奥数二次函数试题

二次函数6：中考压轴题

【例1】(2005年)已知二次函数y=ax?+bx+c.

(I)若a=2,c=-3,且二次函数的图象经过点(-1,-2),求b的值

(II)若a=2,b+c=—2,b>c,且二次函数的图象经过点(p,-2),求证：b》0；

(DI)若a+b+c=0,a>b>c,且二次函数的图象经过点(q,-a),

试问自变量x=q+4时，二次函数y=ax2+bx+c所对应的函数值y是否大于0?

并证明你的结论。

【例2】(2006年)已知抛物线y=ax?+bx+c的定点坐标为(2,4).

(I)试用含a的代数式分别表示b,c；

q1

(II)若直线y=kx+4(kWO)与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F,且"过=—,

SOEF3

其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；

(III)在(H)的条件下，若线段EF的长m满足3&〈机W3，？，试确定a的取值范围。

【例3】（2007年）已知关于x的一元二次方程/+匕龙+。=%有两个实数根玉,%,且

满足七>0,马—玉>1。（1）试证明c>0;（2）证明。2>2（6+2c）；（3）对于二次函

数丁=/+。%+。，若自变量取值为与，其对应的函数值为打，则当0</<天时，试

比较X）与%的大小。

解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式

即X1+（Jb-l）x+c=0

V七,马是该方程的两个实数根

九1+%2=一3-1），（1分）

而再>O1%>再+1〉0•*-c>0（2分）

（2）（x2-玉产=（%2+天）2—4%1犬2

=（b—1）2—4c=/;2_2b—4c+l（3分）

%2—%>1（%2—王）2>1（4分）

于是人2一2人一4。+1>1,即Z?2—2b—4。>0

・•.b2>2（b+2c）（5分）

（3）当0</<时，有%>Xi

*.*y（）=%；+bx0+c，%;+6再+c=再

/.Vo—%]=XQ+bXg+c—（%；+bx、+c）

=（%0-玉）（％o+匹+。）（7分）

0<x0<Xjx0-%1<0

又•/X2-Xx>1/.x2>Xj+1,再+12〉2再+1

%]+%2=—（b—1）.,*—（b—1）〉2匹+1

于是2玉+/?<0*.*0<x0</.x0+%1+/?<0（9分）

由于工。一修<0,x0+%1+Z7<0

(x0-Xj)(x0++/?)>0,即—2〉0

当时，有％)>为(10分)

【例4】(2008年)已知抛物线y=3ax2+2bx+c,

(I)^a=b=l,c=-l,求该抛物线与x轴公共点的坐标；

(II)若。=6=1,且当-1<X<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围;

(III)若a+/+c=0,且a=0时，对应的%>0;超=1时，对应的为>。，试判断当0<x<l

时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.

解(I)当a=b=l,c=—l时，抛物线为y=3/+2x—l,

方程3-+2x-l=0的两个根为X]=-1,

•••该抛物线与X轴公共点的坐标是(—1,0)和.............................2分

(II)当a=6=l时，抛物线为y=3,+2X+C,且与X轴有公共点.

对于方程3—+2x+c=0,判别式A=4-12cN0,<c<-........................3分

3

①当c=)时，由方程3/+2x+,=0,解得X]=x,=-L

333

此时抛物线为y=3f+2x+g与x轴只有一个公共点g,。]....................4分

②当c<2时，

3

%]=-1,H=3—2+c=l+c,

超=1时,为=3+2+。=5+。,

由已知-1VXV1时，该抛物线与X轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为X=-工，

3

%W0,(1+cWO,

应有广即1

%>。.[5+00.

解得—5<cW—l.

综上，c=!或一5<cW—1................................................6分

3

(III)对于二次函数y=3a%2+2/zx+c,

由已知阳=0时，％=c>0；盯=1时，为=3〃+2b+c>0,

又Q+O+C=O,3a+2b+c=(ab+c)+2a+b=2ab.

2a+/?>€).rHjb——a—c,••2a—a—c>0,即a—c>0.

a>c>0..........................................................7分

•・•关于X的一元二次方程3依2+2Zzx+c=0的判别式

A=4b2-12ac=4(a+c)2-12ac=4[(〃-c)2+ac\>0,

・•・抛物线y=3以2+2for+c与x轴有两个公共点，顶点在不轴下方.................8分

又该抛物线的对称轴x=-2，

3a

由Q+》+C=O,c>0,2a+b>0,

~vZ?v—a，

1<-

33a3

又由已知X1=O时，X>0；了2=1时，,2>0，观察图象,

可知在0<x<l范围内，该抛物线与X轴有两个公共点..........................10分

2

【例5】（2009年）已知函数必=羽y2=x+bx+c,a,，为方程%-%=0的两个根，

点M（l,T）在函数内的图象上.（I）若。=；，q=g，求函数内的解析式；（II）在

（I）的条件下，若函数必与为的图象的两个交点为AB,当△ABM的面积为g时，

求f的值；（UD若0<夕<分<1,当0</<1时，试确定T,«,万三者之间的大小关系，

并说明理由.

1

解（I）X=%，y2=x-\-bx-\-c,y—％=0，

/.x2+(Z?-l)x+c=0.................................................1分

将tz=g,〃=g分别代入f+0—l)x+c=0,得

+0-l)xg+c=0,

解得b=Lc——.

66

51

函数》2的解析式为>2=X9——九+一•.....................................3分

66

(II)由已知，得AB=U设的高为/z,

6

SAABM即夜/?='.

△ABM212123144

根据题意，卜一刀=同，

1

由丁=产-|—t—，得

6666144

5

当厂—t—=--------时，解得§=t>

661441212

5-0_5+V2

当=——时，解得J—12%-12

661443

.•/的值为95-拒5+0

6分

1212'12

(III)由已知，得

a—夕？+ba+c,B=/J?+Z?/+c,T-*—Z-2+bt+c.

:,T-a=(t-a]{t-¥a+b]，

T_尸二«_£)(.+£+Z?),

a-p=(〃+b@+c)_(£2+人尸+c),化简得(q_4)(q+6+人—i)=0

0<cif</?<1,得o-/?wO,cc+/3-\-b—1—0.

有e+Z?=l—/?>0,p-\-b—\—cc>0.

又0<，v1,/.，+a+Z?>0,%+/?+Z?>0,

当0<，WQ时，TW。WB；

当tzv%W/7时，a<TW/3•,

当/Jvtvl时，a</3<T..................................................10分

【例6】（2010）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-f+6尤+。与*轴交于点4、3（点

A在点3的左侧），与），轴的正半轴交于点C,顶点为E.

（I）若6=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标；

（II）将（I）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

SABCE=SAABC，求此时直线BC的解析式；

（ID）将（I）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形A5EC中满足

SABCE=2SAAOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式.

解：（I）当6=2,c=3时，抛物线的解析式为y=-f+2x+3,即y=+4.

，抛物线顶点E的坐标为（1,4）...................................2分

（II）将（I）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=l上，有6=2,

抛物线的解析式为>+2x+c（c>0）.

此时，抛物线与y轴的交点为C（0,c）,顶点为E（l,1+c）.

方程—x2+2尤+c=O的两个根为X]=1—,无2=1+Jl+c，

...此时，抛物线与无轴的交点为4（1-71X20）,5（1+71+^0）.

如图，过点E作斯〃C8与x轴交于点/，连接CF,则S"CE=SABCF.

S丛BCE=SAABC，

S/\BCF=SAABC-

：.BF=AB=2A/1+C.

设对称轴x=1与x轴交于点D,

1----------

贝4£）尸=-AB+3P=3^/^Tc.

2

由所〃CB,得ZEFD=NCBO.

pnCO

：.RtAEDF^RtACOB.W—

DF

1+c_c

结合题意，解得c=-.

3Jl+c1+Jl+c4

・••点C（0,-），B（-,0）.

42

【例7】（2011年）已知抛物线。1：%=；必—x+i,点

（I）求抛物线q的顶点坐标;

（II）①若抛物线G与y轴的交点为A,连接AW,并延长交抛物线G于点8,

求证二-+°-=2；

AFBF

②取抛物线G上任意一点0（尤?，yj（o<~<1）,连接PF,并延长交抛物线G于

点。（％，y。），试判断工+二一=2是否成立？请说明理由；

\）PFQF

1）

（III）将抛物线C］作适当的平移,得抛物线。2：%=5（X—/，），若2〈尤W加时，为WX

恒成立，求冽的最大值.

1c1,1

解：（I）V,=—x2-x+1=—+-,

122V'2

抛物线C｝的顶点坐标为［1,g）.

（II）①根据题意，可得点A（0,l）,

网1,1)，

轴，得AF=3产=1,

11c

----1----=2.

AFBF

@—+—=2^AL.

PFQF

理由如下：

如图，过点%)作RVf_LAB于点M,

则府=1—%PM=l-yp,(O<xP<l)

.•.RtAPM/中，由勾