人教A版高中数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》易错题训练 (20)(附答案解析)

必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》易错题专题训练(20)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合M={工|04刀式1},N={x&N|x2-2x-3<0},则MClN=()

A.[0,1]B.(0,1]C.{1}D.{011}

2,设A=[x\x2—4%4-3<0},B={x|ln(3—2x)<0},则/nB=()

A.(-oo,1)B.(1,3]C.(1()D.(|,3]

3.已知a,beR,则“a>b”是“a2(a-b)>0”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4,设a,b为实数，则“log2a>log2"是“口>花”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设X6R,则“刀2一4刀一5<0”是“/+6%+5>0”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.已知集合4={工一<0}•若1任八，则实数a取值范围为()

A.(-00,-1)u[l,+oo)B.[-14]

C.(-00,-1]U[1,4-00)D.(-1,1]

7.若集合4={1,2,3,4,5},集合B={x|x(4-x)<0},则集合An(CRB)=().

A.{1,4}B.{4,5}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

8.若不等式。%2+6%+00的解集是(一2.3),则不等式以2+/^+£1<0的解集是()

A.11B.(-8,-三1)u(1丁+8)

C.(-2.3)D.(-8,—2)U(3,+8)

9.已知集合4={幻/<4},B={X|三WO},贝IJ(CRB)CM=()

A.(-2,1]B.(-2,1)C.。2)D.[1,2)

10.已知集合4=bl/<4},S={x|g<0},则(CR0CA=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(-2,1]D.(-2,1)

11.已知集合4={刘》(%+1)30},={y|y>0},下列结论正确的是()

BQAB.AQBc.4UB=RD,A=B

12.己知％>0,y>0,xy=2x+y,贝k+y取得最小值时，X=()

A.V2B.V24-1C.1D.V2-1

二、多选题(本大题共1小题，共5.0分)

13.下列函数中最大值为1的是()

A.y=/+卞B.y=2%V1-x2,x6[0,1]

Cv>0Dy=x+~r—z,x<3

j，e2%+l'(x-3)

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

14.若x>4,y>1,且xy=12+x+4y,贝ijx+y的最小值是.

15.己知向量五=(X-1,-2)方=(y,4),若五〃E，则9工+3、的最小值是.

16.已知x,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y最小值.

17.已知命题：p：(x-3)(x+1)>0,命题q：x2-2x+l-m2>0(m>0),若命题p是命题q的

充分不必要条件，则实数m的范围是.

四、解答题(本大题共13小题，共156.0分)

18.已知不等式a/+3ax+1>0.

(1)若不等式的解集是{x|-4<x<1},求a的值；

(2)若不等式的解集是R,求a的取值范围.

19.在①沆=(a+b,c-a),n=(a-fa,c),且布1元，②2a—c=2bcosC,

③sin(B+I7T)=cs1这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答.

62

在AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且________.

(1)求角B；

(2)若b=4,求△ABC周长的最大值.

(注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.)

20.在①“XeP”是“XeS”的充分条件，②“XeP”是“XeS”的必要条件，③“XeP"是

“X6S”的充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

问题：己知P={x\x2-8x-20<0},非空集合S={x|l-m<x<l+巾}.若,求m的

取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21,设命题P：实数%满足+37n2<0(7n>0),命题q：实数x满足产-5x+6<0.

(1)若m=1,且pAq为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

22.若a,b均为非负实数，且ab+a+b-l=0,则ab的最大值为,2a+b的最小值

为.

23.在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若siM/l+siMB—siMC+sinAsinB=0,

且中线CD长为2.

⑴求C;

(2)求△ABC面积的最大值.

24.设a,b是两个不相等的正数，若鸿=1,

(1)用综合法证明：a+b>4；

(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法证明：匹无<代.

25.如图，居名小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和

EFGH构成的面积为200m2的十字形地域。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为42（单位：

百元/根2）；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为2.1（单位：百元/m2）；

再在四个角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为0.8（单位：百元//）.设4D的长为#（单位：m）,

总造价为y（单位：百元）

（1）写出y关于久的函数关系式

（2）y的最小值为

n

26.已知在数列｛斯｝中，叼=4,an+1—1=an+2x3.

（1）证明：数列｛斯-3玛为等差数列.

（2）设a=21。①（每一71）,记数列｛演｝的前n项和为令7=鬻，问:数列｛%｝中的最小项

是第几项，并求出该项的值.

27.已知在△力8c中，三个内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,且2asin力cosC+csin24=ab.

（1）求443。的外接圆半径；

(n)若a=W，求△ABC的面积S的最大值.

28.已知EIA8C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若2ccosB=2a+b.

(1)求角C；

(2)若£ABC的面积为46，求3a2+c2的最小值.

29.在团ABC中，角的对边分别是a,b,c,EMBC的面积为S,已知炉+be-abcosC=26S.

(1)求角4

(2)若团ABC的周长为12,求S的最大值.

30.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且X+2代acsinB=(a+c)2,AaBC的面

积为2g.

(1)求角B;

(2)设4,b,|a-c|成等比数列，求；l的最小值.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

本题考查集合的交集运算与解一元二次不等式，属于基础题.

化简集合N,根据交集定义可得答案.

解：因为N={xeN|(x-3)(x+l)<0}

={xG/V|-1<x<3}={0,1,2},

M={x|0<x<1},

所以MnN={0,1},

故选。.

2.答案：C

解析：

本题考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以

及交集的运算.可以求出集合4,B,然后进行交集的运算即可.

解：A={X|l<x<3},B={x|0<3-2x<1}={x|l<x<|}；

故选：c.

3.答案：B

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.

求得a2(a-b)>0的充要条件，即可得结果.

解：当a>b,a=0时，不等式-b)>0不成立.

若a2(a-b)>0,则a#：0,且a-b>0,

•••a>b成立，

即a>b是a2(a-b)>0的必要不充分条件.

故选B.

4.答案：A

解析：

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查对数函数的性质及不等式性质，考查分析与

计算能力，属于基础题.

由对数函数的性质及不等式性质，计算可得“log2a>log2b”是“历>赤”的充分不必要条件.

解：因为log2a>log?。，所以a>b>0,

根据不等式的性质得到：气>解，

即log2a>log2b=>Va>y/b,

反过来，因为当。=1,匕=0时，log2b的值没有意义，

所以>/a>瓜令log?a>log2b>

则“log2a>logzb”是“位>伤”的充分不必要条件,

故选：A

5.答案：B

解析：

本题考查了一元二次不等式的解法和必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题.

利用一元二次不等式的解法得解，再利用必要条件、充分条件与充要条件的判断得结论.

解：由好一4X一5<0,解得一1<%<5,

由+6x+5>0可得，x<—5或x>—1,

由一1<x<5成立，贝H<-5或%>一1一定成立，

反过来x<-5或x>-1成立，则一1<x<5不一定成立，

所以“必一4彳一5<0”是“d+6x+5>0”的充分不必要条件，

故选B.

6.答案：B

解析：

本题考查分式不等式的求解问题，考查集合与元素之间的关系，属于基础题.由题意得到三》0,

继而可求出实数a的取值范围.

解：由题意得：一》0，

1+a

即{,11当+1)<。,解得：

+Q。0

另外，当a=l时，集合A={x|缶<0}=(-1,1),符合条件1《人

所以—14a41.

所以实数a的取值范围为[—1,1].

故选B.

7.答案：D

解析：

本题主要考查了集合交集、补集的混合运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

先解不等式求得集合8,从而由补集的定义可得CRB,然后根据交集的定义可得答案.

解：•:A={1,2,3,4,5},B={x|x(4-%)<0}={x\x>4或x<0},

•••CRB={x|0<x<4},

•••An(CRB)={1,234},

故选D.

8.答案：A

解析：

本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属

于中档题.

不等式a/+bx+c>0的解集是(一2.3),可知：2,3是一元二次方程+bx+c=0的实数根，

且a<0.利用根与系数的关系可得b=-«.c-6a，代入不等式ex?+bx+a<0即可得出.

解：因为不等式a/+bx+c>0的解集是(-2.3),

所以2,3是一元二次方程。/+6%+©=0的实数根，且a<0.

bc

所以—2+3=—,—2x3=一,

aa

即b=-=—(MI.

所以不等式c/+b%+Qv0化为一6Q%2—a%4-a<0,即6/+%—1<0,

解得-5<工<).

所以不等式ex?+bx+a<0的解集为{1-；</<"}.

故选A.

9.答案：A

解析：

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

分别求出4与B中不等式的解集确定出A与B,进而求出CRB=(-8,l]u(3,+8),找出两集合的交集

即可.

解：由亦<4,解得：—2<x<2,即4=(-2,2),

由B中不等式等价为：(%-3)0—1)30,且久去1,

解得：1<XW3,即B=(1,3],

则CRB=(-8,1]U(3,+8).

所以(CRB)Cl4=(-2,1].

故选4.

10.答案：C

解析：

本题考查的是求集合的交集，补集运算以及不等式的解法，属于基础题.

先解一元二次不等式化简集合4,分式不等式化简B,再根据集合的运算即可求解

解：由4={%|/<4}={%|-2<%<2},所以4=(-2,2),

由8={幻岩40}={%|1<》43},所以B=(l,3],

QRB=U(3,+8),

所以(CR3)CA(-2.1),

故选c.

11.答案：A

解析：

本题考查集合与集合的关系，属于简单题.

化简集合4根据子集定义及集合与集合的关系，可得结论.

解：因为集合/={x\x(x+1)>0]={X|X>0-1},

B={y\y>0),

所以8cA,

故选A.

12.答案：B

解析：

本题主要考查了基本不等式，属于基础题.

依题意，由2x+y=孙得升鼻=1,.・•£+y=(x+y)e+9=3+号+占根据基本不等式求最

值即可.

,.,12

解：由2%+y=xy得-+-=1,

xy

...x+y=(x+y)G+|)=3+y+^

>3+2l--x=3+2y/2,

5/yx

P+-=1

当且仅当{晨,即x=l+/,y=&+2取等号，

故选B.

13.答案：BD

解析：

本题考查函数的最值的求法，属基础题.

直接利用基本不等式，函数的单调性或对勾函数的性质等对每个选项逐一判断即可.

解：对于4•••丫=7+专》2卜.右=1,当且仅当无2=9时，y取得最小值1,无最大值，错

误；

对于B,当x6[0,1]时，y=《/+(1—7)=1,

当且仅当％2=1-/,即％=争时，y取得最大值1,二8正确；

2gx2

对于C,rx>(),.•.e*>l,y=万工=晟转<1，贝丹无最大值，错误；

对于。，V%<3,%-3<0.令x-3=t,t<0,则y=t+；+3.

根据对号函数的性质，当t<0时，t+江—2,当且仅当t=-1/=2时“=”成立，

:.当且仅当x=2时，y取最大值1,二。正确.

故选BD.

14.答案：13

解析：

【试题解析】

本题考查基本不等式求最值，属于中档题.

由条件可知x-4>0,y-1>0,所以(x-4)(y-1)=16W(七年二产=7位,解之得最小值.

解：因为x>4,y>1且工厂12+工+如，

所以x—4>0,y—1>0,贝I(1―4闻-1)=1)一上一4y+4=12+4=16W(―—~~-)2=——-—，

当且仅当x—4=y-1=4,即x=8,y=5时取等号，

所以(工+y-5片264,解得工+产一528,

故x+y>13.

所以最小值为13.

故答案为13.

15.答案:6

解析：

本题考查基本不等式，涉及向量的共线,属于基础题.由向量共线可得2x+y=2,化简可得*+3旷=

32才+3〃，由基本不等式可得.

解：•••方=(%—1,-2),3=(y,4),且五〃加

(x-1)x4=-2y,：.2x+y=2,

•••/+3、=32x+3丫>2V32x-3y=2A/32*+y=2序=6,

当且仅当32、=3y即2x=y,即X=\,y=1时取等号，

尹+3、的最小值为6,

故答案为6.

16.答案：4

解析：

此题主要考查基本不等式的用法，属于中档题.

由题意x+2y=8-x-(2y)N8-(等即可得解.

解：由题意x+2y=8-x-(2y)>8-(交/丫(当且仅当％=2y时取等号)，

整理得(x+2y产+4(%+2y)-32>0,

即(x+2y-4)(x+2y+8)>0,

又x+2y>0,

所以x+2y>4(当且仅当％=2y时取等号)，

则x+2y的最小值是4.

故答案为4.

17.答案：(0,2)

解析：

本题考查充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题.

分别求出关于p,q的不等式，根据p是q的充分不必要条件结合集合的包含关系得到关于m的不等式

组，解出即可.

解：p：x<-1或x>3,

命题q：x<1—m或％>1+m,

若p是q的充分非必要条件，

{:UU"="不同时成立，

当m=2时，上面不等式”"同时成立，p是q的充要条件，不满足题意，

又m>0,

所以0<m<2,

故实数m的取值范围是(0,2).

故答案为(0,2).

18.答案：解：⑴；不等式&/+3〃+1>0的解集是{尤|一4<%<1},

a<0,且-4和1是方程a/+3ax+1=0的两个实数根，

-4+1=-3,-4x1=：,

求得a=一%

(2)当a=0时，不等式为1>0,其解集为R,满足题意,

当a#0时，应满足：｛△=(3a)2-4xax1＜0，求得。＜。＜小

综上可得，a的取值范围是［0,6.

解析：【试题解析】

本题主要考查一元二次不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力，属于基础题.

(1)由题意结合不等式的解集和韦达定理即可求得实数a的值；

(2)由题意，分类讨论Q=0和QH0两种情况，利用一元二次不等式的解法，即可确定实数Q的取值

范围.

19.答案：解：(1)选①•・•沅=(a+b,c-a),n=(a-b,c),Tn1n,

・•.(a+b)(a—b)+c(c—a)=0.

化简得，a2+c2-b2=ac,

又因为0<BV7T,

：,B=-

3・

选②根据正弦定理，由2a—c=2bcosC得-sinC2sinBcosC,

又因为sin力=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,

所以2sinCcosB=sinC,

又因为sinCW0,

所以cosB=1,

又因为B£

所以8=

选③由sin(B+£)=cosB+；,

sinB+-cosB=cosB+

22

sinB--cosB=

22

所以cos(B+91

2

又因为BE(0,/r),

所以B+?=亨，

因此8=j.

(2)由余弦定理匕2=a2+c2-2accosB,

得16=(a+c)2—3ac.

又•••等2斯，

ac<@叱，当且仅当a=c时等号成立，

4

・•・3ac=(a+c)2—16<式。”)，

4

解得，a+c<8,

当且仅当a=c=4时，等号成立.

・・・Q+b+cW8+4=12.

,也ABC周长的最大值为12.

解析：本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数两角和与差公式，向量垂直的应用，基本不等式求

最值，考查计算能力，属于较难题.

(1)若选择①根据题意利用余弦定理计算cosB=%芳=舞=%可得B=j；

若选择②利用正弦定理和两角和的正弦公式计算得cosB=；,可得B=全

若选择③，利用两角和正弦公式及己知条件计算得到cos(8+力=一；，得8+?=督，B=W；

(2)利用余弦定理及基本不等式得a+cW8,进而可得△ABC周长的最大值.

20.答案：解：选①，

由％2-8%一20<0,W-2<x<10,

所以P={x|-2WxW10),

由久eP是xeS的充分条件，知P£S.

故{1—m<—2,

1+m>10,

所以m>9.

所以当mN9时，％€P是％£S的充分条件,

即所求?n的取值范围是［9,+8).

选②,

由一一8刀一20<0,W-2<%<10,

所以P={x|-2WxW10),

由xeP是x6S的必要条件，知SUP.

又由已知S为非空集合.

1—m<1+m,

故1—m>—2,

14-m<10.

所以0<m<3.

所以当0<m<3时，xGP是xGS的必要条件,

即所求m的取值范围是［0,3］.

选③,

由X2—8X-20<0,W-2<x<10,

所以P={x|-2WxW10),

若xGP是x6S的充要条件，则P=S,

1—m=-2,

所以

1+m=10.

m=3,

所以

m=9.

即不存在实数m,使％6P是xeS的充要条件.

故所求m的取值范围是空集.

解析：【试题解析】

本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，集合关系中的参数取值问题以及一元二次

不等式的解法，属于中档题.

选①，先解不等式可得集合P，再根据PUS,由此可求出ni的取值范围；选②，先解不等式可得集

合P，再根据SUP,由此可求出m的取值范围；③先解不等式可得集合P,再根据P=S,由此可求

出m的取值范围.

21.答案：解(1)当巾=1时，若命题p为真命题，

则不等式—4mx+3m2<0可化为x2—4x+3<0,

解得1<x<3；

若命题q为真命题，则由X2-5X+6<0,解得2cx<3.

为真命题，贝!Jp真且q真，

.•.实数x的取值范围是(2,3)

(2)由42-4mx+362<0,解得(x-37n)(x-?n)<0,又m>0,

m<x<3m

设p：A={x|m<x<3m,m>0],q：B={x|2<x<3}

p是q的必要不充分条件，:B^A.

二{那解得147n-2,

故m的取值范围为[1,2].

解析：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，考查根据必要条件求参数范

围，属于中档题.

(1)若a=l,求出命题p,q的等价条件，利用pAq为真，则p,q为真，即可求实数x的取值范围；

(2)求出命题p,q的等价条件，由题意可知p是q的必要不充分条件，列出相关不等式，即可求实数m

的取值范围.

22.答案：3-2V2；1

解析：

【试题解析】

本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.

由ab+a+b-1=0>ab+2Vab-l，可求得ab的最大值；将b用a表示后代入2a+b中，得到2a+

b=2(a+1)+会-3,然后利用基本不等式求出最小值.

解：•・•a,b均为非负实数，且ab+a+b-1=0之ab+1，

/.VaF<V2-l，即ab(3—2或,当且仅当a=b=鱼一1时取等号,

由已知得人=言》0,

即04a41,

2a+b=2a+—=2a+—--1=2(a+l)+--3,

1+aa+1'Ja+1

令t=1+Q,贝(1,2],

结合对勾函数的单调性可知，y=2t+：-3在[1,2]上单调递增,

.♦.当t=l时，取得最小值，此时a=0,b=1.

故答案为3-2在；1.

23.答案：解：(1)由正弦定理及siM4+siMB-sin2C=—sinAsinB^a2+b2—c2=-ab,

aZ+Mc?_-ab

由余弦定理cosC=i

2ab2ab2’

又0VCV7T,则c=[;

(2)由题知。为48中点，CD=2,三角形ABC面积为S=；x]xCDxsin(乙4DC)+£X；XCDX

sinQBDC)=csin(乙4DC),当且仅当乙4DC=90。时，上式中等式成立，此时三角形C40为等腰三

角形，又NC=120°,于是乙4=乙B=^x(180°-120°)=30℃Z)=2,4B=c=2x2xtan(60°)=

4遮，

所以三角形ABC面积的最大值为4g.

解析：本题主要考查正余弦定理和面积公式，考查了利用基本不等式求最值，是中档题，

(1)利用余弦定理的推论求解即可；

(2)由题得中线C。长为2,根据三角形面积公式计算得出当且仅当乙40c=90。，三角形面积最大，根

据相应的条件即可得出结果.

24.答案：证明：(1)因为a>0,b>0,且aHb,

所以a+b=(a+b)《+》

=1+1+-+7>2+2=4,

ab

所以Q+/?>4;

(2)因为Q>b>c,且a+b+c=0,

所以Q>0,c<0,

要证明原不等式成立，

只需证明，匕2—ac<V3a>

即证炉—ac<3a2,

又b=-(a+c),

从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,

即证(a-c)(2a+c)>0,

因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a—b>0,

所以(a-c)(2a+c)>0成立，

故原不等式成立.

解析：本题考查了综合法和分析法证明不等式，同时考查基本不等式和不等式的性质，是中档题.

(1)利用基本不等式即可证明；

(2)结合不等式的性质，利用分析法证明即可.

25.答案：解：(1)依题意得，4M=%对,•••AM>0,.IO<x<10/，

4x

花坛总造价:%=42x2,

地坪总造价：y2=4x2.1x型手x=420-2.1/,

草坪总造价：为=4x工x史吐x史吐x0.8=华+O.lx2-40,

八24x4xX2

所以可得总造价为：y=yi+，2+、3=40/+答+380；

(2)•••尤2+詈220当且仅当M=詈即X=土国时取等号，

•••xG(0,10夜)，

二当x-时，ymtn=40x20+380=1180元.

解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于

中档题.

(1)根据两个相同的矩形4BCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平

方米得出AM的表达式，最后建立y与x的函数关系即得；

(2)利用基本不等式即可求解.

26.答案：解：(1)证明：因为册+1-1=厮+2x3%

所以an+i-3"i

nn+1n

=an+2x3+l-3=an-3+1,

n+1M

即(c1n+i-3)-(an-3)=1,

所以数列｛an-3"｝为等差数列，首项为四-3=1,公差为1.

(2)由(1)可知ci"-3"=1+(n—1)=n,

即即=n+3n,

所以“=21og3(a„-n)=2n,

所以〃=n2+n,

所以“=%至=1+冬+1

>2Jnx停+1=11，

当且仅当n=5时取等号.

故数列｛%｝中的最小项是第5项，该项的值为11.

解析：本题考查等差数列的证明以及等差数列求和，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

+1n

(1)由已知可得(而+1-3")-(an-3)=1,故数列｛册-3与为等差数列.

(2)由已知求得b"=2n,可得7j,=ri2+n,故包=U^至=(几+与)+1

>2lnx^+l=ll,问题得解.

27.答案:解：(I)由2asiih4cosc+csin2A=ab得,2sin4(acosC+ccosA)=ab,

由射影定理可知acosC+ccosA=b,

所以2sinA=a.

由正弦定理可知品=2R(R为△4BC外接圆的半径)，

所以R=1.

(n瘠a=V^t,sin4=乎，所以或4=竽

(1)当4=翔，由余弦定理的推论cosA="萨=拂，

22

/?+c=3+be>2bc9所以be43,当且仅当b=c时等号成立，

所以SEIABC=|bcsin?l<|x3xy=乎，

此时，三角形4BC的面积S的最大值为P

4

(2)当4=争寸，由余弦定理的推论cosA=比萨=一券.

b2+c2=3-be>2bc,所以beW1,当且仅当b=c时等号成立，

所以S团ABC=；bcsinA<~x1x-=/，

此时，三角形4BC的面积S的最大值为二.

解析：本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换、三角形面积等有关知识，涉及利用基本不等式求

最值，考查分类讨论思想与计算求解能力，是中档题.

(I)由二倍角公式得2sin4(acosC+ccosA)=ab,由射影定理可知acosC+ccosA=b,

所以2sinA=a.由正弦定理可得44BC的外接圆半径；

(□)当。=遮时，sin4=W，所以4=彳或4=竽分两种情况结合余弦定理和基本不等式可得尻的最

大值，从而得出△ABC的面积S的最大值.

28.答案：解：(1)由2ccos8=2a+b及正弦定理可得2sinCcos8=2sin4+sinB,

:.2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,

即2sinBcosC4-sinB=0,

又sinB>0,故cosC=-j,故C=亨.

(2)因为△4BC的面积为46，

所以｝absinC=4次，x—=4V3,故ah=16,

N22

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+62-2X16X(-1)=a2+b2+16,

所以3a2+c2=3次+。2+炉+16=4Q24-ft24-16>4ab4-16=80,

当且仅当2a=b=时等号成立，

故3a2+c2的最小值为80.

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和利用基本不等式求最值，是中档题.

(1)由正弦定理可得2sinCcos8=2sin力+sinB,再结合sin4=sin(B+C)化简可得2sin8cosC+

sinB=0,则cosC=一条即可得出角C；

(2)由｝absinC=4^3,得ab=16,由余弦定理可得c?=a2+b2—2abcosC=a2+h2+16,所以

3a2+c2=4Q2+炉+16,由基本不等式可得3a2+的最小值.

29.答案：解：(1)由S=；absi?iC,及b?+be—abcosC=2用S,

得/+be-abcosC=WabsinC,

即b+c—acosC=y/3asinC»

由正弦定理上7=