立体几何 06截面与作图问题、反证法与结构不良问题 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练立体几何06（截面与作图问题、反证法与结构不良问题）1．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面，且是正三角形，点是的中点，点，分别在棱，上．（1）求证：；（2）若，，，共面，求证：；（3）在侧面中能否作一条直线段使其与平面平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是正三角形，为线段的中点，．（1）求证：平面平面；（2）是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）若平面平面，在平面内确定一点，使的值最小，并求．3．如图，三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，．（1）求二面角所成角的正弦值．（2）设，分别是棱，的中点，又．求经过，，三点的平面截三棱柱的截面的周长．4．如图，四边形为正方形，，，，（1）求证：点不在平面内；（2）若平面平面，求二面角的余弦值．5．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点、分别在棱、上．（1）若是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．6．在三棱锥中，是的重心，是面内一点，且平面．（1）画出点的轨迹，并说明理由；（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值．7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台，也可称为“截头圆锥”．在如图的圆台中，上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2．（1）结合圆台的定义，写出截面的作图过程；（2）圆台截面与截面是两个全等的梯形，若，求二面角的平面角的余弦值．8．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①；②；③点在平面的射影在直线上．如图，平面五边形中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外），、分别是、的中点，且____．（1）求证：；（2）当与平面所成角最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．9．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①，②与平面所成的角为，③．（1）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出在上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角的余弦值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.参考答案1．（1）证明：是正三角形，点是的中点，，又平面平面，平面平面，平面，又平面，．（2）证明：又底面是平行四边形，，又平面，平面，平面，平面平面，平面，．（3）取的中点，取的中点，连接，，，则是的中位线，，，又点是的中点，且，，则，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又平面，在平面中能作出直线段．2．（1）证明：是正三角形，为线段的中点，．是菱形，．又，是正三角形，，而，平面．又，平面．又平面，平面平面；（2）解：由，知．，又，因此，的充要条件是，．即存在满足的点，使得，此时；（3）解：延长到，使得，由（1）知平面，则是点关于面的对称点，在平面中，过点作，垂足为，交于，则点是使的值最小的点．设，则，平面平面，且平面平面，，平面，平面，，得，，，得．3．（1）为的中点，连接，侧面为菱形，，△为正三角形，，侧面底面，侧面底面，侧面，底面，又底面为正三角形，为的中点，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．底面是边长为4的正三角形，，0，，，，，，，2，，，，，，设平面的一个法向量为，由得，令，得，，又易只为平面的一个法向量．．所以二面角所成角的正弦值为．（2）连接，，，，分别是棱，的中点，，又因为，，经过，，三点的平面截三棱柱的截面即为平面，其中，在△中，因为三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，，由余弦定理得，取的中点，连接，四边形为平行四边形，，又因为侧面为菱形，，△为两个全等的等边三角形，连接，，又因为，，又因为侧面底面，且侧面底面，平面，又平面，，又因为，，即，所以截面的周长为：．4．（1）证明：（反证法）假设点在平面内，设，，，四点确定平面，四边形为正方形，，平面与平面不重合，平面，平面，平面，平面，平面平面，，，、中直角梯形的两腰，不可能平行，故假设不成立，点不在平面内．（2）设，连接，在直角梯形中，过点作于，，为的中点，，，，，，四边形为正方形，，平面平面，平面平面，平面，，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，取，则，0，，，2，，，1，，，0，，，，，，1，，，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，3，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．5．根据已知条件知，，三直线两两垂直，所以分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：，0，，，0，，，6，，，0，，，0，，，3，；在棱上，设，，，；（1）证明：若是的中点，则；，；；；；（2）设，，，，，，在棱上；，；，，，，；；；，，；；平面的一个法向量为；平面；；；，，；设平面的法向量为，则：；，取，则；又平面的一个法向量为；又二面角的余弦值为；；解得，或（舍去）；，4，；三棱锥的高为4，且；．6．（1）分别取，三等分点，，其中，，连接，，，则为点的轨迹．证明如下：①，，，平面，平面，平面，是的重心，，平面，平面，平面，，平面平面，当在上时，平面．②如图，假设不在上，任取上一点，连接，平面，平面，，平面平面，则平面，平面平面，平面，，得，与矛盾，故假设不成立．综上所述，为点的轨迹；（2）由余弦定理得，解得，，即，又，，平面，，又，平面，，平面，平面，，当点与重合时，最短．如图，在平面内，作，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系，则，，0，，，0，，，，，，，设为平面的一个法向量，则，令，得，设为平面的一个法向量，则，令，符，，二面角的余弦值为．7．（1）延长圆台的轴与母线交于点，在底面圆上任取一点，连接，交圆于点，连接，，在圆内，以点为圆心画弧，交圆于点，连接，，交圆于点，连接，，则四边形即为截面；（2）取的中点，连接，在等边三角形与等边三角形中，，在圆台中，，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，，，，，则点，1，，，2，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，由，取，得；设平面的法向量为，由，取，得．，由图可知，二面角为钝角，二面角的平面角的余弦值为．8．（1）证明：取，的中点分别为，，连接，，．选择①：因为，，所以，即．又，，所以平面．因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面．同理：平面．因为，所以平面平面，所以平面．又平面，所以．选择②：连接，则，，因为，所以．又，，所以平面．因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面．同理：平面．因为，所以平面平面，所以平面．又平面，所以．选择③：因为点在平面的射影在直线上，所以平面平面．因为平面平面，平面，，所以平面，所以．又，，所以平面．因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面．同理：平面．因为，所以平面平面，所以平面．又平面，所以．（2）连接，，由（1）可知：平面，所以即为与平面所成的角．因为，所以当最小时，最大，所以当，即为中点，最小．以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以，．设平面的法向量为，，，则，令，得．由题意可知：平面的法向量为，0，，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．9．（1）在线段上存在中点，使得平面．证明如下：设的中点为，连结，由题意得为平行四边形，则，又平面，平面，平面．（2）选择①平面，，由题意知，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，，则，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，0，，，1，，，，，设平面的法向量，，，，取，得，1，，又平面的法向量，0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．选择②与平面所成的角为平面，取中点，连结，取的中点，连结，，则，且，平面，与平面所成角为，，在中，，又，，，，，两两垂直，以、、分别为，，轴，建立空间直角坐标系，，0，0，，，，，，1，，，2，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，又平面