高中物理竞赛-话题16：多个物体的平衡问题

PAGEPAGE9话题16：多个物体的平衡问题1、如图所示，屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为、，其中绞接点、、、、位于同一水平直线上，且可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点承受有竖直向下的压力，点承受有竖直向下的压力，求绞接点和间杆的内力。解：由于点可沿水平方向无摩擦滑动，故屋架在点处所受外力只可能沿竖直方向，设为。由于屋架所受外力、和均沿竖直方向，则屋架在点所受的外力也只可能沿竖直方向，设其为。以整个屋架为对象，列各外力对支点的力矩平衡方程，有所以的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有所以的方向竖直向上。假设将绞接点、、、这部分从整个屋架中隔离出来，则这部分受到杆、杆、杆的作用力，这几个作用力均沿与杆平行的方向，设其以一个力表示，则这个力也必与杆方向平行。此外，这部分还受到杆的作用，设其为，显然的方向应沿水平方向；这部分还受到支持力的作用。这样，这部分就等效为受、和三个力的作用而平衡。则表示此三力的矢量构成一个封闭三角形，由前述此三力的方向关系可以确定，这一三角形只能是如图所示的三角形，由此三角形可见，杆对点的作用力方向水平向左，可见杆中的内力为张力。又假设取绞接点为研究对象，它受到支持力和杆对它的作用力和杆对它的作用力，由于此三力平衡，则与的合力必沿杆的方向，可见应有且的方向应水平向右，即杆的内力为张力。再假设取绞接点为研究对象，由以上分析知，其左、右两水平杆对它的作用力均为拉力，其大小分别为和。而另外只有杆能对点提供水平方向的分力，则为使点在水平方向受力平衡，杆作用于点的力必沿由指向点的方向，进而为使点在竖直方向上受力平衡，则杆对点的作用力必沿竖直向下的方向。综合上述可得点的受力如图所示。由图知故得即杆中的内力为张力，其大小为最后以点为研究对象，它受到与之相连的三根杆的三个力的作用。此三力应互相平衡。现以、、表示这三个力，由于的方向是确定的（杆的内力为张力，则必沿由点指向点的方向），而、又只能沿对应杆的方向，则此三力只可能取如图所示的方向。由点在水平方向的受力平衡，应有所以由点在竖直方向的平衡，应有即杆中的内力为张力，大小为。3、一空心圆环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图所示，两管口处在一水平线上。现向管内注入与管壁相切的小钢珠，左、右侧第一个钢珠都与圆管截面相切。已知每个钢珠重，共个。求从左边起第个和第个钢珠之间相互作用压力。假设系统中处处无摩擦。分析与解:利用特殊值，求解一般性问题，特殊值是指物理量在某一特殊情况下的取值．物理量在一般情况下的量值之间必然与特殊值之间存在一定的联系．若能确定某一特殊值，则往往可以借助数学技巧来求出一般情况下该物理量的量值．研究一般性问题——分析第个钢珠的受力情况，此钢珠受四个力的作用：重力，管壁对它的弹力，第个钢珠对它的压力及第个钢珠对它的压力．由于的量值未知，且不为本题所求，故选取如图所示的与方向共线的轴作为轴建立直角坐标系．由平衡条件知轴方向的合力为零，得由几何知识，得（其中），

，故．

根据式，如何求得？对第个钢珠进行受力分析，如图所示，得到一特殊值，即

，

故可对式进行递推，得，，将上面所列等式左、右两边分别相加，得，

把式代入，得．而

又

故4、如图所示，一轻质木板长为，端用铰链固定在铅直墙面上，另一端用水平轻绳拉住。木板上依次放着个圆柱体，半径均为，每个圆柱体重量均为，木板与墙的夹角为，一切摩擦都可略去，求绳上的张力。分析与解:以个圆柱体组成的整体为研究对象,整体受到重力、木板的支持力和墙对整体的支持力，其中重力的方向竖直向下，如图所示，合重力经过圆柱的轴心，墙的支持力垂直于墙面，并经过圆柱的轴心，木板给的支持力垂直于木板。由于整体处于平衡状态，此三力不平行必共点，即木板给的支持力必然过重力和墙的支持力的交点。根据三力平衡条件可得:因为木板是轻质的,以木板为研究对象.处于平衡状态.以端为转轴,它受两个力一个力为垂直于木板向下,另一个是绳上的张力.设端到的垂直距离为.到之间的距离为.到之间的距离为.到之间的距离为.到之间的距离为.到之间的距离为.到之间的距离为.到之间的距离为.端到的垂直距离为.端到的垂直距离为.根据力矩平衡条件可知:而的求法,由以上两式可得5、如图所示，用块质量均匀分布相同光滑积木块，在光滑水平面上一块迭一块地搭成单孔桥。已知每一称木块的长度为，横截面是边长为的正方形。要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），试计算跨度与桥孔高度的比值。分析:从上往下分别将砖命名为、、、,找出伸出长度的通式。解：伸长最大长度时第一块砖的重力作用力恰好通过第二块边缘，故第一块最多伸出第一、二块砖的重力作用力恰好通过第三块边缘，故第二块最多伸出第一、二、三块砖的重力作用力恰好通过第四块边缘，故第三块最多伸出以此类推，第块砖伸长块的组成的桥孔高度.跨度当时、则6、一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面分列两排，其上端挂在两根钢缆上，如图所示为其一截面图，已知图中相邻两钢杆间的距离为，靠桥面中心的钢杆长度为（即），，，又已知两端钢缆与水平方向成角。若钢杆及钢缆的自重均不计，为使每根钢杆承受的负荷相同，试求每根钢杆的长度应各为多少？解、如图所示，设每根钢杆承受的拉力均为由整体法可得解得在处：设钢缆承受的拉力为，由平衡条件可知竖直方向上满足水平方向上满足由以上各式解得在处：设钢缆承受的拉力为，由平衡条件可知竖直方向上满足水平方向上满足由以上各式解得故即，7、如图所示，个质量为的完全相同的物块叠放在一起，所有接触面的动摩擦因数均为，滑轮摩擦不计，当为____________时，所有物块恰好相对滑动。解、如答图所示，对物块：水平方向受到左边滑轮上的绳水平向左的拉力、物块对物块水平向右的摩擦力，据平衡条件有对物块：水平方向受到右边滑轮绳上的水平向右的拉力、物块和物块水平向左的摩擦力和、左边滑轮绳上的水平向左的拉力，据平衡条件有同理可分析得出，对物块：据平衡条件有对物块：据平衡条件有故8、如图所示，两本书和，逐页交叉后叠放在一起，平放在光滑的水平桌面上。设书的每张纸质量为，每本书均为张纸，纸与纸之间的动摩擦因数。问至少需用多大的水平力，才能将它命拉开？分析：由于书的第一页在最上面，故书每页受到的弹力小于书相应的页码受到的弹力，滑动摩擦力也就小些。求出从上至下每页所受