(2)设BE=a,可得4F=a(0<a<4),FD=6-a..V^^A_CPD=|xax|x2x(6-a),利用基

本不等式的性质可得：当且仅当a=3时取等号.三棱锥4-CDF的体积有最大值.设平面4CE的法

向量为记=(/,%0),利用口||二；，可得沆设平面4CF的法向量为元，同理可得元，利用cos<

万，元>=晶即可得出.

本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用向量垂直与数

量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

20.答案：解:(1)抛物线C：y2=2Px的焦点为F(l,0),

即有］=1,即p=2,可得抛物线的方程为必=轨；

(2)由已知可得F(l,0),由于直线4B的斜率不可能为0,

可设力B：x=my+1,联立I消去x可得y?—4my-4=0,

设8(%2，丫2)，则为+丫2=4徵,月丫2二一4，

2

所以Si=1\EF\­|yi-y2l=|x2xJ(%+%)2—4yly2=4V1+m,

2

而=%i+犯+2=my1+1+my2+1+2=m(y1+y2)+4=4(1+m),

所以爵=4(定值)；

I2101

(3)直线4E：y=^(x+l),可得M(0,等同理可得N(0,焉)，

所以S2=^xlx|^——=i|^------^|,

111

小42x2+lXt+12my2+2桃n+2”

即S=I.2--I=——=1

2>222?

2my1y2+2m(y1+y2)+4|-4m+8m+4|Vl+m

所以Si+S=4V1+m2+-r==,

2Vl+m2

令71+*=>1),则S］+S2=4t+p

设/⑷=4t+/t21,广⑷=4>0,即/•«)在［l,+8)递增,

可得Si+S2>5,

故&+S2的最小值为5,此时直线1无轴.

解析：(1)由抛物线的焦点坐标，可得(=1,解得p,可得抛物线的方程；

(2)设4B的方程，与抛物线的方程联立，消去无，可得y的二次方程，运用韦达定理和三角形的面积

公式，结合抛物线的定义可得|4B|,相除，可得定值；

(3)求得直线2E的方程，求得M的坐标，同理可得N的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和

对勾函数的单调性，可得所求最小值.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线

的方程，运用韦达定理，考查三角形的面积公式和对勾函数的单调性的运用，突出考查方程思想和

运算能力，属于中档题.

21.答案：解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，

TTX

•••AB11CD,^ABC=BC=CD=1,、

3*r/\!\

I___

AB=2,

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos-=3,<>

3

■■.AB2=AC2+BC2,故ACLBC,

EC1平面ABCD,

EC1AC,

又ECClBC=C,ECu平面BCE,BCu平面BCE,

AC_L平面BCE,

又力Cu平面力CEF,

平面8CE_L平面ACEF；

(2)由(1)可知，以C为坐标原点，直线C4,CB,CE分别为%轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

令EP=2(0<2<V3),则C(0,0,0),4(8,0,0),5(0,1,0),P(2,0,1),

AB=(-V3,1,0),BP=(A,-1,1).

设平面P4B的一个法向量为南=(久,y,z),贝4千.丝=_禽乂+?=0,可取沅=(1,怖,g