专题02 8字型（原卷版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题02“8”字型【基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【例题精讲】例1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8 B．10 C．12 D．14例2.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．例3．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．9 B．12 C．18 D．24例4.如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练1】如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．【变式训练2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【变式训练3】如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________．【变式训练4】如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【课后训练】1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于．2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（

）A．先变长后变短 B．先变短后变长C．不变 D．先变短后变长再变短3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．5．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．6．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．7．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．8．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若是的重心（如图），连结并延长交于，证明：；（2）若是的一条中线（如图），是上一点，且满足，试判断是的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（