辽宁省大连市第六十中学高三数学理测试题含解析

辽宁省大连市第六十中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点，点，向量，若，则实数的值为（

）（A）5

（B）6

（C）7

（D）8参考答案：C略2.已知x0∈（0，π），且sinx0+cosx0=，则x0∈（）A．(，) B．(，)C． (，)D．(，)参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】，两边平方可得：sin2x0=﹣，可得x0∈．再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：，两边平方可得：sin2x0=﹣，∴x0∈．又=sin=﹣，==﹣1．∴，∴x0∈．故选：D．3.设等差数列{an}的前n项和为.若则a8=（）A.12

B.14

C.16

D.18参考答案：C根据已知可得，所以，又因为，所以，所以.4.已知,,则是成立的(

)

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C.6.已知函数和都是定义在R上的偶函数，当时，，则（

）A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】由和都是定义在R上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.【详解】因为都是定义在R上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，所以，故选B.7.设数列是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知，则(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B.设此数列的公比为，由已知，得所以，由，知即解得，进而，所以.8.已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)·(t∈N)是偶函数，则实数t的值为()A．0

B．－1或1C．1

D．0或1参考答案：B略9.设是等差数列的前项和，,则

参考答案：B略10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（

）A.2 B. C. D.1参考答案：A【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可.【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为，高，故俯视图是一个腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为，设顶角为，则截面的面积：，当时，面积取得最大值.故选：A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F为抛物线的焦点，A、B为该抛物线上两点，若，则=

。参考答案：6略12.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:,点P的极坐标为,过点P作圆C的切线,则两条切线夹角的正切值是

.参考答案：13.现有四个函数：①y=x?sinx，②y=x?cosx，③y=x?|cosx|，④y=x?2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是

参考答案：①④②③【考点】函数的图象．【分析】依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故答案为：①④②③14.已知非零向量、不共线，设，定义点集.若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为

参考答案：建系，不妨设，，∴，，，∴，设，∴，即，点在此圆内，∴，15.椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则

．参考答案：16.函数的值域是___▲___．参考答案：（0，＋∞）17.在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是

．参考答案：（，）

【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有??．化简sinA（+）=q即可【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∵a，b，c成等比数列，sin2B=sinAsinB设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有??．sinA（）=sinA（）=sinA=∴sinA（+）的取值范围是：（，）【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、等比中项，及三角形三边的数量关系，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在数列

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若参考答案：证明：（1）①当结论成立；

（1分）②假设成立

由

（4分）由①、②知，对于

（5分）

（2）由得（3）若

（10分）将上述n个式子相乘得

（11分）下面反证法证明：假设与已知矛盾。所以假设不成立，原结论成立，即当

（14分）略19.已知函数f（x）=alnx+，a∈R．（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；（2）证明：当a=2时，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立，其中f′（x）表示f（x）的导函数．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类分析，可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）的最小值不为0；当a＞0时，求出导函数的零点，可得原函数的单调性，求其最小值，由最小值为0进一步利用导数求得a值；（2）当a=2时，f（x）=2lnx+，f′（x）=．构造函数h（x）=，问题转化为h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．利用导数可得存在x0∈（1，2），使h（x）在[1，x0）上为减函数，在（x0，2]上为增函数，再由h（1）=0，h（2）=2ln2﹣＜0，可知h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．即当a=2时，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立．【解答】（1）解：∵f（x）=alnx+=alnx+，∴f′（x）=（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）的最小值不为0；当a＞0时，f′（x）==．当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴=，令g（a）=，则g′（a）=（a＞0）．当a∈（0，2）时，g′（a）＞0；当a∈（2，+∞）时，g′（a）＜0，∴g（a）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，则g（a）max=g（2）=0．∴f（x）的最小值为0，实数a的值为2；（2）证明：当a=2时，f（x）=2lnx+，f′（x）=．令h（x）=，若f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立，则h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．h′（x）=，令t（x）=x3+x2﹣x﹣3，t′（x）=3x2+2x﹣1＞0在[1，2]上恒成立，∴t（x）在[1，2]上为增函数，又t（1）?t（2）＜0，∴存在x0∈（1，2），使t（x0）=0，即存在x0∈（1，2），使h′（x0）=0，则当x∈[1，x0）时，h′（x0）＜0；当x∈（x0，2]时，h′（x0）＞0．即h（x）在[1，x0）上为减函数，在（x0，2]上为增函数，由h（1）=0，h（2）=2ln2﹣＜0，∴h（x）=≤0在x∈[1，2]上恒成立．即当a=2时，f（x）≤f′（x）在x∈[1，2]上恒成立．20.已知焦点在x轴上的椭圆+=1（a＞b＞0），焦距为2，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点．（1）证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值；（2）求|AB|的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）首先根据条件求出椭圆的方程，（Ⅱ）（1）用分类讨论的方法先设直线的特殊形式，再设一般式，建立直线和椭圆的方程组，再利用韦达定理的应用求出关系量，（2）用三角形的面积相等，则利用点到直线的距离求出定值，最后利用不等式求出最小值．【解答】解：（Ⅰ），所以：则：b2=a2﹣c2=1所以椭圆的标准方程为：解：（Ⅱ）（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），证明：①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x将y=x代入，解得所以点O到直线AB的距离为，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆联立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0则：，因为OA⊥OB，所以：x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0即所以：，整理得：5m2=4（1+k2），所以点O到直线AB的距离=综上可知点O到直线AB的距离为定值．解：（2）在Rt△AOB中，利用三角形面积相等，利用点O到直线AB的距离为d，则：d?|AB|=|OA|?|OB|又因为2|OA|?|OB|≤|OA|2+|OB|2=|AB|2，所以|AB|2≥2d?|AB|所以|AB|≥，当|OA|=|OB|时取等号，即|AB|的最小值是【点评】本题考查的知识要点：椭圆标准方程的求法，直线和曲线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理的应用，不等式的应用．属于中档题型．21.如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，E，F分别是BC，PC的中点。

（Ⅰ）证明：AEPD；