2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布第6讲二项分布与超几何分布考点3超几何分布

超几何分布在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．[解析](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)[引申1]用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为多少？[解析]由题意可知X的取值为1,2,3,4,5，则P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列为X12345Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)[引申2]用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为多少？[解析]由题意知X可取的值为3,1，－1，－3，－5.则P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(1,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(3,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝－3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(4,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝－5)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，因此X的分布列为X31－1－3－5Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)名师点拨：1．超几何分布的特点(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)超几何分布是不放回抽样问题；(4)随机变量为抽取的某类个体的个数．(5)考查某类个体抽取个数X的概率分布．2．超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更容易记忆：P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})，即恰取了k件次品的概率P＝eq\f(次品中取了k件×正品中取了n－k件,N件产品中任取n件).3．超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．【变式训练】(2024·江苏南京六校联合体期中联考)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回)．已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为eq\f(2,3).(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．[解析](1)由题意知X的值为0,10,20,30.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,7)C\o\al(3,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)，P(X＝10)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,120)＝eq\f(7,40)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(63,120)＝eq\f(21,40)，P(X＝30)＝eq\f(C\o\al(3,7)C\o\al(0,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(35,120)＝eq\f(7,24).所以X的分布列为X0102030Peq\f(1,120)eq\f(7,40)eq\f(21,40)eq\f(7,24)∴E(X)＝0×eq\f(1,120)＋10×eq\f(7,40)＋20×eq\f(21,40)＋30×eq\f(7,24)＝21.(2)记“该同学仅答对1道题”为事件M.P(M)＝eq