2025版高考数学一轮总复习素养提升第6章数列第2讲等差数列及其前n项和

与等差数列前n项和Sn有关的最值问题1.(2024·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝(B)A.6 B．7C．10 D．9[分析]由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.[解析]解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，∴Sn最大时，n＝7，故选B.解法二：Sn是关于n的二次函数，Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，且d<0，(n，Sn)所在抛物线开口向下，又S5＝S9，∴抛物线对称轴为n＝7.即n＝7时，Sn最大，故选B.解法三：由解法一知d＝－eq\f(2,13)a1，∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)d))n＝－eq\f(a1,13)n2＋eq\f(14,13)a1n＝－eq\f(a1,13)(n－7)2＋eq\f(49,13)a1，∵a1>0，∴－eq\f(a1,13)<0，∴当n＝7时，Sn最大.解法四：由解法一可知，d＝－eq\f(2,13)a1.∵a1>0，∴d<0.令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≥0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≤0，))解得eq\f(13,2)≤n≤eq\f(15,2).∵n∈N*，∴当n＝7时，Sn最大.2．(2022·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{an}为等差数列，若eq\f(a11,a10)<－1，且其前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(B)A.11 B．19C．20 D．21[分析]利用Sn>0⇔a1＋an>0求解.[解析]∵Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n有最大值，∴d<0，又eq\f(a11,a10)<－1，∴a10>0，a11<0，∴a10＋a11<0，即a1＋a20<0，∴S20＝10(a1＋a20)<0，又S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19a10>0，∴使Sn>0的n的最大值为19.故选B.[引申](1)本例1中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝7或8；(2)本例1中，使Sn<0的n的最小值为15；(3)本例2中，使Sn取最大值时n＝10.[解析](1)若S5＝S10，则Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n的对称轴为n＝7.5，但n∈N*，故使Sn最大的n的值为7或8.(2)由a7＋a8＝a1＋a14＝0知S14＝0，又a8<0，∴2a8＝a1＋a15<0，即S15<0，∴使Sn<0的n的最小值为15.(3)∵Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n有最大值∴d<0，又∵eq\f(a11,a10)<－1，∴a10>0，a11<0，∴n＝10时，Sn最大.名师点拨：求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：【变式训练】1．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1>0，S11＝S18，则对Sn描述正确的有(BC)A.S14是唯一最大值 B．S15是最大值C.S29＝0 D．S1是最小值[解析]由S11＝S18可知a12＋a13＋…＋a18＝0，又{an}是等差数列，所以a15＝0，故S29＝29a15＝0.又a1>0，故S14＝S15，所以S14，S15都是最大值，且公差d<0，Sn无最小值，结合选项可知B，C正确，故选BC.2．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8))).[解析]先根据条件确定等差数列中特定项的符号，再利用不等式组求解.当且仅当n＝8时，Sn有最大值，说明eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8>0，,a9<0.))∴eq\b\lc\{