高考数学一轮复习滚动测试卷三第一~七章含解析新人教A版理.2

滚动测试卷三(第一~七章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M={x|x2-4x+3<0},集合N={x|lg(3-x)>0},则M∩N=()A.{x|2<x<3} B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2} D.⌀答案:C解析:由x2-4x+3<0,可得(x-1)(x-3)<0,即1<x<3,故M={x|1<x<3};由lg(3-x)>0=lg1,可知3-x>1,即x<2,故N={x|x<2};因此,M∩N={x|1<x<2},故选C.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边为a,b,c,B=60°,a=4,其面积S=203,则c=()A.15 B.16 C.20 D.421答案:C解析:由三角形面积公式可得S△ABC=12acsinB=12×4×c×sin60°=203,据此可得c=3.设命题p:∀x>0,lnx>lgx,命题q:∃x>0,x=1-x2,则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(p)∧(q)C.p∧(q) D.(p)∧q答案:D解析:当x=1时,lnx=lgx=0.故命题p是假命题.画出y=x与y=1-x2的图象(图略),可知当x∈(0,+∞)时两个图象有交点,故命题q是真命题.因此(p)∧q是真命题.故选D.4.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e20183πA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:由欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)可得,e20183πi=cos20183=cos672π+2=cos23π+isin23π=-cosπ3+isinπ∴e20183πi5.(2020全国Ⅲ,理9)已知2tanθ-tanθ+π4=7,则tanθ=A.-2 B.-1 C.1 D.2答案:D解析:由已知得2tanθ-1+tanθ1-tanθ=7,即tan2θ-4tanθ+4=6.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2a-A.-53 B.1 C.2 D.答案:B解析:∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,∴a·b=2m-2=0,解得m=1,∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,∴|2a-7.函数f(x)=13x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为(A.2 B.3 C.6 D.9答案:B解析:因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16 B.8 C.4 D.2答案:C解析:设等比数列{an}的公比为q(q>0),则a1(所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.9.已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)答案:B解析:∵实数a,b满足2a=3,3b=2,∴a=log23>1,0<b=log32<1.∴函数f(x)=ax+x-b=(log23)x+x-log32在R上单调递增,且其图象是连续的.∵f(0)=1-log32>0,f(-1)=log32-1-log32=-1<0,∴f(x)=ax+x-b的零点所在的区间为(-1,0),故选B.10.将函数f(x)=sin2x+π3的图象向右平移π6个单位,得到函数gA.g(x)的周期为π B.x=π6是g(xC.gπ6D.g(x)为奇函数答案:B解析:g(x)=sin2x,周期为π,A正确;gπ6=sinπ3=32,B不正确,C正确;g(x)11.已知x,y满足y≥x,x+y≤2,xA.1 B.13 C.14 D答案:D解析:画出不等式组y≥x,x+y≤2,x≥a所表示的平面区域及直线2x+y=0,如图,平移该直线,当平移后的直线经过该平面区域内的点(1,1)时,相应直线在y轴上的截距最大,此时z=2x+y取得最大值3;当平移后的直线经过该平面区域内的点(a,a)时,相应直线在y轴上的截距最小,此时z=2x+y12.若函数f(x)=x-x-alnx在区间(1,+∞)内存在零点,则实数a的取值范围为()A.0,12 B.12,e C.(0,答案:D解析:(方法一)f'(x)=1-12注意到函数y=2x-x在区间(1,+∞)内单调递增,且2x-x>1.若a≤12,则1-2a≥0,则f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,故f(x)>f(1)=0,不合题意,应舍去当a>12时,此时存在x0∈(1,+∞),使得当x∈(1,x0)时,f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f(x)单调递增.因为f(1)=0,所以f(x0)<0.又因为f(a+1)2>0,所以此时f(x)在区间(1,+∞)内必定存在零点(方法二)函数f(x)在区间(1,+∞)内存在零点,即方程x-x-alnx=0在区间(1,+∞)内有解,设t=x(t>1),则方程可化为t2-t-2alnt=0(t>1),显然当a=0时,方程在区间(1,+∞)内无解;当a≠0时,方程可化为12a(t-1)=lntt,通过研究直线y=12a(t-1)与曲线y=lntt二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a·log2(2b)取得最大值.

答案:4解析:由题意,知log2a·log2(2b)≤log2a+lo当且仅当log2a=log2(2b),即a=2b时等号成立.又因为ab=8,且a>0,所以a=4.14.已知函数f(x)=2x-2,x≤1,-log2(x+1),答案:-7解析:当a≤1时,f(a)=2a-2=-3,即2a=-1,不符合题意,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.故f(5-a)=f(-2)=2-2-2=-7415.记Sn为数列{an}的前n项和,若S2=3,an+1=Sn+1(n∈N*),则通项公式an=.

答案:2n-1解析:当n≥2时,an=Sn-1+1,故an+1-an=Sn-Sn-1,an+1-an=an,an+1=2an,an+1an=2.当n=1时,a2=S1+1=a1+1,又S2=a1+a2=3,则a1=1,a2=2,a2a1=2.综上,数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,16.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是.

答案:-13解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax.由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在区间(-1,0)内单调递减,在区间(0,1)内单调递增,故当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.于是,f(m)+f'(n)的最小值为-13.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在数列{an}中,已知a1=1,a2=2,2an+1-an=an+2-2.(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;(2)设cn=2n·2bn,求数列{cn}的前n项和S解:(1)∵2an+1-an=an+2-2,∴an+2-an+1=an+1-an+2,∴bn+1-bn=2,即{bn}是以2为公差的等差数列.由题意知b1=a2-a1=2-1=1,∴bn=1+2(n-1)=2n-1.(2)cn=2n·22n-1=n·4n.∴Sn=1×4+2×42+…+n·4n,①∴4Sn=1×42+2×43+…+n·4n+1.②①-②,得-3Sn=4+42+43+…+4n-n·4n+1=4-4n+11-4-n∴Sn=(318.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bsinC+π(1)求角B的大小;(2)若点M为BC中点,且AM=AC,求sin∠BAC.解:(1)∵2bsinC+π∴2sinBsinC·32+cosC即3sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,∴3sinBsinC=cosBsinC+sinC,∴3sinB=cosB+1,∴2sinB-π6=1,∴(2)(方法一)取CM的中点D,连接AD,则AD⊥CM.设CD=x,则BD=3x.由(1)知B=π3,则AD=33x,故AC=27x由正弦定理知,4xsin∠BAC=(方法二)由(1)知B=π3,又M为BC中点,故BM=MC=a在△ABM与△ABC中,由余弦定理分别得:AM2=a22+c2-2·a2·c·cosB=a24+c2-ac2,AC2=a2+c2-2ac·cos又AM=AC,故a24+c2-ac2=a2+c即c=3a2,则b=7由正弦定理知,asin∠BAC=719.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c=a+2bcosA.(1)求角B;(2)若c=7,bsinA=3,求b.解:(1)由已知及正弦定理可得,2sinC=sinA+2sinBcosA,所以2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+2sinBcosA,即2sinAcosB=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=12又0<B<π,故B=π3(2)在△ABC中,由正弦定理可得asin所以asinB=bsinA=3,由(1)知B=π3,所以a=由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accosB=39,所以b=39.20.(12分)设数列{an}满足a1=12,an=2an-1+1an-(1)证明:数列an-1a(2)设cn=(3n+1)an,证明:数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.答案:证明(1)由条件,得an-1=2an-1+1an-1+2-1=an+1=2an-1+1an-1+2+1=由a1=12知an>0,∴an+1>0①÷②,得an-1an+1=1且a1-1a∴an-1an+1是首项为因此,an-1an+1=-13·1(2)由(1)得,cn=(3n+1)an=3n-1.(反证法)假设存在正整数l,m,n且1≤l<m<n,使得cl,cm,cn成等差数列.则2(3m-1)=3l+3n-2,即2·3m=3l+3n,所以2·3m-l=1+3n-l,即2·3m-l-3n-l=1,则3m-l·[2-3n-l-(m-l)]=1,得3m-l·(2-3n-m)=1.∵l,m,n∈N*,且1≤l<m<n,∴3m-l∈N*,3n-m∈N*.∴2∴n∴l=m=n,与l<m<n矛盾,故假设不成立,所以在数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.21.(12分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1000m2,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1270元.注:每平方米平均综合费用=购地费用+(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?解:(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为(10×1000×5)m2,则所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10,因此1270={16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10}÷(10×1000×5),解得k=50.(2)设小区每幢为n(n∈N*)层,每平方米平均综合费用为f(n),由题设可知f(n)={16000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10}÷(10×1000×n)=1600n+25n+825≥21600×25+当且仅当1600n=25n,即n=8时,等号成立故该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1225元.22.(12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解:(1)由题