2023新教材高中数学第五章三角函数函数y＝Asinω+φ的性质及应用练习新人教A版必修第一册

第2课时函数尸为sin(GX+0)的性质及应用

知识,对点练

知识点一求函数y=/4sin(3x+的解析式

1.右图是周期为2n的三角函数y=F(x)的部分图象，那么F(x)的解析式可以是()

A.F(x)=sin(l+x)

B.f{x)=sin(—1—x)

C.f(x)=sin(x—1)

D.f(x)=sin(l—x)

答案D

解析由图象过点(1,0),排除A,B；由x=0时，y>0,排除C.故选D.

2.已知函数F(x)=4sin(sx+0)(力>0,3>0,0<的部分图象如图所示，则函数

Mx)的解析式是()

A.F(x)=2sin(2x+y)B.f{x}=2sin|

叶

C.f(x)=2sin(2x+~^D.F(x)=2sin(x+

答案B

解析由图象可知，=W~—■，所以T=2冗，口=。=1.又因为sin(W+

40oZ1\o/

nn(nA

0,且(KO〈万，所以0=q.由图象可知力=2,所以F(x)=2si“x+w)故选B.

3.已知函数尸外in(3x+0)+《40,6>>0,I的周期为T,在一个周期内的

图象如图所示，则正确的结论是()

A.A=3,7=2兀B.B=-l,3=2

n

c.7=4n,0=一8D.23,0兰

答案C

4+8=2,月=3,2n।'4n2n

解析由题图得解得/F=2|~+~=4兀,・1g=

-A+B=~4.B=-l.

114nJI一/+又，・・・白故选

5.又5义不一+0=丁+24兀，k《Z,0=2",kRZ,|0|<90=―

乙乙J乙No

C.

4.已知函数y=/sin（ox+0）+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是万，直线

JI

%=瓦•是其图象的一条对称轴,则下面各解析式符合条件的是（)

O

A.yB.y=2sin+2

C.y=2sinD.y=2sin+2

答案D

2nn.

解析•••最大值是4,.'A不符合.•最小正周期是二7=二7=T="=4,.*.B不

nn,Ji五4五n

符合.由4x+—=—+k^,A《Z,得4万=奉-+4叮，kGZ,解得丫=专+一^一，衣£Z.令A方十

。乙o乙qs乙什

在位，解得不符合七幻,...（：不符合.故选D.

5.已知函数f（x）=4cos（3x+。）（在R,G>0,0W的图象如图所示，则

()

A.0B.-1C.-木D.-2

答案B

,一2n

解析由图象，得4=2,周期T=---=冗,所以3=2,所以f(x)=2cos(2x+0),又

3

AO)=2cos0W所以°=七,所以f(x)=2cos(2x+7)，从而可求得/(了)

(nnA

=2cosl2X—+—I=—1.

(3nAJl

6.函数y=4sin(3x+0)U>°，3>0,-]一<。<2兀)的最小值是一3,周期为耳，且它

的图象经过点0,一|),则这个函数的解析式为________.

答案尸3sin(6x+g-)

解析由题意有4=3,/==£=[■,3sinO=一,，,G=6,0==二

33乙O

7.已知右图是函数y=4sin(3x+0)+力，Ji,兀]的部分图象，求这个函数的

解析式.

解由图可知，力+力=3,

且一力+力=1,...4=1,h=2.

又周e期口^2/（^<—5n—n^\—4n,2n4n即0而3.从而尸si（n3m+0）、+2「.・点

仔，1)和(*，3)在图象上,

又—n,n],，0=-—j-.

故这个函数的解析一式是y=si<n3^一~3-吟J+2.

知识点二三角函数性质的综合应用

8.如果函数y=3cos(2x+。)的图象关于点借0)中心对称，那么I的最小值为

nn

A.­B.-

64

nn

C.-D.—

答案A

解析依题意得3cosc-+。)=0,等"+0=4兀+3~(AeZ),0=An—^--(AeZ),

\JuZO

因此0|的最小值是

o

9.若函数f(x)=3cos(°x+O)对任意实数%都有/(—*+]")=/(*+]■)，则/仔)=

()

A.-3B.0C.3D.±3

答案D

JIn

解析由题意可知，/'(x)的图象关于直线x=k对称，所以当x=刀时，F(x)取得最大值

JJ

或最小值，即后，=±3,故选D.

10.若函数F(x)=/sin(GX+。)(/W0,3>0,。I<一■，的图象关于直线*=彳■对称，

乙o

且它的周期是哈则()

A.f(x)的图象过点(0,习

"5n2兀-

B.f(x)在w，一丁上是减函数

1LtO

C./Xx)图象的一个对称中心是昭，o)

D.f(x)的最大值是/

答案C

解析因为函数的周期是"，所以n=—,即。=2,所以f(x)=/sin(2x+。).又

3

因为函数/V)=4sin(2x+。)的图象关于直线户彳对称，|“<■!，所以4sir(2义(+

-+A,即0=专，所以f(x)=4siri(2x+/，，所以f(x)图象的一个对称中心是(需，0),

故选C.

11.已知。>0,函数/"(x)=cos(3x+：)在e，n)上单调递增，则。的取值范围是

)

_15-_17_

-

L--氏--

42y4

y

_2__一

3937

C-[?4j电4

答案D

解析函数尸cosx的单调递增区间为［一n+24人,24五],kez,由一Ji+2〃nW3x

5”叮

2k穴――2kk--

JI44/JI)

+丁W2An,keZ,得WxS,keZ,因为/V）在（万，nJ上单调递增，

43G)

515/1\

解得4女一产3<2攵一彳，k《Z.又4A---I2it—-1^0,且

24-]>0,kRZ,解得女=1,所以3Q

12.（多选）关于函数f（x）=2cos2x-cos（2x+5）—l的描述正确的是（）

A.其图象可由y=/sin2x的图象向左平移看个单位得到

B.f（x）在（0,上单调递增

C.7'（X）在［0,内有2个零点

D.F（x）在一方，0上的最小值为一镜

答案ACD

解析F（x）=2cos2^—cos^2%+~1=cos2%+sin2%=-\/2sin^2x+-由y=y/2

sin2x的图象向左平移•个单位，得到尸镜5,2卜+1）卜向山（2%+彳），所以A正确;

jiJIJi「3冗人

令2A“一kW2x+7~W24兀+丁，AeZ,得其单调递增区间为在五一一二，+—,keZ,

Z4Zoo

所以F（x）在（o,3上单调递增，在传，S上单调递减，所以B不正确；解F（x）=0,2x+7

=kJi,AeZ,得x=W~—[■,AeZ,xe[0,n],所以x取芍~,所以C正确；当x

Zooo

W-p0时，—乎，亍，sin(2x+"^e—1,坐],A%)e[-y[2,1],所

以D正确.故选ACD.

JI

13.（多选）若函数y=sin2x+/z?cos2x的图象关于直线x=—不对称，则（）

A,・m——亚

0

B.函数的最大值为孚

O

C.传，o）为函数图象的一个对称中心

rHJI-i

D.函数在―,y上单调递增

答案ABCD

解析y=sin2x+如os2x=[l+勿?sin（2x+。）（其中tan。=加）,因为函数y=sin2x+

联os2x的图象关于直线才=-^对称，则2义（一屋）+6=kx+?（4£Z）,所以6=k»+々-

（左WZ）,则tan0=m=一半，所以"=一半，A正确；又y=sin2x一半COS2X=¥^

OOO«J

sin（2x——\则函数的最大值为B正确；令2x—~£=4五，kOL,所以矛=4"十2，k

GZ,当衣=1,*=看，则传，0）为函数图象的一个对称中心，c正确；令24”一5・2工

JIJIJIJTrJIJI~|

——+—,kQZ,所以An—―+—Aez,当4=0时，——为增区

6263fb3f

JlJI

间，即函数在W，k上单调递增，D正确.故选ABCD.

O«J

14.设函数f（x）=sin（3x+0）（gWO）的图象关于直线x=—\和直线x=2均对称,

则F（0）的所有可能取值是.

答案±1,±-

解析因为函数F（x）=sin（3x+0）（口#0）在对称轴处取得最大值或最小值，所以

JT

一口+6=k\JI+-,

sin—3+(P=±1,

(ki,fe^Z),消去G得0=

sin2公+。=±1

I23+0=42兀+~

kitn(nA

—^-+—(A^Z),则F(0)=sin.当k=6m,R£Z时，/(0)=1；当k

=6勿+1或6勿+5,加夕时，f(0)=；；当衣=6勿+2或6勿+4,/WZ时，f(0)=一/当k=

6%+3,〃£Z时，/(0)=-1.

15.已知方程2sin(2x+；)-1=2一看，/言有两解，求a的取值范围.

解由题意2sin[2^+—]=a+l.

(JI\(JI\JI13r

令y=2sin2入+万，y=a+l,用五点作图法作出函数y=2sin2叶彳在——,—rz

\Oy\J'O•!.乙

上的图象如图.

显然要使了=@+1与图象有两个交点,

只需一2〈a+l〈0或a-\-1=2.

Kp—3<a<—1或a=l.

a的取值范围是{aI—3<a<—1或a=1}.

16.函数/(%)=Rsin(3才+0)力>0,3>0，I勺部分图象如图所示，B,。为图

象上相邻的最高点和最低点，将函数F(x)的图象向右平移5个单位后得到函数g(x)的图象.

⑴求函数f(x)的最小正周期及解析式；

-3-

(2)求函数g(x)在一)1上的最大值和最小值.

773

解(1)由图象知，A=y[2,7=5-2=5,7=6,

JI故F(x)=->/2sin^y^+

又由F(x)的图象过点⑵0),得d^sin(g-+。)=0.

又因为I0|<卓所以。=；，故F(x)干咫储仁入十勺.

所以函数Hx)的最小正周期为6,

f{x}=^sin

(2)由题意，得

F3,口叮叮「2冗71

由-亍1，得瓦e--

,,JiJIJI,、nJTn

故当即X=1时，g(x)取得取大值，且g(x)max=\32-；当,方不一W=一丁,

oobZa0Z

即X=-1时，g(x)取得最小值，且g(x)min=一/.

知识点三y=/4sin(GX+。)在匀速圆周运动中的应用

17.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置为PG,

y).若初始位置为4偿，当秒针从A(此时力=0)开始正常运转时，那么点户的纵坐标

y与时间t的函数解析式为()

解析设点尸的纵坐标y与时间t的函数解析式为尸sin(ot+0),由题意知，函数

的周期7=60,则I3|=等=2•.•秒针是顺时针转动，故函数解析式为尸sin(一9+A

,初始位置为；"=0时，y=g,；.sin0=g,0可取卷，，函数解析式为y

18.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心。距离地面

40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化

而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

.0

（1）求出你与地面的距离y（米）与时间X分钟）的函数关系式；

（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

解（1）由已知可设y=40.5—40cos3t,^0,由周期为12分钟可知，当£=6时，摩

天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以63=H，即3=看，所以尸

JI

40.5—40cos-（^^0）.

6

JTJI

（2）设转第1圈时，第必分钟时距离地面60.5米.由60.5=40.5-40cos—fo,得cos—

66

।n9JTJI4n

£o=-5，所以工而=丁或wCo=F-,解得花=4或乃=8,所以*=8（分钟）时，第2次距地

26363

面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12+8=20（分钟）.

易错

易错点依据图象求解析式时多解

已知y=/sin（&x+。）（。＞0,|的部分图象如图所示，则其解析式为

易错分析本题在求出或。=等后，容易忽略所给图象的最高点在尸轴的左侧,

OO

而直接由23+0=冗得G=4或2.从而得到所求的解析式为y=2sin（4x+g或y=

2sin（2x+0"）.

答案y=2sin（2x+引

正解由图可知4=2,且当x=0时，y=木,

.•・2sin0=，5,:。I〈兀，.二。=2或0=?，•.•所给图象的最高点在y轴的左侧,

0=，.又6=x,：.3=2.故所求的解析式为y=2sin

6o

综合练

一、单项选择题

1.下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）

（JT2冗JI

解析由图知7=4＞＜厄+瓦］=兀，，3=亍=2.又*=访时，y=l,经验证，可得D

项解析式符合题目要求.

2.己知函数/'（*）=$打（。叶"|一）（。＞0）的最小正周期为11,则该函数的图象（）

A.关于点仔，0）对称B.关于直线x=（对称

C.关于点什，0）对称D.关于直线x=1•对称

答案A

解析由T=n可得。=2,的图象关于点仔，°）对

JiJikuJiJi

称，令2x+k=An+?OeZ）,则该函数图象的对称轴为x=F-+而（AGZ）,故直线

和直线x=2均不是该函数图象的对称轴.故选A.

O

3.设点户是函数f（x）=sinox的图象，的一个对称中心，若点尸到图象，的对称轴的

距离的最小值为亍，则Hx）的最小正周期是（）

A.2nB.nC.-D.-

24

答案B

「兀

解析由题意得f(x)的最小正周期为彳X4=n.

4.函数y=4sin(ox+。)(/>0,。>0)的部分图象如图所示，则/'(1)+f(2)+f(3)

+…+f(2022)的值等于()

A.^/2B.2+2乖C./+2D.-\/2-2

答案A

一，一2nn，叮、

解析由图象可知4=2,6=2k",kUL,T=8,：•=8,即3=丁，，f(x)=2sin3rx

3414,

•・•周期为8,且AD+f(2)+…+F(8)=0,・・・f(l)+1(2)+…+>(2022)=f(l)+F(2)+F(3)

,、，、，、nn3n5n3n/-

+f(4)+/'(5)+f(6)=2sin-+2sin—+2sin-^-+2sinn+2sin-^~+2sin-^-=-\/2.

5.如图，是一半径为3m的水轮，水轮截面圆的圆心0'距离水面2m.已知水轮上一

点产自点R开始旋转，15s旋转一圈，点夕的纵坐标y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函

数关系式尸/sin(。大+0)+2,贝比有()

2五八

A，=

-0=记’4=3B.3=7^2冗A3

c2n

CD.3=7j，A-5

-0=/’4=52n

答案A

解析因为7=15,所以显然为ix—%访=6,故力——=5=3.

1IoNN

6.已知函数/Xx)=2sin(GX+O),x£R,其中3〉0,一兀<。W兀.若F(x)的最小正

JI

周期为6人，且当*=5时，f(x)取得最大值，贝ij()

A.F(x)在区间［-2兀，0］上单调递增

B.f(x)在区间［-3八一n］上单调递增

C./Xx)在区间［3n,5口］上单调递减

D.f(x)在区间［4",6n］上单调递减

答案A

解析：3=2二9=看/=4，=2sin停+0).又当"时，F(x)取得最大值，，

1JIJIJTrn

金义行+0=2A"+可，AWZ,即0=24兀+k，4WZ.丁0金(一”，冗］,，。=彳，,F(x)

J乙乙JO

(Xn、，JIXJI11,5nJI

=2sin鼻+彳.令2kb——^~+—+—(A^Z),得6An+—(zAeZ),

V«JoJZo«5ZZZ

5n兀一

令A=0得/1(x)在一一厂，7上单调递增，故选A.

ab*\/3sinx

7.定义运算」=ad—be将函数F(x)=V的图象向左平移。(0>0)个单

cd1cosx

位，所得图象关于y轴对称，则。的最小值为()

n7nn5n

A.-B.二一C.-D.-7-

3666

答案D

\/3sinxr-，

解析f(x)=]=，^cosx—sinx=2cos(x+司，向左平移6个单位得到y

=2cos(x+]~+0),由题意y=2cos(x+]~+0)是偶函数，所以看十0=左兀(AeZ),即6

=在冗一?(A£Z,。>0).故当4=1时，。的最小值为粤\

66

8.若在区间(〃，加)上，函数/'(x)=2cos2x的图象总在函数g(x)=—7—4:5m才的图

象的上方，则切一刀的最大值为()

7n4n11n5n

A.-r~B.f-C.「D.f-

6363

答案D

解析根据题意，函数Mx)=2cos2x的图象总在函数g(x)=-7—4<5sinx的图象的上

方可以转化为2cos2x>—7—4，5sinx恒成立，即2cos2x+7+445sinx>0.根据二倍角公式化

简为4sin、-4\/5sinx—9<0=-*^<sinx<r~~.因为sinxW[―1,1]，所以sinx£(邛」♦

n3Ji~|(n4nA5n

在一个周期一~W、一了上画出图象可得―丁，丁，所以(加一〃)a*=-丁.

乙乙\JJ'o。

二、多项选择题

9.已知点，一/，2)是函数f(x)=sin(3x+。)+《Q>0,|。|弓)的图象的一个对

称中心，且点？到该函数图象的对称轴的距离的最小值为方，贝M)

A.f(x)的最小正周期是n

B.f(x)的值域为［1,3］

JT

c.</>=—

O

D.F(x)在区间［-亍4n，2一上单调递增

答案BD

f71

解析由题意，得<6且函数的最小正周期7=4X3

〔勿=2,

=2五，故G=W~=1.代入①式，得0=4n+3(〃£Z).又所以6=白所以

10ZO

f(x)=sin(x+z~)+2.故函数f(x)的值域为［1,3］,A,C错误，B正确.令24九一:~<+看

JI、，2nn,4n7n,

W24冗十丁(A£Z),得2〃九一不一WxW24n+vk(A£Z),令4=1,则故f(x)

乙oooo

「4n-I

在一丁，2n上单调递增，D正确.故选BD.

10.已知a是实数，则函数f(x)=l+asinax的图象可能是()

答案ABC

解析当a=0时，f(x)=l,C符合；当0〈|a|<l时，7>2n,且最小值为正数，A符合;

当|a|>l时，软2”，且最小值为负数，B符合；D项中，从函数的最值上看|a|>l,故可得7K2n,

而从图象上看7>2n,矛盾，D不可能.故选ABC.

11.关于F(x)=4sin(2x+3)(xeR),下列命题正确的是()

A.由/'(为)=/1(均=0可得为一跳是n的整数倍

B.y=f(x)的表达式可改写成y=4cos

C.了=，(工)的图象关于点(一看，o)对称

D.y=f(x)的图象关于直线x=—[■对称

o

答案BC

解析对于A,由/'(x)=0,可得(4WZ)・・・.x=g-一宗(4WZ),*.x]—x2

o乙o

是厘■的整数倍，.•・A错误；对于B,由f(x)=4sin(2x+T，可得/*(x)=4cos

4cos(2入一百)，；.B正确；对于C,f(x)=4sin(2x+~^~)的图象的对称中心满足2才+1~=在"，

knJI，冗、

kRZ,：.X=F------TT,&WZ.・,•点—一0是函数y=F(x)的图象的一个对称中心，正确；

Zb\o7

j[JIJIkn

对于D,函数尸F(x)的图象的对称轴满足2才+不~=丁+4兀，AeZ.^x=-+~^-,后1,

j4\,乙乙

；.D错误.

12.函数/1(x)=4cos(ox+。)(。＞0)的部分图象如图所示，则以下结论正确的是

()

A.f(x)的最小正周期为2

B.f(x)图象的一条对称轴为直线x=-g

C.f(x)在区间(24一"，24+§(%ez)上单调递减

D.f(x)的最大值为/

答案AC

解析由题图可知，函数f(x)的最小正周期T=2X，一，=2,故A正确；因为函数/U)

的图象过点(；，0%口自，o),所以函数/U)图象的对称轴为直线x=2x(M)+y=沁(立

11T1

eZ),故直线户一5不是函数F(x)图象的对称轴，故B不正确；由图可知，^---+kT^x^~

T13

+]+kT（keZ）,即时，f（x）单调递减，故C正确；若力＞0,则最

大值是人若水。，则最大值是一处故D不正确.

三、填空题

13.在函数尸2sin（4x+,）的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标

是.

答案伍，。）

解析由,AeZ,得x=—[-+芋keZ,所以当女=1时，*=：一卷=

OO勺40

JI（JI、一

T?，即后，°）离原点最近.

14.若函数/'（x）=cos（2x+w+O|〈5）是奇函数，则。=.

n

答案V

解析由题意可知三+0=3~+4兀，kRZ,即0=《+A兀，4WZ.又10v[■,故k

OZOZ

15.右图是4）=施行（。叶0）卜＞0,。＞0,|0|＜勺的一段图象，则函数『3的解

析式为.

答案f{x}=2sin（^2x+yj

,,35兀兀3兀,,,n,

解析由图可得4=2,彳7==一百=一二，，7=H，I.3=2.又函数在户行时取最大

T.O1Z41Z

JIJI五

值，—X2+＜P=—,：.9＞=—，

JL乙乙«j

f(x)=2sin^2^+—J

16.己知函数f(x)=cos2x-sin,x+《］,则____，该函数的最小正周期为

答案0n

解析由题意可得，f(x)

=；cos2x+gnn\

cos2^cos——sin2jrsin-I

,2n

函数的最小正周期T=—=n.

四、解答题

17.函数f(x)=3sin(2x+总的部分图象如图所示.

(1)写出f(x)的最小正周期及图中加，外的值；

(2)求f(x)在区间［一万，一司上的最大值和最小值.

解(1)F(x)的最小正周期为冗，照=今二%=3.

「五JT~|人「5兆一

⑵因为一丁，—T7，所以2才+至右一一二，0

/1/0O

于是，当2X+T~=0,即X=一2时，F(x)取得最大值0；当2x+2~=—J即X=—

O1.L»O/J

时，/Xx)取得最小值一3.

18.如图，一个水轮的半径为4m,水轮圆心。距离水面2m,已知水轮逆时针转动，每

分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时.(图中点⑷开始计算时间.

4ni

2ml\

..------—

(1)将点。距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数；

(2)点尸第一次到达最高点需要多长时间？

解⑴建立如图所示的直角坐标系，设角一；是以公为始边，依为终边的

角.如每秒钟所转过的角为义守=《，

兀

则。在时间t内所转过的角为三七

由题意知水轮逆时针转动，

则z=4sin(~^~£+。)+2.

1JI

当1=0时，z=0,得sinO=-彳，即</>=——

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故所求