人教版八年级上册数学教案1 1 .2 .2 三角形的外角

11.2.2三角形的外角

【教学目标】

知识与能力

1.理解三角形的外角的概念.

2.探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

能运用三角形外角的性质解决简单问题.

过程与方法

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步

养成数学推理的习惯.

情感态度与价值观

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心.

【重点难点】

重点：1.理解三角形的外角的概念.

2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

难点：掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

教师出示问题：在一次飞机模型的设计大赛上，李东与王师傅在做最后的

准备工作，其中需要一个零件的形状如图所示,按规定NA应等于90°，/

B,NC应分别等于32°和21°,李东量得3BDC=148°,话音刚落，王师傅就

脱口而出：这零件不合格.

c

A'----J-----'-B

教师:聪明的同学，你知道王师傅的判断依据是什么吗？通过这节课的

学习，我们就可解决上面问题.

二、探究归纳

活动一：探索三角形外角的特征

【问题】

1.三角形内角和为.在4ABC中，若NA=35°,NABC=80°,则N

C=.

2.如图，在上题图中，若将边CB延长至D,则可以得到一个新卜

角,这个角还是三角形的内角吗？/\

概念:三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做CB

三角形的外角.

教师要求学生按照对外角概念的理解在纸上画出三角形的外角，并进行点

评.

巩固练习：（1）Z1是哪个三角形的外角？（N1是AABD的外角.）

（2）Z2是哪个三角形的外角？（N2是4PDC的外角）

A

B■C

点拨:三角形的外角的三个特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上.（2）一条

边是三角形的一条边.（3）另一条边是三角形的某条边的延长线.三角形每

个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角.

根据不同的结果,提出：一个三角形有多少个外角？每个外角与内角有什么

关系？

活动二:探索与证明三角形的外角的性质：

【问题】三角形的外角与内角有什么关系？

首先,从相等关系出发,观察我们最熟悉的这个三角板：

发现：（l）NACD+NACB=180°（相邻），

点拨:位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角.

数量关系:三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°

⑵三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间有何关系？

NACD=NA+NB（不相邻）.

即:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

活动三:证明三角形外角的性质

【问题】思考：如何说明NACD=NA+NB?你能写出证明过程吗?

解:方法1:如图，因为NACD+NACB=180°（邻补角的定义）,

所以NACD=180°-ZACB,

又因为NA+NB+NACB=180°（三角形内角和定理），所以NA+NB=180°

-ZACB,所以NACD=NA+NB（等量代换）.

方法2:如图，过点C作CE〃AB.因为CE〃AB（已俏，

A

BCD

所以NECD=NB（两直线平行，同位角相等），

NACE=NA（两直线平行，内错角相等）.

所以ZACD=ZACE+NECD=ZA+ZB（等量代换）.

其他方法：

总结：三角形外角的性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和.这是三角形内角和定理的推论.

2.推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理

的依据.

【拓展】（1）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

A

BCD

⑵符号表示：NACD>NA,ZACD>ZB

活动四：探索三角形的外角和

【问题】

1.定义（规定）：如图所示,在每一个顶点上取一个外角，如Nl,Z2,N3,它

们的和叫做三角形的外角和.

2.三角形外角和定理：

如图，Zl,Z2,Z3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少?

分析：Z1与NBAC,Z2与NABC,Z3与NACB有什么关系？NBAC,ZABC,Z

ACB有什么关系？

方法一:根据同顶点的外角与内角互为邻补角和三角形内角和定理证明；

方法二：根据一个外角等于和它不相邻的两个内角的和及三角形内角和定

理证明.

解：方法一：因为Nl+NBAC=180°,N2+NABC=180°,Z3+ZACB=180°,

所以Nl+NBAC+N2+NABC+N3+NACB=540°.

又NBAC+NABC+NACB=180°,

所以Nl+N2+N3+180°=540°.

所以Nl+N2+N3=360°.

方法二：因为N1=NABC+NACB,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZABC+ZBAC,

所以N1+N2+N3=NABC+ZACB+ZBAC+ZACB+ZABC+ZBAC=2(ZABC+Z

ACB+

ZBAC)=2X180°=360°.

学生思考别的解法,教师订正：

方法三:通过添加平行线,根据：“两直线平行，同位角相等”证得结论.

过A作AD〃BC,

所以/3=N4,Z2=ZBAD,

所以N2+N3=N4+NBAD,

所以N1+N2+N3=N1+N4+NBAD=36O°.

你能用语言叙述本例的结论吗?

总结：三角形外角和性质：三角形外角的和等于360°.

注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是外

角数目一半的和•同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换

的最基础的依据.

活动五:例题讲解

【例1］如图，D是NABC的BC边上一点，ZB=ZBAD,ZADC=80°,Z

BAC=70°.AD平分NBAC.

求：（1）ZB的度数.（2）ZC的度数.

分析：（1）先由三角形外角的性质得出NADC=NB+NBAD,再由NADC=80°,

ZB=ZBAD即可得出NB的度数.

⑵直接根据三角形的内角和定理得出ZC的度数.

解：（1）因为NADC是AABD的一个外角，

所以NADC=NB+NBAD,

又因为NADC=80°,ZB=ZBAD,

所以NBjNADC』X80°=40°.

22

⑵在aABC中，因为NBAC+NB+NC=180°,

所以NC=180°-ZB-ZBAC=180°-40°-70°=70°.

［例2］已知:如图，在AABC中,AD平分外角NEAC,ZB=ZC.

求证：AD〃BC.

E,

BL二------------

分析：由角平分线定义可得NC』NEAC,再由三角形外角性质可得NDAC=N

2

C,然后利用平行线的判定定理即可证明题目结论.

证明：因为NEAC=NB+NC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和），NB=ZC（已知），所以NC=%NEAC（等式性质）.

2

因为AD平分NEAC（已知）.

所以NDACjNEAC（角平分线的定义）.

2

所以NDAC=NC（等量代换）.所以AD〃BC（内错角相等,两直线平行）.

［例3］如图,一个直角三角形纸片，剪去直角后,得到一个四边形,则N1+

Z2=.

A

BC

解：由三角形外角性质定理可知，Nl=90°+ZAED,Z2=90°+NADE,所以

Z1+

Z2=90°+ZAED+900+ZADE.

因为90°+ZAED+ZADE=180°,

所以Nl+N2=180°+90°=270°.

答案：270°

【例4】已知：国旗上的正五角星形如图所示.

求：NA+NB+NC+ND+NE的度数.

A

BE

CD

分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中，运用三角形内角和

定理来求解.

解：因为N1是ABDE的一个外角（外角的定义），

所以N1=NB+ND（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.

又因为N2是AEHC的一个外角（外角的定义），

所以N2=NC+NE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.

又因为NA+N1+N2=18O°（三角形内角和定理）.

所以NA+NB+NC+ND+NE=180°（等式性质）.

总结:运用三角形内角和定理及外角性质可得五角星五个角的和是180°.

三、交流反思

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤:观察一一归纳一一猜想一一证明.

2.通过本节课探索得到三角形的外角的性质，能运用三角形外角的性质解

决简单问题.

四、检测反馈

1.如图,CE是AABC的外角NACD的平分线，若NB=35°,NACE=60°,则N

A=

（）

A.35°B.95°C.85°D.75°

2.如图,AB〃CD,NB=68°，/E=20°,则ND的度数为（）

A

A.28°B.38°

C.48°D.88°

3.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角

的三角板的一条直角边在同一条直线上,则N1的度数为（）

A.75°B.65°C.45°D.30°

4.如图，已知NCAE是4ABC的外角，AD〃BC,且AD是NEAC的平分线.若N

B=71°,则NBAC=.

5.右图是某工厂生产的一种零件，如果三个锐角的和为135。，则

说明该零件合格,工人师傅却只测量NADC的度数就能判断零件是

否合格,你能解释其中的道理吗？

6.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度数.

D

E

7.如图为蜕化的五角星，它们的五个角之和与五角星五个角的和仍然相等

吗？为什么？

8.如图,AC,BD相交于点0,BP,CP分别平分NABD,ZACD,且交于点P.

⑴若NA=70°,ND=60°,求NP的度数.

⑵试探索NP与NA,ND间的数量关系.

五、布置作业

教科书第17页第6,11题

六、板书设计

11.2.2三角形的外角

一、定义:三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形

的外角.

二、性质

1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和