北京市东城区一七一中学2022~2023学年九年级上学期期末数学练习（含答案与解析）

北京市东城区一七一中学2022~2023学年上学期期末练习

九年级数学

（时间：120分钟满分：100分）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.若关于X的一元二次方程式+3%+。=°的一个根为1,则。的值为（

A.2B.-2C.-3

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是（）

A.y-X2+3B.y=x2-3C.y=（x-3jD.y=(x+3)2

4.某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是【】

A.买1张这种彩票一定不会中奖

B.买1张这种彩票一定会中奖

C.买100张这种彩票一定会中奖

D.当购买彩票数量很大时，中奖的频率稳定在1%

5.用配方法解方程好―4%=1，变形后结果正确的是（）

A.（九+2）2=5B.（x+2）2=2C.（无一2『=5D.(x—2『=2

6.如图，圆心角NAO8=n0°,则ZACB的度数是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

7.在半径为6圆中，120°的圆心角所对扇形的面积是（）

A.4万B.8"C.12万D.16〃

8.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=3,将AABC绕顶点C顺时针旋转得到，取

AC的中点E，4线的中点尸，则在旋转过程中，线段砂的最大值为（）

A.1B.2.5C.2D.1.5

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.点（3,-1）关于原点对称点的坐标是.

10.请写出一个开口向下，顶点在x轴上二次函数解析式________________.

H.已知P（X],1）,。5，1）两点都在抛物线y=3x+i上，那么占+4=.

12.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据

了解，某展览中心3月份的参观人数为11万人，5月份的参观人数增加到15.1万人.设参观人数的月平均

增长率为x,则可列方程为.

13.如图，A3是。。直径，C,。是。。上的两点.若NC钻=60°,则4OC的度数为

14.如图，PA,尸5是。。的切线，切点分别为A,B.若NOSA=30°,PA=3,则AB的长为

p

15.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精

确到0.1）.

投篮次数（n）50100150200250300500

投中次数（m）286078104123152251

投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50

16.如图，在平面直角坐标系xQy中，P为x轴正半轴上一点.己知点4（0,1）,6（0,7）,©M为&ABP

的外接圆.

B

（1）点M的纵坐标为；

（2）当最大时，点尸的坐标为.

三、解答题（本题共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）

17.下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程.

已知：O。及。。外一点尸.

求作：直线Q4和直线PB,使切。。于点A,PB切。。于点B.

作法：如图，

①连接O尸，分别以点。和点尸为圆心，大于工。户的同样长为半径作弧，两弧分别交于点V,N；

2

②连接"N,交OP于点Q,再以点。为圆心，。。的长为半径作弧，交。。于点A和点8；

③作直线P4和直线PB.

所以直线PA和PB就是所求作的直线.

根据小乐设计的尺规作图过程，

（2）完成下面的证明.

证明：尸是OQ的直径，

AZOAP=ZOBP=°（）（填推理的依据）.

APALOA,PBLOB.

,：OA,。8是。。的半径，

：.PA,PS是。。的切线.

18.如图，A3是。。的弦，。为A5的中点，0c的延长线与交于点。，若CD=1，A3=6,求。。

19.用配方法解一元二次方程：2x-4x+l=0.

20.已知二次函数丁=12+4%+3.

(1)二次函数的图象与X轴交于点A,B(点A在点8左边)，则A,B两点的坐标为

(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；

(3)当一34尤＜0时，＞的取值范围是.

21.如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1,在平面直角坐标系中的位置如图.

(1)画出将AABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的图形；

(2)求出点。经过的路径的长.

22.在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，

黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢(赢的一方得电影

票).游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，

再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平

吗？请你利用树状图或列表法说明理由.

23.已知关于x的一元二次方程兀2+(1-2加)％+»?-加=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若此方程的两个实数根都是正数，求机的取值范围.

24.如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨

迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门

得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为X,水流的最高点到地面的距离记为

y与x的几组对应值如下表:

5

x(单位：m)012234

222

9511137_

y(单位：m)234

42~4~42

(1)该喷枪的出水口到地面的距离为m；

(2)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出丫与x的函数图象;

叫

5

4-

3-

2-

1■

O'1~2~3~456789

(3)结合(2)中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离

为m(精确到1m).根据估算结果，计算此时水流的射程约为m(精确到1m,参考数

据卡—

25.如图，A3是。。的直径，弦石户，A5于点C,过点尸作。。的切线交A3的延长线于点。,

ZA=30°.

(1)求的大小；

(2)取防的中点连接上加，请补全图形；若=J五，求。。的半径.

26.已知二次函数y=+法+3的图象经过点（1,3）.

（1）用含。的代数式表示万；

（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（-2,0）,求二次函数的解析式；

（3）当a<0时，该函数图象上的任意两点P（王,%）、。（无2，%），若满足%=-1，%>上，求X2的取

值范围.

27.如图，在三角形ABC中，NB4C=90°,A3=AC,点产为内一点，连接AP,BP，CP,

将线段AP绕点A逆时针旋转90。得到AP'，连接PP，CP'.

（1）用等式表示CP'与6F的数量关系，并证明；

（2）当N5PC=135°时，

①直接写出NP'CP的度数为；

②若M为的中点，连接PM，请用等式表示与AP的数量关系，并证明.

28.给出如下定义：对于。。的弦"N和。。外一点P（M,O,N三点不共线，且P,。在直线

"N的异侧），当4/取+/“叩=180。时，则称点P是线段"N关于点。的关联点.图1是点P为

线段关于点。的关联点的示意图.

图1图2图3

在平面直角坐标系x0y中，。。的半径为2.

⑴如图2,M（V2,V2）,N（V2,-V2）.在A（2,0）,3（2应,0）,C（2,2）,三点中，是线段肱V

关于点。的关联点的是；

（2）如图3,M（0,2）,N（省1）,点。是线段肱V关于点。的关联点.

①ZMDN的大小为°；

②在第一象限内有一点加），点E是线段关于点。的关联点，求点E的坐标；

③点尸在直线y=-走戈+4上，当NMFNN/MDN时,直接写出点尸的横坐标号的取值范围

3

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

L若关于x的一元二次方程f+3x+a=°的一个根为1,贝甲的值为（）

A.2B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把X=1代入方程，得出关于。的方程，解出即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程f+3%+4=0的一个根为1,

.,.把％=1代入方程，可得：l+3+a=0,

解得：。=-4,

的值为—4.

故选：D

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解的定义.使一元二次

方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可进行解答.

【详解】解：A、既轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意;

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转

后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，解题的关键是熟练掌握相关定义.

3.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是()

A.y-x2+3B.y=x2-3C.y=(x-3)~D.y=(x+3j

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：抛物线>向右平移3个单位长度得到的抛物线是y=(%-3)二

故选：C

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键.

4.某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是【】

A.买1张这种彩票一定不会中奖

B.买1张这种彩票一定会中奖

C.买100张这种彩票一定会中奖

D.当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】解：A、因为中奖机会是1%,就是说中奖概率是1%,机会较小，但也有可能发生，故本选项

错误；

B、买1张这种彩票中奖的概率是1%,即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；

C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；

D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%,故本选项正确，

故选D.

5.用配方法解方程x2—4x=l，变形后结果正确的是()

A.(%+2)2=5B.(x+2)2=2C.(x-2『=5D.(%-2)2=2

【答案】C

【解析】

【分析】根据配方法可直接进行求解.

【详解】解：由方程乂―4龙=1两边同时加上4可得(x—2)2=5；

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键.

6.如图，圆心角NAOfi=nO°,则ZACB的度数是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

【答案】C

【解析】

【分析】设点尸是优弧上的一点，连接AP，6P，根据圆周角定理，得出NAPfi=55°,再根据圆

内接四边形的对角互补，计算即可得出NACB的度数.

【详解】解：如图，设点尸是优弧A3上的一点，连接转，BP，

VZAO8=n。。，

/.ZAPB=-ZAOB=55°,

2

•；ZAPB+ZACB=180°,

ZACB=180°—ZAPS=125°.

故选：C

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正

确作出辅助线.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半.

7.在半径为6的圆中，120。的圆心角所对扇形的面积是（）

A.4万B.87rC.12万D.167r

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形面积公式S房彩=上二即可进行解答.

扇形360

【详解】解：S扇形=12076=I2",

360

故选：C.

【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式5户取=空二.

扇形360

8.如图，在“WC中，ZACB=90°,AC=1,AB=3,将绕顶点。顺时针旋转得到,取

AC的中点E，A用的中点P，则在旋转过程中，线段石P的最大值为（）

A.1B.2.5C.2D.1.5

【答案】C

【解析】

【分析】连接CP,根据旋转的性质，得出用=90。，4四=3,再根据直角三角形斜边的中线等于

斜边的一半,得出4P=B}P=CP=1.5,再根据三角形三边关系，得出EC+CP>EP,进而得出当点E、

C、P三点共线时，EP最大,最大值为CE+CP,再根据中点的性质，得出CE=0.5,进而即可得出答

案.

【详解】解：连接CP,

：AABC绕顶点C顺时针旋转得到AA51C,ZACB=90°,AC=1,AB=3,

.•./AS=90。,A4=3,

•；A4的中点尸，

\P=BxP=CP=i.5,

■:EC+CP>EP,

当点E、C、尸三点共线时，EP最大,最大值为CE+CP,

..•点E是AC的中点，AC=1,

/.CE=0.5,

：.EP最大值为0.5+1.5=2.

故选：C

【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的三边关系，解本题的

关键在熟练掌握三角形的三边关系.

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.点(3,-1)关于原点对称点的坐标是.

【答案】(-3,1)

【解析】

【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答.

【详解】解：点(3,-1)关于原点的对称点的坐标是(-3,1).

故答案为：(-3,1).

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反

数.

10.请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式.

【答案】y=-2(x+1)2.答案不唯一

【解析】

【分析】先设出二次函数解析式方程，y=+左再根据图像开口向下可知a<0,可以得

出结论.

【详解】设该二次函数的解析式为丁=。(％+4+左(亦0)

:抛物线的开口向下

a<0

又丁在x轴上

k=0

•1.y=-2(x+1)2,答案不唯一，满足上述条件即可.

【点睛】本题主要考查了二次函数丁=。（％+/2『+左（。。0）中，当a<0,时开口向下，且顶点在x轴上时

要满足的条件，熟练掌握函数性质是本题解题的关键.

11.已知？（七』），。（程1）两点都在抛物线丁=炉—3x+l上，那么西+/=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意可得点尸和点。关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答.

b-33

【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：x=-=--=—,

2a22

,•,P（%，1）,Q（X2，1）,

.玉+马_3

••一,

22

/.X]+々=3.

故答案为:3.

【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、。两点关于对称轴对称求解.

12.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据

了解，某展览中心3月份的参观人数为11万人，5月份的参观人数增加到15.1万人.设参观人数的月平均

增长率为无，则可列方程为.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得4月份的参观人数为11（1+1）人，则5月份的人数为11（1+%丁，根据5月份的参观

人数增加到15.1万人，列一元二次方程即可.

【详解】解：根据题意设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为U（l+x）2=15.1

故答案为：11（1+无7=15.1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键.

13.如图，A3是。。的直径，C,。是。。上的两点.若NC钻=60°,则4OC的度数为

【答案】30°##30度

【解析】

【分析】根据圆周角定理，得出NACB=90。，再根据直角三角形两锐角互余，得出NA5C=30。，再根

据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出ZAOC的度数.

【详解】解：为。。的直径，

/./ACS=90。，

ZABC=90°-ZCAB=90°-60°=30°,

ZADCZABC=30°.

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质

定理.

14.如图，PA,PB是。。的切线，切点分别为A,B.若NOSA=30°,PA=3,则AB的长为

【答案】3

【解析】

【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出PA=PB,NPBO=90°,再根据等腰三角形的判定定

理，得出△上钻为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出NP5A=60°,再根据等边三角形的判定

定理，得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出=进而即可得出答案.

【详解】解：也分别为。。的切线，

APA=PB,NPBO=90°,

，为等腰三角形，

VZOBA=30°,

：.ZPBA=ZPBO-AOBA=60°,

：.△以§为等边三角形，

/.AB=PA,

•/PA=3,

：.AB=3.

故答案为：3

【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本

题的关键在熟练掌握相关的性质定理.

15.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精

确到0.1）.

投篮次数（n）50100150200250300500

投中次数（m）286078104123152251

投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50

【答案】0.5

【解析】

【分析】利用频率的计算公式进行计算即可.

【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796,故这名球员投篮一次，投中

796

的概率约为：----=0.5.

1550

故答案为0.5.

【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大.

16.如图，在平面直角坐标系中，P为x轴正半轴上一点.已知点A（0,l）,B（0,7）,OM为AABP

的外接圆.

B

(1)点M纵坐标为；

(2)当/AP3最大时，点尸的坐标为.

【答案】①.4②.(77,0)

【解析】

【分析】(1)根据三角形外心的定义，可得出AABP的外接圆圆心在线段A3的垂直平分线上，即可求解;

(2)点尸在。时切点处时，NAPB最大,而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可.

【详解】解:(1)•••4(0,1),5(0,7),

二线段AB的垂直平分线为直线y=r=4,

:点M在AB的垂直平分线上，

・••点加的纵坐标为4,

(2)过点4(0,1),5(0,7),作OM与x轴相切，则点尸在切点处时，/APB最大,

理由：

如上图，若点尸'是无轴正半轴上异于切点P的任意一点,

设AP'交。M于点E，连接AE，则Z4£B=Z4PB,

,/NAEB是VAPE的外角，

•••ZAEB>ZAP,B,

AZAPB>ZAP'B,即点尸在切点处时，NAPB最大,

经过点4(0,1),5(0,7),

...点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=4上，

：与x轴相切于点P,轴，从而MP=4，即。"的半径为4,

设AB的中点为。，连接MD、AM,如上图，则MDLAB，AD=BD=-AB=3,

2

AM=MP=4，

VZPOD=90°,MPLx轴，MD±AB，

四边形OPMD是矩形，从而OP=MD,

由勾股定理，得

MD=^AM--AD1=742-32=77-

•••OP=MD=&,

..•点P的坐标为(、厅,0),

故答案为：4,(77,0).

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作

出图形是解题的关键.

三、解答题(本题共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分)

17.下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程.

已知：O。及。。外一点P.

求作：直线和直线PB,使Q4切。。于点A,PB切。。于点8.

作法：如图，

①连接OP,分别以点。和点尸为圆心，大于工。「的同样长为半径作弧，两弧分别交于点N；

2

②连接MN,交OP于点。，再以点。为圆心，的长为半径作弧，交OO于点A和点8；

③作直线巴4和直线P3.

所以直线必和PB就是所求作的直线.

根据小乐设计的尺规作图过程，

（2）完成下面的证明.

证明：尸是。。的直径，

：./OAP=NOBP=°（）（填推理的依据）.

APA1OA,PBLOB.

•：OA,。8是。。的半径，

.,.PA,PB是。。的切线.

【答案】（1）见解析（2）90,直径所对的圆周角为直角

【解析】

【分析】（1）根据题意，画出图形即可；

（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出NQ4尸=NOBP=90。，再根据垂线的定义，得出P4J_Q4,

PBLOB,再根据切线的判定定理，即可得出结论.

【小问1详解】

解：补全图形如图：

【小问2详解】

证明：尸是OQ的直径,

ZOAP^ZOBP=90°（直径所对的圆周角为直角）.

APA1OA,PBLOB.

,：OA,是。。的半径，

：.PA,尸3是。。的切线.

故答案为：90,直径所对的圆周角为直角

【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键

在理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

18.如图，A3是。。的弦，C为A3的中点，0c的延长线与。。交于点。，若CD=1,A3=6,求。。

【答案】5

【解析】

【分析】根据垂径定理可得coLAB,AC=根据勾股定理即可求解.

2

【详解】解：：AB是。。的弦，C为AB的中点，AB=6,

：.OD±AB,AC=-AB=3,

2

设。。的半径为r,则40=00=r,

•/CD=1,

：.CO=DO—CD=r—l,

在RQAOC中，根据勾股定理可得：AC2+CO2=AO1，

即3?+(r—l『=/，解得：r=5.

。。的半径为5.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理相关内容，根据勾股定理列出方程求解.

19.用配方法解一元二次方程：2/-4x+l=0.

【答案】再=1+冬工广苣

【解析】

【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可.

91

【详解】解：方程整理得：X2-2X=——,

2

11

配方得：x9—2元+1=5，即（%—1）9=—,

开方得：x-l=+—，

2

解得：x.=l+—，x=l-—.

222

【点睛】此题考查了解一元二次方程一配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式.

20.已知二次函数y=d+4x+3.

（1）二次函数的图象与x轴交于点A,B（点A在点B左边），则A,3两点的坐标为;

（2）在平面直角坐标系xQy中画出该函数的图象；

（3）当—3<x<0时，>的取值范围是.

【答案】⑴A（-3,0）,B（-l,0）

（2）见解析（3）-l<y<3

【解析】

【分析】（1）根据二次函数图象与x轴交于点A,B,得出y=0,即f+4%+3=0,解出即可得出

A,8两点的坐标；

（2）列表、描点、连线，画出图象即可；

（3）根据（2）的图象，即可得出答案.

【小问1详解】

解：•.•二次函数y=f+4x+3的图象与无轴交于点A,B（点A在点B左边），

>=0,即无2+4%+3=0，

解得：无i=-3,x2=-1,

A（-3,0）,B（-LO）；

故答案为：A（-3,0）,B（-l,0）

【小问2详解】

解：列表：

X-4-3-2-10

y30-103

故答案为：—

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、用描点法画二次函数图象、二次函

数的图象与性质，解本题的关键在正确画出二次函数的图象.

21.如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1,"WC在平面直角坐标系中的位置如图.

ci）画出将AABC绕点8顺时针方向旋转90°得到的图形;

（2）求出点C经过的路径的长.

【答案】（1）见解析（2）昱兀

2

【解析】

【分析】（1）根据旋转的作图方法和作图步骤即可进行解答；

（2）点C经过的路径是以点B为圆心，8C长为半径，旋转角为圆心角的弧长.

【小问1详解】

解：如图所示：

【小问2详解】

根据勾股定理得：5。=炉两=6，

nnr_90乃x逐_布

点C经过的路径长为:

欣广180一号万

【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质.

22.在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，

黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影

票）.游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，

再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平

吗？请你利用树状图或列表法说明理由.

【答案】不公平

【解析】

【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转

化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.

【详解】解：此游戏不公平.

理由如下：列树状图如下，

开始

红红黄蓝

/TVxx-Ax

纤纤黄蒋订打黄薄纤打黄落订订黄萧

由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种.

P（小明赢）=—=-，P（小亮赢）,故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大.

168168

23.已知关于x一元二次方程炉+。-2加）％+4一加=0.

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是正数，求加的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）7Z7>1

【解析】

【分析】（1）根据一元二次函数的判别式，进行求解即可；

（2）首先根据十字相乘法解一元二次方程，得出石=根，々=〃z-1，然后再根据题意：方程的两个实数

根都是正数，得出不等式组，解出即可得出结果.

【小问1详解】

证明：在关于x的一元二次方程f+（1—2m）x+m2-m=0中，

,/A=b2-4«c=（l-2m）-一4（〃/一机）=1>0,

，方程总有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

»：X2+（l-2m）x+m2—m=0

因式分解，可得：（％一加）（1一加+1）=。，

于是得：%—根=0或％—m+1=0,

：.Xy=m,x2=m-l,

・・,方程的两个实数根都是正数，

m>0

二.可得：〈,

m-1>0

解得：m>1,

・・・加的取值范围为：/>1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、因式分解法解一元二次方程、解不等式组，熟练掌握一元二

次方程的解法及根的判别式是解本题的关键.

24.如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨

迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门

得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为心水流的最高点到地面的距离记为

y与x的几组对应值如下表:

3_5

x（单位：m）01234

222

9511137

y（单位：m）234

42~4~42

（1）该喷枪的出水口到地面的距离为m；

（2）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与X的函数图象;

叫

5

4-

3-

2-

1■

O'1~2~3~456789

（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离

为m（精确到1m）.根据估算结果，计算此时水流的射程约为m（精确到1m,参考数

据灰。2.4）.

【答案】（1）2

（2）见解析（3）6,18

【解析】

【分析】（1）令x=0时，求得〉值即可；

（2）按照描点，连线的基本步骤画函数图象即可；

（3）设直线为、=履+人，把x=0,y=2和了=2,y=3代入解析式，联立方程组，解出即可得出直线的

解析式为y=；x+2,然后再把x=8代入y=gx+2,求得y=6,进而得出抛物线的顶点坐标，然后设

出抛物线解析式为y=4尤―8）2+3,把（0,2）代入解析式,确定a=—,得到抛物线解析式,再令y=0,

求得x的值即可.

【小问1详解】

解：令x=0时，得尸2,

故答案为：2

【小问2详解】

解：根据题意，画图如下:

【小问3详解】

b=2

把x=0,y=2和》=2,y=3代入，可得:

2k+b=3,

k-L

解得彳2,

b=2

二直线的解析式为y=；x+2,

当x=8时，可得：y=gx8+2=6（m）,

水流的最高点到地面的距离为6m,

•••抛物线的顶点坐标为（8,6）,

设抛物线解析式为y=a（x—8）2+6,

把（0,2）代入解析式，可得：64a+6=2,

解得：a―――,

16

y=_”（冗_8）2+6,

19

令y=。，可得：（%-8）+6=0,

解得：x=8+4而或x=8-4#（舍去），

且x=8+4指仪17.79~18（m）,

此时水流的射程约为18m.

故答案为：6,18

【点睛】本题考查了一次函数图象的画法、待定系数法求一次函数的解析式、求二次函数解析式、一元二

次方程的解法、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解本题的关键.

25.如图，AB是。。的直径，弦石尸，A5于点C,过点R作。。的切线交AB的延长线于点。，

ZA=30°.

（1）求/£）的大小；

（2）取助的中点连接〃/，请补全图形；若“=后，求。。的半径.

【答案】（1）30°

（2）图形见解析，2后

【解析】

【分析】（1）连接。尸，先求出NA5E=60。，从而得出N3EC=30。，再根据同弧所对的圆周角等于圆心

角的一半得出ZDOF=2ZBEC=60°,最后根据切线的定义即可求解；

（2）连接,证明AEOB为等边三角形，将QW的长度用半径表示出来，再证明

ZMOF=ZDOF+ZBOM=90°,根据勾股定理列出方程求解即可.

【小问1详解】

解：连接。尸，

：AB是。。的直径，

：.ZAEB^90°,

•：ZA=30°,

：.ZABE=90°-30°=60°,

•/EhAB，

：.ZBEC=900-60°=30°,

：.ZDOF=2ZBEC=60°,

DF为OO的切线，

/.OF±DF,

：.ZD=900-ZDOF=90°-60°=30°.

VOE=OB,ZABE=60°,

•••AEOB为等边三角形，

:点M为3E中点，

AZBOM=3Q°,OMLBE,

ZMOF=NDOF+ZBOM=60°+30°=90°,

设。。半径为r,

在RtAOBM中，OM=sin60°OB=—r,

2

'：MF=A/14-OF=r,

.••RtzXOMr中，根据勾股定理可得：OM2+OF2=MF2,

即+r2=(714)2,解得：r=2日

A。。半径为2a.

【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握圆周角定理，圆的切线的定义，直角三角形两

个内角互余，勾股定理等相关知识.

26.已知二次函数y=以2+法+3的图象经过点(1,3).

(1)用含〃的代数式表示b;

(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(-2,0),求二次函数的解析式；

(3)当。<0时，该函数图象上的任意两点P(玉,%)、。(%2，%)，若满足%=-1，%〉为，求巧的取

值范围.

【答案】(1)b=-a

1,1

(2)y=—xH—x+3

22

(3)x2<-1或尤2>2

【解析】

【分析】(1)把(L3)代入丁=以2+法+3可得关于。和b的等式，再进行整理即可；

⑵把(1,3),(一2,0)代入y=以2+法+3,求出a和6的值即可；

(3)先求出函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性即可进行解答.

【小问1详解】

解：把(1,3)代入y=ax?+法+3得：

3=a+Z?+3,

整理得：b=—a.

【小问2详解】

把(1,3),(一2,0)代入y=ax2+/zx+3可得：

3=a+b+3

，解得：＜

0=4a—2b+3

11。

该二次函数的解析式为:y——x2H—x+3.

22

【小问3详解】

由(1)可矢口，b=—a

b—a1

2a2a29

Va<0,

.,.函数开口向下，

,在对称轴左边，y随x增大而增大；在对称轴右边，y随x增大而减小；当x=1■时，函数取得最大值;

：X]=-1,%>为，

・・・点尸在对称轴左侧，

①当点尸和点。在对称轴同侧时：％2<%1，即犬2<-1，

②当点尸和点。在对称轴两侧时:

：X]=-1,

13

，带你P到对称轴的距离=——（-1）=—,

2v72

113

点尸关于直线x=—的对称点的横坐标为：^+4=2

222

>2.

综上：々<一1或%>2.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练

掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

27.如图，在三角形ABC中，ZBAC=90°,=点P为内一点，连接AP,BP，CP,

将线段AP绕点A逆时针旋转90。得到AP'，连接PP，CP'.

（1）用等式表示CP'与6F的数量关系，并证明；

（2）当NBPC=135°时，

①直接写出NP'CP的度数为；

②若加为的中点，连接请用等式表示与AP的数量关系，并证明.

【答案】（1）CP'=BP,证明见解析

（2）①NPC尸=45°,②AP=&M，证明见解析

【解析】

【分析】（1）通过证明6Pg△ACP,即可得出结论；

（2）①根据三角形的内角和得出ZPBC+NPCB=45°,ZABC+ZACB=90°,即可得出

ZABP+ZACP=45°,再根据即可得出结论；②延长至点。使PM=MQ,

连接CQ，先证明V5PM至VCQM,得出3P=CQ,ZPBC=ZMCQ,再证明VPC。4VPCP,得

出PQ=PP,再根据等腰直角三角形边之间的关系，即可进行解答.