专题5-2平面向量共线定理与等和线

专题52平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知，是三点共线的充要条件证明若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件.证明:(1)由A，B，C三点共线.由得.即，共线，故A，B，C三点共线.(2)由A，B，C三点共线.由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得.故.令，则有.二、等和线相关性质平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。1.当等和线恰为直线AB时，k等于1.2.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。1.当等和线恰为直线AB时，k等于1.2.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.2017全国3卷（理）T12在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A．3 B．2 C． D．2【答案】A【详解】法一：等和线设,，则,设，则，即而∵PE过点C时取最大值，则，故，则法二：如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.2020年江苏省高考在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为；若为常数且，则的长度是 ．【解答】解：当为中点时，在中，，，，则，所以，又，所以，即当为中点时，的长度为．为常数且，如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，由，整理得，，，，．由，得，解得或（舍．所以直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，．即，，．的长度是．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一向量共线定理：构造方程组求系数2023·深圳二模已知中，，，与相交于点，，则有序数对（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.【详解】依题意、、三点共线，故，所以，又、、三点共线，故，则，所以，解得，所以，又，所以，所以有序数对.江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)在中，已知，，与交于点O.若，则.【答案】【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得.【详解】因为，，所以，，又，所以，，又与交于点O，所以，所以，即在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.【详解】因为，所以，则.因为A，P，D三点共线，所以.因为，所以.因为E是边AB的中点，所以.因为E，P，F三点共线，所以，则，解得，从而，，故.题型二向量共线定理：结合不等式求最值2024届·湖南师大附中月考（二）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为1C．的最小值为4 D．的最大值为16【答案】C【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D.【详解】为正实数，，，而共线，，当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误；，当且仅当，即，即时取等号，即的最小值为4，C正确；又，由于为正实数，，则，则，时取最大值，当趋近于0时，可无限趋近于0，故，故无最大值，D错误，如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是.【答案】【分析】平面向量基本定理，借助三点共线，找出的关系式，的最值利用消元法求解范围即可.【详解】平面向量基本定理，借助三点共线可知：，得解得，所以2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考（多选）在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（

）A． B．C．的最小值为17 D．【答案】ABD【分析】根据平面向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可.【详解】因为，所以，所以，故A正确；又因为，则，因为，所以又三点共线，所以，整理得，故B正确；由可得，所以，因为，当时，，故的最小值不为，故C不正确；由于，所以，则，所以又，当且仅当时，等号成立所以的最大值为，故D正确（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（）A.B.C.的最大值为1D.【答案】ABD【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式）对于B选项：,（分点恒等式）（三点共线定理），故B正确补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项.对于C选项：，故C错误；对于D选项：，故D正确题型三等和线：求系数和最值，范围如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________．【答案】【解析】令,易证，，∴如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是．【答案】【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，直线的方程为，化简得，点到的距离，可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，设，则，，，，，可得且，的坐标为，在圆内或圆上，，设，得，代入上式化简整理得，若要上述不等式有实数解，则，化简得，解得，即，取值范围是．故答案为：．给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.【答案】【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证，当时，取最大值，；（2）取OA中点E，则OC交BE于F，设,，易证，当时，取最大值，.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为()A．－1B．1C．2D．3【答案】【解析】取AD中点F，则直线FP交AE于G，设∵FPG三点共线∴当P在EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)中点时，G与E重合，此时t取到最小值，在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（

）A．4 B．C．2 D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】依题意在直角中，，，以为原点建立如图所示平面直角坐