(重庆卷)高考数学试题详细解答及考点解读

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普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

理科数学(必修+选修H)

本试卷满分150分,考试时间120分钟

第I卷

参考公式：

如果事件AB互斥,那么P(A+8)=P(A)+P(6)

如果事件A3相互独立，那么P(A8)=P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么〃次独立重复试验中恰好发生A

次的概率

k

pn(k)=(1-py-(k=04,2,,n)

4a

以R为半径的球体积：V=-7T/?3

3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.直线y=X+l与圆d+y2=l的位置关系()

A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离

2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则」二().

Z

A.2—iB.2+iC.-2-iD.-2+i

(

3.Y+上的展开式中d的系数是().

A.16B.70C.560D.1120

4.已知同=1,例=6,a(b—。)=2,则向量a与b的夹角是()

兀兀兀71

A.-B.-C.一D.-

6432

5.不等式,+3|-«—1|</_3。对任意实数尤恒成立，则实数a的取值范围为（）.

A.(-℃,-1][4,+oo)B.(-oo,-2][5,+oo)

C.[1,2]D.(-oo,l][2,+oo)

6.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部

特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）.

7.设AABC的三个内角,向量/n=(GsinA,sin3),n=(cosB,V3cosA),

若〃=l+cos(A+8),则C=().

7T712兀571

A.—B.-C.—D.—

6336

:今一ar—bj=2,其中a,〃eR,则a—8的值为（）.

8.己知lim|

A.—6B.-2C.2D.6

9.已知二面角a-/—4的大小为50°,P为空间中任意一点，则过点P且与平面a和

平面夕所成的角都是25°的直线的条数为（）.

A.2B.3C.4D.5

10.已知以T=4为周期的函数=—1'"'其中加>（）.若方程

l-|x-2|,xe（l,3],

3/（x）=x恰有5个实数解，则机的取值范围为（）.

(V158)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在答题卡相应位置上.

11.若4={收叫国<3},B={xeR|2'>1},则AB=.

12.若/（x）=一一+a是奇函数，则。=

2'-1

13.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有

种（用数字作答）.

14.设4=2,区川=二一，bn=&色，〃eN",则数列｛"｝的通项

%+1。“一1

",=___________•

X2y2

15.已知双曲线二一2T=1(。＞0力＞0)的左、右焦点分别为耳(—g0)，E(c;0),若

ab

双曲线上存在点P使sin/尸］一一二@,则该双曲线的离心率的取值范围

sinZPF2Ftc

是.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分，(1)小问7分，(H)小问6分.)

设函数/(x)=sin(芳一2)-2cos2/+l.

(1)求/(x)的最小正周期.

-4-

(II)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=l对称，求当xe0,-时

y=g(x)的最大值.

17.(本小题满分13分，(I)问7分，(II)问6分)

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活

21

率分别为一和一，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中：

32

(I)两种大树各成活1株的概率；

(II)成活的株数J的分布列与期望.

18.(本小题满分13分，(I)问5分，(H)问8分)

设函数,f(x)=af+。冶■440.在x=0处取得极值，且曲线y=/(x)在点

(1,7(1)处的切线垂直于直线1+2丁+1=0.

(I)求的值;

(II)若函数g(x)=—J，讨论g(x)的单调性.

/(•V)

19.（本小题满分12分，（I）问5分，（II）问7分）

如图1,在四棱锥S—ABCO中，AD8C且AOLCO；平面CSOJ■平面

ABCD,CSLDS,CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=叵,AS=B求:

（I）点A到平面BCS的距离；

（II）二面角E-CO—A的大小.

C

图1

20.（本小题满分12分，（I）问5分，（H）问7分）

已知以原点。为中心的椭圆的一条准线方程为丫=空，离心率e=中，M是

椭圆上的动点.（I）若点C,。的坐标分别是（0,々5）,。6）,求WC|MD|的

最大值；

（H）如图2,点A的坐标为（1,0）,B是圆％2+y2=i上的点，N是点”在x轴

上的射影，点。满足条件：OQ=OM+ON,QABA=Q.求线段的

中点P的轨迹方程.

21.（本小题满分12分，（I）问5分，（II）问7分）

设加个不全相等的正数4M2，（m27）依次围成一个圆圈.

（I）若m=2009,且4,4，，4（是公差为"的等差数列，而

4,々2009,々2008，，4（X）6是公比为4=的等比数歹U；数列4,4，，%的前

〃项和5〃（〃＜加）满足：53=15,52009=S2（xy7+12^）,求通项a〃伽＜加）；

（II）若每个数为（〃4加）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

q++4+G++。：＞）叫4.am.

普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

理科数学（必修+选修n）试题答案及解读

一、选择题

1.B.

2.A.

3.D.

4.C.

5.A.【解读与点评】（法一）B+3]—归一1|表示数轴上一动点X到一3和1的距离之差

则一4W|x+31Tx—1|W4,.MW；"—3a,解之ae(-8,-l][4,+8),故选A.

(法二)令丫=归+3|-上一1|,贝I

4(x21)

y=-2x+2,(-3<X<1),其图象如图

-4,(x<-3)

；.一4WyW4,：.4^a2-3a,

解之[4,+00),故选A.

考生易将“恒成立”与“有解”等概念解读失误，导致〃一3。与左侧代数式的最大小

值取反.

6.C.【解读与点评】给出的问题情境“锅中煮有芝麻馅汤圆”“花生馅汤圆”“豆沙馅

汤圆”“任意舀取4个”比较“平民化”“大众化”，反映了命题者力图为所有考生创设

公平公证的竞争环境.

7.C.

8.D.

9.B.

10.B.【解读与点评】据题意知，加〉0且

______________2

令y=m"-x2,则曲线y=心/匚区表示椭圆J+—=1的上半部分，那么函数

m"

，⑴二|：『S：对应的大致图象如图4.

又•.•函数的周期周期T=4

，函数y=/(x)的图象如图5.

函数y=f(x)=myJl-(x-8)2.

x

又将方程3/(x)=x转化成/(x)=§,则“方程3/(x)=x恰有5个实数解”等价于

个不同的交点，与函数)，=/(尤)=%/1一瓮一8)2(7<x<9)的图象没有交点.

即方程mJ]_(x-4)2=；在34》45上有两个不同的解，方程mJ]_(x-8)2=|

在74x49上无解.

整理得方程h+-U1x2—8尤+15=0和(1+人］》2—I6x+63=O

I9/)I9m2)

其中&=82-4xl5xfl+—△,=162-4x63xfl+—LKo

I9m2J2L9m2)

解之得m<-更5,或机>15,且-J7<〃z<J7

33

主意到机>0,

从上面的解答显而易见，这第10题和第5题都用到了“方程与函数”“数形结合"''转

化与化归”“有限与无限(恒成立与周期)”等数学思想，第10题考查了“平移变换”等重

要的数学方法.

此题中，易出将“函数y=/(x)在-IKxKl上的图象是什么”没有解读出来，导致

问题解决无法继续做答，也容易将图象的交点位置分析错，即没有分析出“与函数

y=f(x)=my/l-(x-8)2(7<x<9)的图象没有交点”，使答案错选A、C、D.错选

的根源是，将图6中的两个函数图象的最大值进行了比较，如图7,就特别容易错选B

4

个函数图象仍然有两个交点或者一个交点.同理，当根〉一时，两个函数图象也不一定有

3

两个交点.这就是许多考生易错选答案c的重要原因.

二、填空题

11.(0,3).

1

12.—.

2

13.36.【解读与点评】命题者结合时政”大学生当村官”构建的一个全新的概率问题,

这既可以考查学生平时对时事的了解，又可以让问题情境更加真实化、形象化和具体化.

14.2向.【解读与点评】(法一)b°"+i+2

n+l=2bn,即

数列｛2｝是等比数列，且A=4,，bn=4x2"T=2"T.

n+l

(法二)据题意得。।=4,b2=8,a=16,猜想：bn=2.

应用了“整体与局部”“整合与分割”和“转化与化归”的数学思想方法，即把3M

an-1

看成一个整体，然后分割转化成新的等比数列.

15.(1,1+0).【解读与点评】如图9,由sm—4.和正弦定理知，屿1=9,

sinZPF2Ftc\PFi\c

又|「用一|P号=2a,则

,2a2ac

.=----=-----,

又sinN尸入片。0,则P、乃不共

线，

：.\PF]\+\PF^\>2c,贝43+1]^^>2。=/+比>02—比,

Ic)c-a

即，—2cle-<0=>c~—2e—1<0.

解之，1一&ve<l+血.

此题不仅展示了解析几何中固有特质一一数形结合，命题者还强化了这一特质，融入了

丰富的数形结合思想，如解答时需要从图形中观察“三角形两边之和大于第三边”这一几何

性质去建立不等关系.

值得特别说明的是，许多许多考生在解答第15题时均未考虑到隐藏条件

“sinNP6耳*0”即“P、片、工不共线”，这也是许多考生解答失误的最根本原因.

三、解答题

16.(I)/(幻的最小正周期为8；(0)y=g(x)在区间0,1上的最大值为#.

【解读与点评】(I)f(x)=sin—xcos——cos—xsin——cos—x

46464

G.兀371/T.f71兀)

2424<43J

故/(x)的最小正周期为T='27r=8.

4

(II)解法一：

在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2-x,g(x)).

由题设条件.点(2—x,g(x))在y=/(x)的图象上，从而

g(x)=/(2-x)=6sin：(2一x)一号==6cos(5x+方

4jr7T7T2兀4

当04x42时，,因此y=g(x)在区间0,-上的最大值为

33433|_3_

=V3cos-=—.

解法二：

41「2一

因区间0,-关于x=l的对称区间为-,2,且y=g(x)与y=/(x)的图象关于

42

x=l对称，故y=g(x)在0彳上的最大值即为y=/(x)在1,2上的最大值,

7171

由(I)知f(x)=V3sin—X——

43

当寸x«2时，一/》J哈

4=国』立

因此y=g(x)在0,-上的最大值为g

max62

2

17.(I)两种大树各成活1株的概率为§；(II)4的分布列:

自01234

1\_131

P

3663639

1113117

J的期望为：E^=0x—+lx-+2x—+3x-+4x-

36636393

【解读与点评】设4表示甲种大树成活4株，k=o、1、2,

B,表示乙种大树成活/株，/=0、1、2,

则A-B,独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式有

据此算得

〃(4)=，〃(4)=1,〃(4)=1,

P(Bo)=；，P(Bj=g，。仍2)=；，

412

(I)所求概率为p(A.可)=尸(A).P(5)=NX—=A.

929

(II)解法一：

〈的所有可能值为0,1,2,3,4,且

MJ=O)=P(44)=p(4).p(Bo)=U=J,

94Jo

PC=D=P(A).8J+MA

9Zy4o

4

PC=2)=p(&-2)+MA.5)+p(4.综)="x；+1413

9-x—+—x

29436

41411

p(^=3)=p(A.B2)+7XA2.B1)=-X-+-X-=-,

411

p(J=4)=p(4.B2)=-X-=~.

综上知4有分布列:

01234

1_1_13j_

P

3663639

从而，4的期望为：

1113117

塔=0x——+lx—+2x—+3x-+4x-=一(株)

36636393

解法二：

分布列的求法同前，

令当，$分布表示甲、乙两种树成活的株数，则

241

故有E5=2xg=§,E4=2x]=l.

47

从而知E^=E^+E^2=-+l=-(株).

本题以“绿化环境”，“植树造林”和“大树成活率”为背景，结合重庆市“美化城市”

的时政，也是对暨高考前几个月来“全民植树造林”活动的拷问.

18.(I)。=1,8=()；(II)(1)当△=4-44<0,即当左>1时，函数g(x)在R

上为增函数.

(2)当△=4—4k=0,即当左=1时，g(x)在R上为增函数.

(3)当A=4-4左>0,即当。〈人<1时，当xe(—oo,l—二工)时，g(x)在

(-00,1-71^1)上为增函数；当xc(l—J匚冗1+J匚7)时，g(x)在

(1-,1一+-k)上为减函数;当xe(l+'l-Z,+00)时,g(x)在(1+Jl-I,+8)上

为增函数.

【解读与点评】(I)因/(x)=ax2+Z?x+左(左>0),故/''(X)=2ax+ZJ,

又/(x)在x=0处取得极值，故/'(0)=0,从而〃=().

由曲线y=/(x)在(1,./•⑴)处的切线与直线x+2y+l=0相互垂直可知该切线斜率

为2,即/⑴=2,有2。=2,从而。=1.

(II)由(I)知，g(x)=^——(2>0),

x+k

e*(x~—2x+k)

g(x)=(k>0).

(%2+k)2

令g(x)=0,有x?—2x+左=0(k>0)

(1)当A=4—4左<0,即当左>1时，g'(x)>0在R上恒成立，故函数g(x)在R上

为增函数.

(2)当△=4—4左=0,即当左=1时，有g'(x)=>(：T?二>0(xHl).

(x2+1)2

从而当％=1时，g(x)在R上为增函数.

(3)当A=4—4左>0,即当0<女<1时，方程一一2%+女=0有两个不相等实根

Xj=1-VT二=1+正仄.

当X€(—8,1—J1-%)时,g'(x)>0,故g(X)在(-8,1-Ji=7)上为增函数;

当xe(l—Jl—+—%)时,g'(x)<0,故g(x)在(1—Jl—%,1+Jl—攵)上是

减函数；

当xe(l+Jl-0,+8)时,g'(x)〉0,故g(x)在(I+Ji-A,+oo)上为增函数.

19.(I)点A到平面3CS的距离为V2；(II)二面角的大小为0=-.

6

【解读与点评】解法一：

(I)因为AO〃BC,且3Cu平面3CS,所以4)〃平面BCS,从而A点到

平面BCS的距离等于。点到平面BCS的距离.

因为平面CSD_L平面AB),ADA.CD,故

AEL平面C,从而AZ>_LOS.由AO〃8C,得

BC±DS.又由CS_LDS知£>S_L平面BCS,从而OS为点

A到平面5cs的距离.5

____________答(16)图］

因止匕，在RtAAOS中，DS=^AS2-AD2=V3^1=V2.

(II)如答(19)图1,过E点作EG_LCO,交C。于点G,又过G点作G”J_CO,

交AB于H,故NEGH为二面角E-CD-4的平面角，记为6.过E点作EF〃BC,

交CS于点F,连结GF.因为平面A5CD_L平面CSO,GHLCD,易知GHLGF,

故”士—NEGF.

2

由于E为3S边中点，故b=，CS=l,RtACEE中，

2

EF=yJCE2-CF2=42^1=1.因EF_L平面CSD,乂EGLCD,故由三垂线定理

GFCF

的逆定理得FGLCD,从而又可得kCGFs\CSD，因此——=•一>，而在RtACSZ)中，

DSCD

CD^^ICS2+SD1=V4+2=V6,故GF=DS=—W.

CD-v6v3

在RtAEFG中，tanEGF="=有，可得NEGF=-，故所求二面角的大小为6=-.

FG36

解法二：(I)如答(19)图2,以5(。)为坐标原点，射B八

线OD,OC分别为％轴，y轴正向，建立空间坐标系，设〜二力'

因平面C。。，平面ABC。，ADLCD,故

5(0)

AD1平面C01,即点A在xOz平面上，因此

答(19)图2

%=06=罔=1

又=|同2=3,x.>0解得4=JL从而4后,0,1).

因AO〃BC,故BC_L平面C5O,即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平

面BCS的距离为工人=血.

(II)易知C(0,2,0),。(、历,0,0),因E为8S的中点，为直角三角形，知

|国=25=2行.设B(0,2,ZB),ZB>0,则句=2,故5(0,2,2),所以£(0,1,1).

在CO上取点G,设为G(x”y,0),使GEJ.CD.由而=(后,一2,0),

GE—(—$,—y+1,1)，CD,GE-0>故V2X1—2(y(-1)=0.①

又点G在直线CO上，即CG〃C£>,由CG=(x”y—2,0),则有.②

V2—2

r7241

联立①②，解得G=I—3,3-,0J.

故GE=>—,—,1.又由AOJ.C。，所以二面角石一。一A的平面角为向量

33

\7

近与向量方所成的角，记此角为。.

因为1洞=手，5A=(0,0,1),|31=1,GE-DA=1,所以

COS*GERA=g

\GE\-\DA\2

故所求的二面角的大小为士TT.

6

第18题是导数或函数应用，第19题考查立体几何.将这两个题的位置刚好对调了一下,

这显然是为了加大对立体几何的考核力度.第19题的设计还为《立体几何》的A、B版本

创建了一个公平竞争的平台.

20.(1)|因.|图的最大值为4；(II)动点P的轨迹方程为；x-^\+y2=1.

【解读与点评】(I)由题设条件知焦点在y轴上，故可设椭圆方程为

22

~1(。>b>0).

设c=Na—-b-f由准或方程y=----得—=-----，由e=—得一=—，

3c32。2

2

解得a=2,c=J§，从而8=1,椭圆的方程为一+乙=1

4

又易知C,D两点是椭圆/+1_=1的焦点，所以|〃。+|岫=2。=4,

从而J———[=22=4,当且仅当|阿=|阳，即点M的坐标

I27

为(±1,0)时上式取等号，|因.|阳的最大值为4.

(II)解法一:

如图12,设小,、)](/,%)，

Q。。，坨)，因为N(X“,0),OM+0N=°。故XQ=2xM,yQ=y,„,

X。2+yj=(2x,")2+上=4.①

因为。A-84=0,

(l—xQ,—yQ).(l-xfiyg)=(1-x0)(l-xg)+yGya=0,

所以XQXS+y2yB=Xp+x°-1•②

记点尸的坐标为(号,外,),因为尸是8Q的中点，

所以2%P=XQ+X8，2yp=yG+-

又因为K+y；=l,结合①②得

•4+次=；回+X/+(%+为)]

=；[4+说+%+y；+2(XQXB+y。%)]

=­[5+2(XQ+xB-1)J=—+.

故动点P的轨迹方程为(x—；)+y2=1.

解法二(别解)：

据题意，可设M(cos&2sin。)，则N(c抬0),Q(2cos&2sin6),再设

B(coossiar),且知A(l,0),则3A=(l-cosa,-sina),QA=(1-2cos^,-2sin0)

又由QA•班=0，(l-cosa)(l-2cose)+(-sina)(-2sin，)=0.

即2cosacos8—2cos8-cosa+2sinasin8+1=0.*

2x=2cos6+cos。（**）

又设动点P（x,y）,则

2y=2sin8+sina（***）

将(**?+(***)2得4(/4-y?)=4+1+4cos6cosa+4sinOsin。，

即2cos6cosa+2sinOsina=2(x2+y2)--1.(****)

将(**)和(****)代入(*)得2(/+y2)_g—2x+l=0.

整理得(X-;)2+y2=I为所求动点p的轨迹方程

3n-\,n<1005

（如下.

21.(I)an：ID

232oio-nj006<n<2009

【解读与点评】（I）因。1，。2009，。2008,…，4（X）6是公比为"的等比数歹U•从而

a

2009\d-Woos=a1d：由52009=^2om+1①1得^2008+“2009=1，

故4/2+。/=12^,即［2+4=12.解得d=3或d=T(舍去)，因此d3.

又S3=3al+3d=15.解得at=2.

从而当"K1005时，an=1+(n-l)J=2+3(n-l)=3rt-l,

而当1(X)62(X)9时，由6，。2009，。2008,…MIOO6是公比为d的等比数列得

2m)An20,0-0

an=axd~^=(1(X)6<n<2009).

3n—\,n<1005

因此""=卜3划j,1006W〃W2009，

(；

II)由题意a；=(X<n<m),a；n="a,/=,得

4=%4+”l<〃(加

*<%>

a\=ama2

,a11

2④

由①得见=—,=一・々5=—,a6=—.

axaxa2a2

由0©③得4］。2・,0〃=(。］42・・4〃)2，故=1•⑤

又4.3=%■=%"•——3),故有

。川%ar+lar

ai=----=(l<r<m-6).⑥

%+3

下用反证法证明：m=6k.

若不然，设加=6女+〃，其中

若取p=l,即机=6Z+1,则由⑥得。=。6攵+1=4，而由③得。,〃="，故

a2

<2,——-得生=1•由②得—1,从而q=a6k~”,"-1=1，而4=—,故

a2a2

4=W=1,由④及⑥可推得a„=1（1<n<m）与题设矛盾.

同理，若〃=2,3,4,5均可推得an=1（1<H<m）与题设矛盾，因此机=64为6的

倍数.

（1、（1、

由均值不等式得6+。>++416=6-I—+a,-I---+—26.

Va\）\"211ala2J

又上面三组数内必有一组不相等（否则q=a2=a.=l,从而4=%=•••=«,„=1，与

题设矛盾），故等号不成立，从而q+的+•••+%>6又加=6%,由④和⑥得

ai+…+%=（a7+…+%；）+…+（*-5+…+屋"）

—(k—1)(。「+a；+•••+a：)

'[1]、

=(%—1)a；4--+4—+——N6(Z—1)

aa

<\2“3>

因此由⑤得4H----1-a6-\-----卜a：>6+6(左一1)=6k=m=m^6z2---tzw.

后两个大题仍然保持了2008年的格调，第20题考查解析几何问题，注重了圆和圆锥曲

线的整合，注重了对“整体思想”考查，在解答时特别需要应用恰当的解题技巧，如“设而

不求"的应用，否则将无功而返.第21题（最后一个题或压轴题）仍然融入了数列、不等

式、方程与函数的整合，将反证法与放缩法和均值定理巧妙地结合起来，构建了一个难度极

高、区分度大的理科数学问题，这使许多考生都未能越过这道坎.

试卷综合解读与评析

高考刚好结束，我们到现场对参加今年考试的考生进行了现场访谈和调查，结合媒体报

道和高三老师的反映，他们对重庆高考理科数学试题的初步影响是这样的：“看起来容易，

深入解决问题难：题目区分度明显；选择题中的压轴题很难做正确，多理科数学生靠‘猜'；

填空题设计得好，入手容易，但最后一个真空题设置了一个隐藏条件，有较大的思维陷阱（分

母不为零）；大题运算量大，概率题易算错，立体几何第二小问需要技巧，解析几何绝大多

数考生都未能把第二小问算出来，最后一个大题压轴真正发挥了‘压轴题’的功效多数

考生反映理科数学偏难，重庆市电视台（CQTV）对考生做调查后，对重庆高考理科数学试题

的评价只打出了两个字的字幕“太难”.但大多数考生冷静思考后又感觉“试题整体并不难”,

“基础分给到了位”，“区分度也明显”，今年的高考题特别适合各种层次的考生发挥.下面

我们结合这些调研材料•，对重庆高考理科数学试题做一些解读，供大家参考.

1试卷结构

1.1题型、题量及赋分

重庆市高考《考试说明》对理科数学试题发生了重大变化，文理科调整成完全一样的模

式，总题量都减少了一个，由原来的22题减少为21题.即选择题10道，填空题5道，大

题6道.详细变化见下表：

题量（题）题号分值（分/题）总分（分）

题型年度

文科理科文科理科文科理科文科理科

200812101-121-1056050

选择题

2009101-10550

20084613-1611-1641624

填空题

2009511-15525

17-1817-1913

20087475

19-2220-2212

解答题6

16-18

200975

19-2112

200822

合计7150

200921

1.2试卷结构及其解读

试卷包括选择题、填空题和解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题；填空题

只要求直接填写结果，不写出计算步骤或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题，

解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程.这与传统试题保持了高度的统一和稳定.

题量的减少为考生赢得了充裕的答题时间，同时也预示着重庆高考理科数学试题将从以

前的“快速机械模仿”回归到考查学生的“理科数学思维和能力”上来，这也是国际普通考

试改革开放政策的方向.

1.3知识点的覆盖率及命题原则

高考理科数学试题注重了知识点的适度覆盖，追求科学抽样，既不回避重点知识重点考

查，也不回避重要数学思想方法重复考查.整套试题充分体现了以创新立意，注重基础，考

查能力的命题原则.这既有利于不同层次的考生发挥自己的正常水平，又有利于特优生展示

他们自己的数学才能.

1.4试卷难度设置及评价

《考试说明》明确规定了理科数学试卷中容易题、中等难度题、难题三种试题的分值比

例约为3:5.5:1.5,题型基本保持稳定，这与2007年、2008年相比，试题的总体难度基本

保持稳定（虽然把关题多了一个，但简单的题目也相应增加不少，因此，总体难度仍基本保

持稳定）.因此，重庆市理科数学高考试题是一套较好的试题，是一套值得肯定的试题.

2试题特色

2.1“主干知识全面考查”是重庆高考理科数学中所展示的关键词

重庆市高考理科数学高考题注重了主干知识的全面考查，体现了重点知识重点考查的基

本原则.如函数与导数设计了5道题目，第5题、第10题、第12题、第16题、第18题，

分值达41分；解析几何在理科试题中设计4道试题：第1题、第10题、第15题、第20

题，分值达27分；不等式与数列的交融仍然作为整套试卷的一个重点和难点，抢眼地展示

在压轴题中，成为今年高考理科数学试题的一个靓点，这也是近几年来重庆理科高考数学试

题永恒不变的热点问题.除此之外，结合时事命制的概率问题也成为重庆高理科数学考题的

一个新热点和靓点.

2.2"基础知识与基本技能的重点考查”是重庆高考理科数学的重头戏

高中数学所学习的基础知识，基本技能、基本数学思想和方法是考生今后继续学习的基

础，也是培养考生数学能力的前提.重庆市的理科数学试题仍体现了以相应的基础知识作为

载体，侧重于基础知识的考查，注重了基本技能的测试，力争将送分题目送到考生手中.如

理科数学试题的第1〜8题、第11〜13题、第16〜18题，这些题目都很基础，没有什么思

维障碍，一般的考生都能准确地得出正确答案，是命题者想送给考生的送分题，这些分数真

正送到了考生的手中，学生分数就可以介于90〜100分，即使稍有失误，后面几个小题和后

面三个大题都可以作少许弥补，这样只要发挥正常就可以得到一个理想的分数.

2.3"重密度凸现数学思想与方法”是重庆理科数学高考题的核心

重庆高考理科数学试题凸现了多种数学思想方法.如第5、9、10、15、16、19、20、

21题都或多或少的涉及了“数形结合”，尤其第5题、第10题、第15题特别突出，它们还

涉及到了“方程与函数”“化归思想”“有限与无限（恒成立与周期）”等重要思想方法,

第14题也涉及到了“整体与局部”“转化与化归”“整合与分割”的数学思想方法，即

刍T■看成一个整体,

然后转化分割成新的等比数列.第15题不仅展示了解析几何本身

固有的数形思想，还进一步融入了图形观察“三角形两边之和大于第三边”的图形语言，使

不等关系的建立更加清晰明确.第20题注重“整体思想”的设计，在解答时没有“设而不

求”的技巧，就会造成较大的计算量.

2.4“创新设计”是重庆高考理科数学的一个热点和难点

重庆高考理科数学在求稳定的情况下力图创新.如第10题，它将解析几何、分段函数、

周期性、方程思想巧妙地融合在一起，情境稳定而熟悉，但方法新颖而独道，这些都给人一

种耳目一新的感觉.由于方程3/（©=工又非常规方程，现行高中教材是不要求的，考生解

答这一道题目时，若按常规方法去思考，很难获得正确解答，许多考生也因此思维受阻，多

数考生只能靠“猜”和“押”.这显然不是理科学科所要的数学素养.要想获得正确解答，

我们只有重新去思考新的解题方案.

根据题意，将方程3/（x）=