2024年初三上册数学专项弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图-巩固练习（基础）

2024年初三上册数学专项弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB.4πC.3πD.2π2．如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在()．A．A处B．B处C．C处D．D处3．劳技课上，王红制作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长为50cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸的面积至少为()．A．250πcm2B．500πcm2C．600πcm2D．1000πcm24．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是()．A．120°B．180°C．240°D．300°5．底面圆半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积是()．A．7.5πcm2B．12πcm2C．15πcm2D．24πcm26．（2015•新宾县模拟）如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（） A．π B． π C． π D．π二、填空题7．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.第8题图第9题图第11题图9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．10.（2015•北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长．12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于．三、解答题13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．14.圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝cm，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．16.（2015•温州模拟）已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：（1）∠AOC的度数；（2）线段AD的长（结果保留根号）；（3）求图中阴影部分的面积．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C.【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为2π，圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π.故选C.2.【答案】B【解析】小羊的活动区域是扇形，或是扇形的组合图形，只要算出每个扇形的面积，即可比较出拴在B处时活动区域的面积最大．3.【答案】B；4.【答案】B；【解析】由得，∴．∴n＝180°．5.【答案】C；【解析】可求圆锥母线长是5cm．6.【答案】B；【解析】因为正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°；连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，∴∠AOC=144°所以劣弧AC的长度为=π．故选B．二、填空题7.【答案】240πcm2；【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积．8．【答案】20π（cm）；【解析】(cm)．9．【答案】3π；【解析】由扇形面积公式得(cm2)．10．【答案】2；【解析】扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．．11．【答案】；【解析】顶点A经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm,.12．【答案】；【解析】连接AC，知AC＝AB＝BC，∴∠BAC＝60°，∴弧．三、解答题13.【答案与解析】将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，

过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，

∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，

∴OC为小圆的半径，

∴S阴影部分=S大半圆-S小半圆

=π•OB2-π•OC2

=π（OB2-OC2）

=πAC2

=72π．

故答案为72π．14.【答案与解析】(1)证明：同圆中的半径相等，即OA＝OB，OC＝OD．再由∠AOB＝∠COD＝90°，得∠1＝∠2，所以△AOC≌△BOD．(2)解：．15.【答案与解析】(1)如图所示，连接OC，则OC⊥AB，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝．在Rt△AOC中，．∴⊙O的半径为3cm．(2)∵OC＝3cmOB，∠B＝30°，∠COD＝60°．∴扇形OCD的面积为．∴阴影部分的面积为．16.【答案与解析】解：（1）∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°；（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，∴△AOC是等边三角形；∵OH=，∴AO=4；∵AD与⊙O相切，∴AD=；（3）∵S扇形OAC==π，S△AOD=×4×4=8；∴．弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积

的计算公式，并应用这些公式解决问题；

2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

要点二、扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

要点三、圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（）．A． CBAO B． C． D．CBAO图（1）【答案】A.【解析】连结OB、OC，如图（2）则，OB=，，，由弦BC∥OA得，所以△OBC为等边三角形，.则劣弧的弧长为，故选A.图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)

【答案】R=40mm，n=110

∴的长==≈76.8(mm)

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，

∴OC⊥AB，

OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．B． C． D．AEAEBDCFP图（1）【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，

∠A=2∠EPF=80°．

则扇形EAF的面积是：

故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=．图（2）

故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.一个直角三角形绕它的一边所在直线旋转一周所得到的几何体一定是()．A．圆锥B．圆柱C．圆锥或圆柱D．以上都不对2.（2015•杭州模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（） A．3π B． C． D． 4π3．如图所示，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10cm，图中阴影部分的面积为()．A．B．C．D．第3题图第4题图第5题图4．如图所示，Rt△ABC中，∠BAC是直角，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为()．A．1B．2C．D．5．如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是()．A．B．C．D．6．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是()．A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm2二、填空题7.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．ABCABCDE第6题第7题8．圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比为．9．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，则S1:S2等于________．10．如图所示，有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是．第10题图第11题图第12题图11．矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右做无滑动地翻滚，当它翻滚到类似于开始的位置A1B1C1D1时(如图所示)，则顶点A所经过的路线长是________．12．（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是.三、解答题13.如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?14．现有一张边长为20cm的正方形纸片，你能用这张纸片制成一个表面积尽可能大的有底圆锥吗?说明你的做法并计算圆锥的表面积(结果精确到0.1cm，＝1.414)．15．如图所示，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少?(结果用根号表示)16.（2015•福州模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠B=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】绕直角边所在直线旋转一周所得到的几何体与绕斜边的不同．2．【答案】C；【解析】∵D为AC的中点，AC=AO=6，∴OD⊥AC，∴AD=AO，∴∠AOD=30°，OD=3，同理可得：∠BOE=30°，∴∠DOE=150°﹣60°=90°∴点D所经过路径长为：==．故选C．3．【答案】B；【解析】如图，因为AD∥BC，∠ADC＝120°，所以∠BCD＝60°，因为AC平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝30°，所以∠BAC＝90°，BC为圆的直径，所以AD＝DC＝AB．设BC的中点为O，连接OA、OD，由题意可知点A、D三等分半圆，则∠AOD＝60°，且OA＝OD＝AB＝AD＝CD，BC＝2AD，所以AB+AD+CD+BC＝10，所以半径为2，则．第3题答案图第5题答案图4.【答案】A；【解析】连接AD，．5．【答案】B；【解析】如图，连接AD，因为BC为⊙A切线、D为切点，所以AD⊥BC．又由∠BAC＝2∠EPF＝2×40°＝80°，∴．∴．6．【答案】C；【解析】在Rt△COB中，由CO2+BO2＝BC2，得BC＝10cm，所以．二、填空题7．【答案】；【解析】在Rt△ABE中，

∴∠BAE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴圆锥的侧面展开图的弧长为：=π，

∴圆锥的底面半径为π÷2π=．8．【答案】2:1；【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴此半圆的周长(即侧面展开扇形的弧长)为．又∵此半圆的周长等于2πr，∴，，，即．即圆锥的母线长与底面半径比为2:1．9．【答案】2:3；【解析】如图所示，当以AC为轴旋转时，，AB为底面圆半径，BC为母线长10，则S1＝36π+60π＝96π．当以AB为轴旋转时，AC为底面圆半径，BC为母线长，，所以，所以S1:S2＝96π:144π＝2:3．10．【答案】；【解析】扇弧长，而扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面圆半径为r，∴4π＝2πr，∴r＝2cm．如图所示，AC＝2cm，OA＝6cm，Rt△OAC中，OC＝cm．11．【答案】12π；【解析】分析题意，考虑A所经过的路线可分为三段孤长，如图所示，第一段是以B为圆心，AB长为半径，圆心角∠ABE＝90°的弧长；第二段是以F为圆心，EF长为半径，圆心角∠EFM＝90°的弧长；第三段是以N为圆心，NA1长为半径，圆心角∠A1NM＝90°的孤长．EF＝10，NA1＝6．则顶点A所经过的路线长＝．12.【答案】240πcm2.【解析】这张扇形纸板的面积=×2π×10×24=240π（cm2）．三、解答题13.【答案与解析】将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接AC．则AC是小虫爬行的最短路线．∵，∴，即．∵SA＝4，SC＝2，∴．∴小虫爬行的最短距离为．14.【答案与解析】用一张正方形纸片制成一个有底圆锥，方法有多种，但使其表面积尽可能大的只有一种，确定了扇形、圆、正方形三者之间的关系之后；就可通过计算求出扇形及圆的半径，并制成符合条件的圆锥．具体做法：(1)通过分析、比较确定符合条件的扇形、圆与正方形的位置关系，并画出示意图，如图所示．(2)通过它们的位置关系计算出扇形和圆的半径，并根据计算结果在纸片上画出截剪线．(3)剪下符合条件的扇形与圆，用扇形作侧面，圆作底面粘接成圆锥．其表面积的计算过程是：如上图所示，设扇形的半径为Rcm，⊙O的半径为rcm，M、N均为切点，连接OM、ON．则有OM⊥BC，ON⊥DC．∵OM＝ON＝r．∴四边形OMCN为正方形．∴OC＝．∵AC＝AG+GO+OC，AC＝AB＝cm，∴．①∵的弧长等于⊙O的周长，∴，即R＝4r．②由①②得，∴．．故所做圆锥的表面积约为305.3cm2．15.【答案与解析】（1）连接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴BC＝1m．∵AB＝AC，∴m．∴．（2）设圆锥底面圆的半径为r，∴．∴．16.【答案与解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2，∴AB=4，∴BC==2，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD∴=，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；（2）连接OC，OD，∵∠B=30°，∴∠AOC=∠2∠B=60°，∵OA=OB，∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，由（1）得∠AOD=90°，∴∠COD=150°，S△AOD=×AO×OD=×22=2，∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解（提高）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积

的计算公式，并应用这些公式解决问题；

2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

要点二、扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

要点三、圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1.如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，的长为20πcm，那么AB的长是多少?【答案与解析】∵，∴．解得R＝30cm．答：AB的长为30cm．【总结升华】由弧长公式知，已知l、n，可求R．举一反三：【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是．【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得2.如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?【答案与解析】∵BC＝AD＝，∴．连接PE，∵AD切⊙E于P点，∴PE⊥AD．∵∠A＝∠B＝90°．∴四边形ABEP为矩形，∴PE＝AB＝1．在Rt△BEM中，，∠BEM＝30°．同理∠CEN＝30°，∴∠MEN＝180°-30°×2＝120°．∴．【总结升华】由与AD相切，易求得扇形MEN的半径，只要求出圆心角∠MEN就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN的面积．举一反三：【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角