2025版高考数学一轮总复习考点突破第5章平面向量与复数第5讲复数考点2复数的运算

复数的运算角度1复数的乘法运算1.(2020·课标Ⅱ)(1－i)4＝(A)A．－4 B．4C．－4i D．4i[解析](1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故选A.2．(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(D)A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5[解析]解法一：因为z＝2＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝2－i，所以z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(2＋i)·(2－i)＝22－i2＝4－(－1)＝5，故选D.解法二：z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝22＋12＝5，故选D.3．(2022·全国新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋eq\x\to(z)＝(D)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]因为i(1－z)＝1，所以z＝1－eq\f(1,i)＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1－i，所以z＋eq\x\to(z)＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.角度2复数的除法运算1.(2023·全国甲文，2,5分)eq\f(51＋i3,2＋i2－i)＝(C)A．－1 B．1C．1－i D．1＋i[解析]eq\f(51＋i3,2＋i2－i)＝eq\f(51－i,4－i2)＝eq\f(51－i,5)＝1－i.故选C.2．(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若eq\f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为－2.[解析]eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1－a＋2i,5)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(a＋2,5)i为实数，则eq\f(a＋2,5)＝0，a＝－2.故填－2.角度3复数的综合运算1.(2021·全国甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(B)A．－1－eq\f(3,2)i B．－1＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(3,2)＋i D．－eq\f(3,2)－i[解析]解法一：由题意得z＝eq\f(3＋2i,1－i2)＝eq\f(3＋2i,－2i)＝eq\f(3＋2i·i,－2i·i)＝eq\f(－2＋3i,2)＝－1＋eq\f(3,2)i.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1－i)2z＝3＋2i得(1－i)2(a＋bi)＝3＋2i，∴－2i(a＋bi)＝2b－2ai＝3＋2i，∴a＝－1，b＝eq\f(3,2)，∴z＝－1＋eq\f(3,2)i.故选B.2．(2023·浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足eq\f(4,1＋z)＝1－i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(B)A．4 B．5C．6 D．8[解析]由eq\f(4,1＋z)＝1－i，得z＝eq\f(4,1－i)－1＝1＋2i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝5，故选B.3．已知z是复数，z＋2i，z(1＋i)均为实数(i为虚数单位)，且复数z2＋t在复平面上对应的点在第一，三象限角平分线上，则实数t的值是_－8__.[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意知y＝－2，z(1＋i)＝(x－2i)(1＋i)＝(x＋2)＋(x－2)i，由题意得x＝2，所以z＝2－2i，所以z2＋t＝(2－2i)2＋t＝t－8i，因为复数z2＋t在复平面上对应的点在第一，三象限角平分线上，所以t＝－8.名师点拨：复数运算的技巧1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度．(1)(1±i)2＝±2i;(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i;(4)eq\f(a＋bi,i)＝b－ai.简单的复数方程的解法1．利用复数的四则运算求解即可．2．待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(D)A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i[解析](2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.2．(角度2)(2023·全国乙理，1,5分)设z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)，则eq\x\to(z)＝(B)A．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋i[解析]z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)＝eq\f(2＋i,1－1＋i)＝eq\f(2＋ii,i2)＝－(2i－1)＝1－2i，则eq\x\to(z)＝1＋2i，故选B.3．(角度3)(2024·扬州模拟)已知复数z满足3z＝|8－6i|－zi(i为虚数单位)，则eq\x\to(z)＝(D)A．i B．1＋iC．3－i D．3＋i[解析]∵|8－6i|＝eq\r(82＋－62)＝10，又3z＝|8－6i|－zi，∴z(3＋i)＝10，即z＝eq\f(103－i,3＋i3－i)＝3－i，∴eq\x\to(z)＝3＋i.故选D.4．(角度3)(2024·安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是eq\o(z,\s\up6(－))，若复数z1＝3＋4