2019年全国中考数学分类汇编：压轴题(一)(含答案解析)

2019年全国中考数学分类汇编:

压轴题（一）

1.（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=，-2x-3与x轴交于点A,8（点

4在点8的左侧），交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连结80,点M是线段8力上一动点（点何不与端点B,。重合），过点用作MN

LBD,交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H,交BD

于点F,点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+LPC的最小值：

3

（2）在（1）中，当MN取得最大值，“尸+FP+J-PC取得最小值时，把点尸向上平移返

32

个单位得到点Q,连结AQ,把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度a（00<a<360°）,

得到OQ',其中边A'Q1交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使

得N2=N20G?若存在，请直接写出所有满足条件的点。'的坐标；若不存在，请说

2.（2019•德州）如图，抛物线丫=m？__|切「4与x轴交于A（xi,0）,B（X2,0）两点，

与y轴交于点C,且X2-XI=3L

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P（xi,yi）,Q（X2,”）是抛物线上的两点，当aWxiWa+2,垃》之寸，均有

2

yiW”，求。的取值范围；

（3）抛物线上一点。（1,-5）,直线BO与y轴交于点E,动点M在线段3。上，当

ZBDC=ZMCE时，求点M的坐标.

3.(2019•天津)已知抛物线y=/-bx+c(b,c为常数，b>0)经过点A(-1,0),点、M

(m,0)是x轴正半轴上的动点.

(I)当6=2时，求抛物线的顶点坐标；

(II)点。(b>>'D)在抛物线上，当AM=A。，m=5时，求人的值；

(III)点Q您+工JQ)在抛物线上，当扬历+2QM的最小值为理返时，求。的值.

24

4.(2019•济宁)如图1,在矩形A8C£>中，A8=8,AD=10,E是CD边上一点，连接AE,

将矩形48C。沿4E折叠，顶点。恰好落在8c边上点尸处，延长AE交8c的延长线于

点G.

(1)求线段CE的长；

(2)如图2,M,N分别是线段AG,QG上的动点(与端点不重合)，且NDMN=NDAM,

设AM=x,DN—y.

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M,使AOMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在,

请说明理由.

5.（2019•自贡）（1）如图1,E是正方形A8C。边A8上的一点，连接80、DE,将N8OE

绕点力逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点尸和点G.

①线段DB和DG的数量关系是；

②写出线段BE,B尸和之间的数量关系.

（2）当四边形ABC。为菱形，NAOC=60°,点E是菱形ABC。边A8所在直线上的一

点，连接8。、DE,将/BOE绕点。逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC

交于点F和点G.

①如图2,点E在线段A8上时，请探究线段BE、BF和8。之间的数量关系，写出结论

并给出证明；

②如图3,点E在线段AB的延长线上时，OE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,

直接写出线段GM的长度.

6.（2019•自贡）如图，已知直线A8与抛物线C：相交于点A（-1,0）和点

B（2,3）两点.

（1）求抛物线C函数表达式；

（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行

四边形M4NB,当平行四边形MAN8的面积最大时，求此时平行四边形MAN8的面积S

及点M的坐标；

（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离

等于到直线y="的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.

7.（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形Q48C的边长为4,边。4,OC分别

在x轴，y轴的正半轴上，把正方形O48C的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为

好点.点尸为抛物线丁=-（X-%）2+m+2的顶点.

（1）当，〃=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数.

（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标.

（3）若点P在正方形0ABe内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求〃?

的取值范围.

8.（2019•金华）如图，在等腰RtZWBC中，ZACB=90°,AB=I4&,点。，E分别在

边A8,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.

（1）如图1,若4。=8力，点E与点C重合，A尸与DC相交于点O.求证：BD=2DO.

（2）已知点G为AF的中点.

①如图2,若AO=BD,CE=2,求OG的长.

②若AC=68O,是否存在点E,使得△QEG是直角三角形？若存在，求CE的长：若不

存在，试说明理由.

A

9.（2019•枣庄）已知抛物线y=o?+当+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,8两点

2

（点8在点A右侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;

（2）如图1,若点P是抛物线上8、C两点之间的一个动点（不与8、C重合），是否存

在点P，使四边形P80C的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最

大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作〉轴的平行线，交直线BC于点N,

当MN=3时，求点M的坐标.

10.（2019•达州）箭头四角形

模型规律

如图1,延长C。交AB于点。，则/8OC=N1+NB=NA+/C+N8.

因为凹四边形A8OC形似箭头，其四角具有“N8OC=N4+NB+NC”这个规律，所以

我们把这个模型叫做“箭头四角形”.

模型应用

(1)直接应用：①如图2,ZA+ZB+ZC+Z£>+Z£+ZF=.

②如图3,ZABE.N4CE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点F,已知NBEC=

120°,ZBAC=50°,则NBFC=.

③如图4,BOi、COi分别为NABO、NACO的2019等分线(i=l,2,3,…，2017,

2018).它们的交点从上到下依次为。、02、03、…、O20I8.已知/80C=M,ZBAC

=n,则N80i(x)oC=度.

(2)拓展应用：如图5,在四边形ABC。中，BC=CD,NBCD=2/BAD.。是四边形

A8CD内一点，KOA=OB=OD.求证：四边形08C£)是菱形.

11.(2019•达州)如图1,已知抛物线y=-f+bx+c过点4(1,0),B(-3,0).

(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

(2)设点。是x轴上一点，当tan(ZCAO+ZCDO)=4时，求点。的坐标；

(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA

交BE于点M,交y轴于点M△BMP和的面积分别为小〃，求〃的最大值.

12.(2019•滨州)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的分别与BC,4c交于

点。，E,过点。作。FLAG垂足为点P.

(1)求证：直线。尸是。。的切线；

(2)求证：BC2=4CF-AC；

(3)若。。的半径为4,ZCDF=15°,求阴影部分的面积.

13.(2019♦滨州)如图①，抛物线y=-L?+L+4与)，轴交于点A,与x轴交于点B,C,

82

将直线AB绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于点D

(1)求直线AO的函数解析式;

(2)如图②，若点尸是直线上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离;

,求sinN以。的值.

4

14.(2019•青岛)已知：如图，在四边形ABC。中，AB//CD,N4CB=90°,AB=]Ocm,

BC=Scm,OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为Icmis；

同时，点。从点。出发，沿。C方向匀速运动，速度为k»?/s；当一个点停止运动，另

一个点也停止运动.过点P作PELAB,交BC于点E,过点。作。尸〃AC,分别交4D,

0。于点凡G.连接OP,EG.设运动时间为f(s)(0<t<5),解答下列问题：

(1)当f为何值时，点E在/B4C的平分线上？

(2)设四边形PEG。的面积为S(az?),求s与f的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻K使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出

f的值；若不存在，请说明理由；

(4)连接OE,OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻f,使OE，。。？若存在，求出

f的值；若不存在，请说明理由.

15.(2019•重庆)在平面直角坐标系中，抛物线y=-返？+返什2丁愁x轴交于4,B两

42

点(点月在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为O,对称轴与x轴交于点Q.

(1)如图1,连接AC,BC.若点P为直线8c上方抛物线上一动点，过点P作PE〃y

轴交8c于点E,作PF,3c于点F,过点B作2G〃AC交y轴于点G.点H,K分别在

对称轴和y轴上运动，连接P4,HK.当△PEF的周长最大时，求P/7+HK+返KG的最

2

小值及点H的坐标.

(2)如图2,将抛物线沿射线4c方向平移，当抛物线经过原点0时停止平移，此时抛

物线顶点记为O',N为直线。。上一点，连接点》,C,N,△£>'CN能否构成等腰

三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.

16.(2019•安徽)一次函数丫=依+4与二次函数y=o?+c的图象的一个交点坐标为(1,2),

另一个交点是该二次函数图象的顶点

(1)求k,a,c的值；

(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=o?+c的图象相交

于B,C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2,求卬关于相的函数解析式，并求卬

的最小值.

17.(2019•安徽)如图，Rt^ABC中，NAC8=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点，且

/APB=NBPC=135°.

(1)求证：△尸8C；

(2)求证：PA=2PC；

(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为加，h2,h3,求证加2=加33.

18.(2019•扬州)如图，四边形ABC£＞是矩形，AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外

部作等腰直角△GDC,NG=90°.点"在线段A8上，且点P沿折线AD-

OG运动，点。沿折线8C-CG运动(与点G不重合)，在运动过程中始终保持线段P。

//AB.设P。与A8之间的距离为x.

(1)若4=12.

①如图1,当点P在线段A。上时，若四边形AMQP的面积为48,则x的值为；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

(2)如图2,若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a

的取值范围.

19.(2019•扬州)如图，已知等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、

B不重合).直线1是经过点P的一条直线，把AABC沿直线1折叠，点B的对应点是点

B'.

(1)如图1,当PB=4时，若点8'恰好在AC边上，则AB'的长度为；

(2)如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,贝1J88'的长度为；

(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,△AC"的面积是

否变化？若变化，说明理由：若不变化，求出面积；

(4)当PB=6时，在直线1变化过程中，求△AC8'面积的最大值.

20.(2019•南京)如图①，在RtZvlBC中，/C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形。EFG,

使点。在边AC上，点E、尸在边AB上，点G在边BC上.

小明的作法

1.如图②，在边AC上取一点。，过点。作。G〃AB交BC于点G.

2.以点。为圆心，DG长为半径画弧，交A8于点£

3.在EB上截取连接FG,则四边形OEFG为所求作的菱形.

(1)证明小明所作的四边形。EFG是菱形.

(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继

续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.

21.(2019•南京)【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按

直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两

点A(xi,yi)和B(%2,”)，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)=|xi-%2|+|yi-

泗.

【数学理解】

(1)①已知点月(-2,1),则d(。，A)=.

②函数y=-2r+4(0<xW2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3,则

点B的坐标是.

(2)函数y=2(x>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d

x

(.O,C)=3.

(3)函数y=f-5x+7(x》0)的图象如图③所示，。是图象上一点，求，/(。，D)的

最小值及对应的点D的坐标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到

某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适

当的平面直角坐标系，画出示意图并筒要说明理由)

22.(2019•宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称

为邻余线.

(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,AO是△ABC的角平分线，E,F分别是BO,AD

上的点.

求证：四边形是邻余四边形.

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,8在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

ABEF,使A8是邻余线，E,F在格点上.

(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点M,连结0M并延长交A3于点。，延长EF

交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.

23.(2019•宁波)如图1,00经过等边△48C的顶点A,C(圆心。在内)，分别

与AB,CB的延长线交于点。，E,连结BF，EC交AE于点、F.

(1)求证：BD=BE.

(2)当AF：EF=3：2,AC=6时，求AE的长.

(3)设tanNDAE=y.

EF

①求y关于x的函数表达式；

②如图2,连结。凡OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值.

图1图2

24.(2019•泰安)若二次函数y=o?+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,

-2)且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式；

(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且SNBA=4,求点P的坐标；

(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点使NA80=NA8M?若存在，求出点M到

y轴的距离；若不存在，请说明理由.

督■用图

25.(2019•泰安)如图，四边形A8CO是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB

上，且NCEF=90°,FG±AD,垂足为点C.

(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

(2)若点H为C尸的中点，GH与DH垂直吗?若垂直，给出证明；若不垂直，说明理

由.

26.(2019•杭州)设二次函数y=(x-xi)(x-X2)(xi,X2是实数).

(1)甲求得当x=0时，y=0；当x=l时，y=0；乙求得当》=工时，y---.若甲求

22

得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.

(2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值(用含力，的代数式表示).

(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,〃)两点(机，〃是实数)，当0＜见＜%2

<1时、求证：.

16

27.(2019•杭州)如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O,ODLBC于点。，连接04.

(I)若/BAC=60°,

①求证：

2

②当0A=l时，求△ABC面积的最大值.

(2)点E在线段04上，0E=0D,连接DE,设NABC=/nZ0E。，ZACB=nZ0ED

(m,"是正数)，若NABCV/AC8,求证：m-n+2=0.

28.(2019•盐城)如图所示，二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数)=日-A+2的

图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线A8分别与x、)，轴交于C、。两点，其

中k<0.

(1)求A、8两点的横坐标；

(2)若△OAB是以0A为腰的等腰三角形，求k的值；

(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数总使得N0DC=2NBEC,

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

29.(2019•泰州)如图，线段AB=8,射线BGLAB,P为射线BG上一点，以AP为边作

正方形APCD,且点C、。与点B在AP两侧，在线段OP上取一点E,使NE4P=/BAP,

直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、8不重合).

(1)求证：△4EPZ/XCEP；

(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

(3)求△?!£■厂的周长.

30.(2019•泰州)已知一次函数yi=fcv+〃(n<0)和反比例函数”=典(m>0,x>0).

x

(1)如图1,若〃=-2,且函数yi、"的图象都经过点A(3,4).

①求，”，々的值；

②直接写出当>)2时X的范围；

(2)如图2,过点P(1,0)作)，轴的平行线/与函数"的图象相交于点8,与反比例

函数(x>0)的图象相交于点C.

x

①若k=2,直线/与函数yi的图象相交点。.当点8、C、。中的一点到另外两点的距

离相等时，求坎-〃的值；

②过点B作x轴的平行线与函数yi的图象相交与点E.当〃的值取不大于1的任意

实数时，点8、C间的距离与点8、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及

定值d.

y

31.(2019•成都)如图1,在△ABC中，AB=AC=20,tanB=3,点。为8c边上的动点

4

(点。不与点B,C重合).以。为顶点作射线。E交AC边于点E,过点

A作AFLAD交射线DE于点F,连接CF.

(1)求证：△ABOs2xocE；

(2)当。E〃48时(如图2),求AE的长；

(3)点。在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF?若存在，求出

此时5。的长：若不存在，请说明理由.

32.(2019•成都)如图，抛物线丫="/+法+。经过点A(-2,5),与x轴相交于8(-1,0),

C(3,0)两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BC。沿直线BD翻折得到4

BCD,若点。恰好落在抛物线的对称轴上，求点。和点。的坐标；

(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为

等边三角形时，求直线3尸的函数表达式.

33.(2019•温州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=*+4分别交x轴、y轴于点B,

C,正方形4OCD的顶点。在第二象限内，E是BC中点，OELOE于点凡连结OE.动

点P在40上从点A向终点。匀速运动，同时，动点。在直线BC上从某一点。1向终

点。2匀速运动，它们同时到达终点.

(1)求点B的坐标和OE的长.

(2)设点0为(m,n),当2=Lan/EOF时，求点。2的坐标.

m7

(3)根据(2)的条件，当点尸运动到AO中点时，点。恰好与点C重合.

①延长交直线BC于点。3,当点。在线段。2。3上时，设。3。=$,AP—t,求S关

于，的函数表达式.

②当PQ与LOEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.

34.（2019•乐山）在△ABC中，已知。是8C边的中点，G是△A8C的重心，过G点的直

线分别交A3、AC于点E、F.

（1）如图1,当EF〃BC时，求证：型+竺=1；

AEAF

（2）如图2,当E尸和BC不平行，且点E、尸分别在线段A3、4C上时，（1）中的结论

是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（3）如图3,当点E在AB的延长线上或点尸在AC的延长线上时，（1）中的结论是否

成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

35.（2019•乐山）如图，已知抛物线y=“（尤+2）（尤-6）与x轴相交于A、B两点，与），轴

交于C点，且tan/CAB=W.设抛物线的顶点为对称轴交x轴于点N.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（〃，0）为x轴上一点，且尸QJ_PC.

①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求〃的变化范围；

②当”取最大值时，求点P到线段C。的距离；

③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个

交点，求f的取值范围.

36.(2019•武汉)在△ABC中，/ABC=90°,坐=〃，M是BC上一点，连接AM.

BC

(1)如图1,若〃=1,N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM=BN.

(2)过点8作BPLAM,P为垂足，连接。尸并延长交A8于点Q.

①如图2,若”=1,求证：空=理.

PQBQ

②如图3,若M是BC的中点，直接写出tan/8PQ的值.(用含〃的式子表示)

37.(2019•武汉)已知抛物线Ci：y=(x-1)2-4C2：y=/

(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?

(2)如图1,抛物线G与x轴正半轴交于点A,直线y=-£+6经过点A,交抛物线

3

C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ//y轴交抛物线C1于点Q,

连接AQ.

①若AP=AQ,求点P的横坐标；

②若布=PQ,直接写出点P的横坐标.

(3)如图2,的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、

NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行.若aMNE的面积为2,设

M.N两点的横坐标分别为，〃、〃，求m与n的数量关系.

38.(2019•苏州)已知矩形ABCD中，AB=5a〃，点P为对角线AC上的一点，且A/>=

2后m.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A-B-C的方向匀速运动(不

包含点C).设动点M的运动时间为f(s),/\APM的面积为S(cm1),S与t的函数关

系如图②所示.

(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为cm；

(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同

时，另一个动点N从点。出发，在矩形边上沿着O-C-B的方向匀速运动，设动点N

的运动速度为u(cmk).已知两动点M,N经过时间x(s)在线段上相遇(不包含

点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与的面积分别为Si

(cnr),52(czM2)

①求动点N运动速度v(cmis)的取值范围；

②试探究Si・S2是否存在最大值，若存在，求出SrS2的最大值并确定运动时间x的值;

若不存在，请说明理由

39.（2019•苏州）如图①，抛物线y=-/+（a+1）x-〃与x轴交于A,B两点（点A位于

点5的左侧），与），轴交于点C.已知△A8C的面积是6.

（1）求a的值；

（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；

（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线C4上一点，且P、Q两点均在第三象限内，

Q、A是位于直线5尸同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,4OPB的面积为2d,

40.（2019•荷泽）如图，抛物线与x轴交于4,8两点，与y轴交于点C（0,-2）,点A

的坐标是（2,0）,P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点力，交直线BC于

点E,抛物线的对称轴是直线》=-1.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点尸在第二象限内，且PE=L>。，求△PBE的面积.

4

（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点使4

是以8。为腰的等腰三角形？若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

2019年全国中考数学分类汇编：

压轴题（一）

参考答案与试题解析

1.（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2x-3与x轴交于点A,8（点

4在点8的左侧），交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连结8£>,点M是线段上一动点（点M不与端点8,。重合），过点M作

LBD,交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH_Lx轴，垂足为H,交BD

于点尸，点尸是线段OC上一动点，当取得最大值时，求“尸+FP+UC的最小值；

3_

（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+LPC取得最小值时，把点P向上平移返

32

个单位得到点Q,连结AQ,把△AOQ绕点0顺时针旋转一定的角度a（0°<a<360°）,

得到△?!'OQ',其中边A'Q'交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使

得/Q，=N0OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说

明理由.

可得|NF|=（2zn-6）--2/n-3）=-m^+4m-3,根据二次函数的性质得m=--

2a

=2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时“F=2,此时尸（2,-2）,在x

轴上找一点K（国0,0）,连接CK,过点尸作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于

4

点P,sin/OCK=当，直线KC的解析式为：y=-2&x-3,从而得到直线FJ的解析

式为：产&x-4+孤联立解出点八2一2加,-19-4企）得FP+LPC的最小值即为

42993

FJ的长，且尸/=「+全匹最后得出|“尸+尸2+」>。"加=1+±/5；

3333

（2）由题意可得出点。（0,-2）,AQ=依，应用"直角三角形斜边上的中线等于斜边

上的一半”取AQ的中点G,连接OG,则OG=GQ=L1Q=Y^,此时，ZAQO=Z

22

GOQ,把△AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度a（0°<a<360°）,得到OQ',

其中边A'Q'交坐标轴于点G,则用。G=GQ1分四种情况求解.

【解答】解：（1）如图1

：抛物线y=7-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点3的左侧)，交y轴于点C

・••令y=0解得：xi=-1,%2=3,令X=0,解得：y=-3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

2

:点。为抛物线的顶点，且一旦=N=1,4ac-b=4X1X(-3)-4=-4

2a24a4X1

.•.点。的坐标为。(1,-4)

直线BD的解析式为:y=2x-6,

由题意，可设点N(加，苏-2次-3),则点尸(血，2/72-6)

，|NF|=（2加-6）-（勿Z2-2〃L3）=-z??2+4m-3

当机=」_=2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时“尸=2,

2a

此时，N(2,-3),F(2,-2),H(2,0)

在x轴上找一点K(国2,0),连接CK,过点/作CK的垂线交CK于点J点，交y

4

轴于点P,

；.sin/OCK=工，直线KC的解析式为：y=-2&x-3,且点F(2,-2),

3

:.PJ=LPC,直线R/的解析式为：

3-42

...点八军运,T9-4&)

99

FP+LPC的最小值即为FJ的长，且尸J|=L

33

：.\HF+FP+LpC\min=7+啦；

33

(2)由(1)知，点P(0,上巨),

_2

•.•把点P向上平移返个单位得到点Q

2

.,.点Q(0,-2)

...在RtAAOQ中，NAOG=90°,AQ=如,取A。的中点G,连接OG,贝UOG=GQ

=X4e=—>此时，ZAQO=ZGOQ

22

把△AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度a(0°<a<360°),得到aA'OQ',其中边

4'Q'交坐标轴于点G

=N。'

则ZIOQ'=ZOA'Q'=ZOAQ,

：sin/OAQ=&=3=^^

AQV55__

...sin//OQ'=IQ，=IQ，=织£解得：\1O\=^&.

0Q'255

在对△0/。，中根据勾股定理可得|0/|=空£

5

...点。’的坐标为。'（2匹，-&返）；

55

②如图3,

y小

Qf

D，图3

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得°，（延.2匹）

55

综上所述，所有满足条件的点Q'的坐标为：（巫，-延■）,（岖,延），（-名度,

__55555

4辰、,（_4遥,_2遥）

5’55

【点评】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能

力的培养及直角三角形的中线性质.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起

来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

2.（2019•德州）如图，抛物线y=〃?/一且nx-4与x轴交于A（xi,0）,B（X2,0）两点，

2

与y轴交于点C,且X2-XI=3L.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P（xi,yi）,Q（x2,y2）是抛物线上的两点，当aWxiWa+2,我》与时，均有

2

yiWy2,求a的取值范围；

（3）抛物线上一点。（1,-5）,直线B。与y轴交于点E,动点M在线段80上，当

ZBDC=NMCE时、求点M的坐标.

【分析】(1)函数的对称轴为：X=-q-=5=3_"，而且JC2-X1=2L,将上述两

2a422

式联立并解得：xi=-S,初=4,即可求解；

2

(2)由(1)知，函数的对称轴为：x=$,则x=2和x=-2关于对称轴对称，故其函

42

数值相等，即可求解;

(3)确定△BOC、△C£»G均为等腰直角三角形，即可求解.

【解答】解：(1)函数的对称轴为：x=--L=—+X2,而且X2-XI=』L,

2a422

将上述两式联立并解得：xi=-1,X2=4,

2

则函数的表达式为：y=m(x+W)(x-4)=m(x2-4x+2r-6),

22

即：-6，"=-4,解得：m=—,

3

故抛物线的表达式为：y=22一旦厂4；

33

(2)由(1)知，函数的对称轴为：x="，

4

则尸旦和x=-2关于对称轴对称，故其函数值相等，

2

又aWxi<a+2,犬22微时，均有户(”，

'a)-2

结合函数图象可得：］,9,解得：-2WaW反；

a+2<y2

(3)如图，连接8C、CM,过点。作CGLOE于点G,

而点8、C、。的坐标分别为：(4,0)、(0,-4)、(1,-5),

贝|JOB=OC=4,CG=GC=1,BC=4&,CC=&,

故△BOC、△CQG均为等腰直角三角形，

：.ZBCD=180°-ZOCB-ZGCD=90°,

在RtZ^BCD中，tanR8DC=比=,迎=4,

CD-V2

NBDC=NMCE,

则tanNMCE=4,

将点3、。坐标代入一次函数表达式：y=/nr+〃并解得：

直线80的表达式为：y=2r-型，故点E(0,-29),

333

设点M(小包l型)，过点M作MFVCE于点F,

33

则MF=",CF=OF-OC=&-至，

33

33

解得：”=丝，

23

故点M(丝，-她).

2323

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，

其中(3),确定△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，是本题解题的关键.

3.(2019•天津)已知抛物线y=/-bx+c(b,c为常数，Z>>0)经过点A(-1,0),点M

(m,0)是x轴正半轴上的动点.

(I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标;

（II）点。（6,yo）在抛物线上，当AM=AO,〃?=5时，求匕的值；

（III）点Q（h+L,yG）在抛物线上，当扬M+2QM的最小值为应返时，求6的值.

24