广东省深圳市罗湖中学高一数学理联考试卷含解析

广东省深圳市罗湖中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从集合A到B的映射中,下列说法正确的是(

)A．B中某一元素的原象可能不只一个；

B．A中某一元素的象可能不只一个C．A中两个不同元素的象必不相同；

D．B中两个不同元素的原象可能相同参考答案：A2.已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】根据G为三角形重心，化简已知等式，用c表示出a与b，再利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：∵△ABC的重心为G，∴++=，即+=﹣，∵a+b+c=，∴（a﹣c）+（b﹣c）=，∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，∴cosA===，则A=．故选：A．3.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②y=x2，③，④y=x﹣1B．①y=x3，②y=x2，③，④y=x﹣1C．①y=x2，②y=x3，③，④y=x﹣1D．①，②，③y=x2，④y=x﹣1参考答案：B【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选B5.已知定义域为的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是

（

）A.等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形 D.锐角三角形参考答案：C略7.化简cos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）所得的结果是（）A．cosθ B．﹣cosθ C．cos3θ D．﹣cos3θ参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式化简后，利用两角和的余弦函数化简求解即可．【解答】解：∵诱导公式：cos（α+2kπ）=cosα，k∈Z；

cos（﹣α）=cosα，sin（π+α）=﹣sinα；

余弦的两角和公式：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβcos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）=cos（﹣θ）cos2θ+sinθ（﹣sin2θ）=cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=cos（θ+2θ）=cos3θ故选：C．8.若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（

）A. B. C. D.(1,2)参考答案：C【分析】利用正弦定理，用a表示出sinA，结合C的取值范围，可知；根据存在两个三角形的条件，即可求得a的取值范围。【详解】根据正弦定理可知，代入可求得因为，所以若满足有两个三角形ABC则所以所以选C【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，判断三角形的个数情况，属于基础题。9.已知函数（

）A．3

B．1

C．－1

D．－3

参考答案：D10.若x、y满足约束条件，则的最小值是（

）A.－3 B.0 C. D.3参考答案：A【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】约束条件，表示的可行域如图，解得，解得，解得，把、、分别代入，可得的最小值是，故选A．【点晴】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值，间接求出的最值．注意：转化的等价性及几何意义．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数的图象过点，则的解析式是_____________________.参考答案：12.若的最小值为，则实数

。

参考答案：略13.已知，则sinθcosθ=

，cosθ﹣sinθ=

．参考答案：﹣，．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】推导出sinθ+cosθ=，从而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，由此能求出sinθcosθ，从而cosθ﹣sinθ==，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴sin=（sinθ+cosθ）=，∴sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，解得sinθcosθ=﹣，∴cosθ﹣sinθ====．故答案为：﹣，．【点评】本题考查三角函数求值，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．14.函数的定义域为

．参考答案：由得，所以函数的定义域为。15.若在等比数列{an}中，，则

参考答案：216.函数

的单调递增区间是

.

参考答案：略17.设数列满足：，，则________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以20km/h的速度向北偏西方向移动（其中）,台风当前影响半径为10km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？参考答案：如右图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，则t小时后台风经过的路程PC＝（20t）km，台风半径为CD＝（10+10t）km，需满足条件：CD≥AC…………4分

∴整理得…………8分即

解得∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时.…………12分19.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2x+1，在数列{an}，a1=1，an+1=f（an）﹣1（n∈N*），数列{bn}为等差数列，首项b1=1，公差为2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令（n∈N*），求{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由题意知：f（x）=2x+1，an+1=2an，又a1=1，{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故，由b1=1，d=2可得：∴bn=2n﹣1．（2），Tn=c1+c2+c3+…+cn∴①两边同乘公比得，②①﹣②得化简得：20.（12分）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）参考答案：考点： 指数函数的实际应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．解答： 设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．点评： 本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．21.已知α，β均为锐角，sinα=，cos（α+β）=，求（1）sinβ，（2）tan（2α+β）参考答案：【考点】GR：两角和与差的正切函数；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．（2）由（1）可求tanα，tan（α+β），进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵α均为锐角，sinα=，得cosα=，又∵α+β∈（0，π），cos（α+β）=，可得：sin（α+β）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=…6分（2）∵tanα=，tan（α+β）=，…9分∴tan（2α+β）===…12分22.如下图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点.（Ⅰ）若两点的纵坐标分别为，求的值；