2020-2021学年福建省宁德市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年福建省宁德市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.命题“若螭颛都是奇数，则创书通是偶数”的逆否命题是()

A.若:稣题都不是奇数，则撕书曲是偶数

B.若磔#额是偶数，则礴盘都是奇数

C.若蝴书曲不是偶数，则僦题都不是奇数

D.若通■带凝不是偶数，则魏题不都是奇数

2.已知函数/~(x)=；：管，若/(砌=[，贝!1/(一a)=()

A.；B.C.|D.-|

2222

3.将函数/(久)=2ttmG+》的图象向左平移E个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象,

则9(久)的解析式为()

A.g(.x)=2tan(^+^)-1B.5(x)=2tan(^-^)+1

C.g(x)=2tanG一劫+1D.g(x)=2以呜一月一1

4.已知a=0.23,b=]og30.2,c=302,则a,b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

5.若关于x的不等式(x-2)(x-a-4)<0的解集中恰有三个正整数，则实数a的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,2)

C.[-6,-5)U(1,2]D.(1,2]

-1-1

6.已知a,b€R+,满足a+6=l,贝的最小值为()

A.2B.4C.2A/2D.5

7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

工“

A.朋=潴书;1B.朋=对对C.般=二D.般=-婷

索,

8.设448C的内角48,C所对的边分别为a”,c若三边的长为连续的三个正整数，且/>B>C,

3b=20acosA,则sizM:sinB：sinC^jQ)

A.4：3：2B,5：6：7C.5：4：3D,6：5：4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9,下列命题中，正确的有（）

A.若a>b>。,贝！lac?>be2

B,若a<b<0,贝！Ja?>ab>b2

C.若a>6>0且c>0,则比>-

a+ca

D.若a<b<0且c<0,则奈<口

10.下列函数既是奇函数又是增函数的为（）

1

A.y=%+1B.y=xC.y=-D.y=x\x\

11.下列选项中，与s讥30。的值相等的有（）

A.1-2COS275°B.sml35°cosl50—cos45°cos75°

Ccos35°Vl-sin20°

D.tan200+tan250+tan20°tan25°

V2cos20°

12.下列说法正确的有（）

A.函数/（久）=］在其定义域内是减函数

B.命题“三比6凡x2+x+l>0,>的否定是“Wx€R,x2+x+1<0

C.两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件

D.若y=/（x）为奇函数，贝。=x/（x）为偶函数

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

加密密钥密码.发送，解密密钥密码r

明文密文密文明文，

现在加密密钥为y=loga（x+2）,如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受

方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为

14.如图，直角APOB中，^PBO=90°,以。为圆心、OB为半径作圆弧交OP于4

点.若圆弧卷等分APOB的面积，且乙4OB=a弧度，则.

15.若关于x的方程V?二淳-kx+2k-3=0有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.函数f(x)=s讥久+cosx的最小正周期为,单调增区间为,/(—勺=.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(本小题满分10分)已知集合4={x\x2—3x+2=0},B-{x\x2—a光+3a—5=0}.若AnB=

B,求实数a的取值范围.

18.已知函数f(x)=刀+?,且f(1)=5.

(I)求小；

(H)判断并证明f(x)的奇偶性；

(HI)判断函数/(%)在(2,+8),上是单调递增还是单调递减？并证明.

2

19.已知函数y=f。)，xED,yEX；5(x)=%-(4V7tan6)x+1,

(1)当f(久)=sin(x+0)为偶函数时，求。的值.

(2)当/⑶=sin(2x+£)+gsin(2x+£^,g(x)在4上是单调递减函数，求。的取值范围.

20.某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的

保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过。机3时，只缴纳基本月租费C元；如果超过这个使

用量，超出的部分按b元/爪3计费.

(1)请写出每个月的煤气费y(元)关于该月使用的煤气量X(爪3)的函数解析式；

(2)如果某个居民7~9月份使用煤气与收费情况如下表，请求出a,b,c,并画出函数图象；

月份煤气使用量/爪3煤气费/元

744

81010

91619

其中，仅7月份煤气使用量未超过cm?.

21.已知函数/(%)=%2—(a+2)%+alnx+2a+2,其中a<2.

(I)求函数/(%)的单调区间;

(n)若函数〃久)在(0,2］上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

22.已知函数f(x)=sin(3%+0)(3〉0,0<0<兀)两相邻的零点之间的距离为将/'(x)的图象向

左平移?个单位后图象对应的函数g(%)是偶函数.

(1)求函数〃久)的解析式；

(U)求函数/(*)的对称轴及单调递增区间.

参考答案及解析

1.答案：D

解析:试题分析:•••逆否命题就是把原命题的条件与结论同时否定并交换位置,都是的否定为不都是,

二答案是D.

考点：四种命题.

2.答案：C

2

解析:解：,."(%)x+x+l

x2+l

x2+x+lx2-x+l2(x2+l)

•••f(x)+/(-%)=+；----二2n

x2+lx2+lx2+l

,•"(a)=|>

•••f(a)+/(-a)=2,

即/(-a)=2-/(a)=2-H|,

故选：C

根据函数表达式，证明/(久)+/(-x)=2即可得到结论.

本题主要考查函数值的计算，根据条件证明f(x)+〃-K)=2是解决本题的根据.

3.答案：A

解析：解：将函数"%)=2tan(l+兮的图象向左平移E个单位，得"X)=2tm(3+§=2tme+

再向下平移1个单位，得到函数=2tan(^+5-1的图象，所以g(x)的解析式为g(x)=2tan^+

…

故选A.

直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可.

本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系

数的关系.

4.答案：B

解析：解：­.-0<a=0.23<0.2°=1,

b=log30.2<log3l=0,

c=30-2>3°=1,

■■b<a<c.

故选：B.

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力,

考查函数与方程思想，是基础题.

5.答案：D

解析：解：不等式(x-2)(x-a-4)<0的解集中恰有三个正整数，

所以a+4>2,不等式的解是2<久<a+4,

由不等式的解集中不可能有三个正整数，

所以这三个正整数分别是3,4,5；

则5<a+4W6,

解得1<aW2,

所以a的取值范围是(1,2].

故选：D.

根据不等式的解集中恰有三个正整数，得出a+4>2,再由不等式的解集求出a的取值范围.

本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题.

6.答案：B

解析：解：a,beR+,a+b=1,

1111

..._+_=(a+Z?)(_+_)

>2+2l-x^=4.

故选：B.

由题设条件知工+3=(a+b)G+3=l+2+W+l，由此利用均值不等式可得到工+:的最小值.

ab'''a匕'abab

本题考查基本不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用.

7.答案：B

解析：试题分析：般=富#工为非奇非偶函数，般在:螂，榴旗是减函数，般=-d在:卿序呵!:是减

需

函数，般,=对对在度上即是奇函数又是增函数.

考点：函数的奇偶性与单调性.

8.答案：D

解析：

本题考查正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力，属于基础题.

根据题意可设Q=5+1,c=b—1,结合已知3b=20。•cos/和余弦定理可求得a,b,c的值，根

据正弦定理即可得到答案.

解：由题意可设a=b+l,c=b—1.

3b=20a-cosA,

••・由余弦定理得36=20(6+1)•庐

整理得7炉-27b-40=0,解得b=5或b=-3舍去)，

故a=6,c=4,

由正弦定理得sirM:sinB：sinC=a：6：c=6：5：4.

故选D

9答案:BC

解析：

本题考查了不等式的基本性质.

根据选项的条件，取特殊值，即可判断力D；根据不等式的基本性质，即可判断B；利用作差法，结

合不等式的基本性质，即可判断C.

解：4当c=0时，叱2>尻2不成立，故A错误；

8.由a<b<0,可知a?〉ab,ab>b2,■-a2>ab>b2,故8正确；

C.va>b>0Rc>0,a(a+c)=^>«>故C正确；

D由a<6<0且c<0,取a=-2,b=-1,c=-1,贝脸不成立，故。错误.

故选：BC.

10.答案：BD

解析：

本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础

题.

利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.

解：选项A,y=x+l不是奇函数，是增函数，不符合题意；

选项3,y=x是奇函数，又是增函数，符合题意；

选项C,y=工是反比例函数，为奇函数，但不是增函数，不符合题意；

选项，y=x|x|为奇函数，在R上为增函数，符合题意.

v—x£,x<0

故选：BD.

11.答案：BC

解析：解：对于41—2COS2750=—cosl50°=cos30°,故错误；

对于sml35°cosl50—cos45°cos75°=sm45°cosl50—cos45osinl5o=sin(45°—15°)=sin300,

故正确；

(2

对于C,cos35oyi.-si7i20。_COS(450—100)J(COS10。-sinio。)？_w(coslO°+si?ilO°)(coslO°-si7ilO°)

V2cos20°-V2cos20°-V2cos20°

=女cosZlOfiMlO。)=浮。s2。。=%=,故正确；

V2cos20°V2cos2002

对于D,tan2O°+tan25°+tan20°tan25°=tan(25°+20°)(l—tan25°tan2O0')+tan20°tan25°=

1—tan25°tan200+tan2O°tan25°=1,故错误.

故选：BC.

利用三角函数恒等变换的应用化简各个选项即可计算得解.

本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基

础题.

12.答案：BD

解析：

直接利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定2D的结论，利用命题的否定判断B的结

论，利用充分条件和必要条件判断C的结论.

本题考查的知识要点：函数的性质，命题的否定，充分条件和必要条件，主要考查学生对基础知识

的理解.

解：对于4：函数/O)=(的定义域为(一8,0)U(0,+8),所以函数在(0,+8)和(一8,0)上都为单调

递减函数，但在其定义域内不是减函数，故A错误；

对于8：命题'TxGR,x2+x+l>0,,的否定是“VxeR,x2+x+l<0>,故8正确;

对于C：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，

则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C错误；

对于。：若y=/(x)为奇函数，且函数y=K也为奇函数，则函数则y=K/(x)为偶函数，故O正确.

故选：BD.

13.答案：14

解析：解：,•・加密密钥为y=loga(x+2),

由其加密、解密原理可知，

当x=6时，y=3,从而a=2；

不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,

则有4=log2(b+2),

从而有b=24-2=14.

即解密后得明文为14

故答案为：14

根据题意中给出的解密密钥为y=loga(x+2),如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，

我们不难求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为6,构造方程，解方程即

可解答.

这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定

义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果.

14.答案：|

解析：

本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.

设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出PB,计算直角三角形的面积，由条件建

立等式，解此等式求出tcma与a的关系，即可得出结论.

解：设扇形的半径为r,

则扇形的面积为之"2,直角三角形POB中，PB=rtana,

APOB的面积为|rxrtana,由题意得］xrtana=2x|ar2,

•••tana=2a,

a1

tana20

故答案为：

15.答案:1>|或々=>

解析：解：若关于久的方程在-kx+2k-3=0有且只有一个实数根，

则函数y=VI二1T的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有1个交点

•函数y-kx+3-2k的图象恒过(2,3)点

故在同一坐标系中画出函数y=,4一％2的图象与y=kx+3-2k的图象如下图所示:

由图可知

当/£=5时，直线与圆相切，

当々=，时，直线过半圆的左端点(-2,0)

若函数y=回三次的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有1个交点，则k>:或k=5

故答案为k>3或k=*

根据方程的根与对应函数的零点的关系，我们可用图象法解答本题，即关于x的方程VT二菱-依+

2k-3=0有且只有一个实数根,则函数y=回三F的图象与y=依+3-2/c的图象有且只有1个交

点，在同一坐标系中画出函数y=的图象与y=依+3-2k的图象，分析图象即可得到答案.

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，方程的根与函数零点的关系，函数的图象，其中

在确定无法解答的方程问题时，将其转化为确定对应函数的零点，利用图象法解答是最常用的方法.

16.答案:27r

37r7i

[2/CTT——/2/CTT+

V2

T

解析:解：/(%)=sinx+cosx=V2sin(x+

4

则函数的周期7=?=2兀，

由2/CTT—g%<2/CTT+3，kEZf

242

解得kE,Z,

2/CTT——4<4%<2/C7T+

故函数的递增区间为［2/m—午,2/OT+)

9与=任也(一行+$=V2sin”/x|=

故答案为：2兀，［2/OT—手,2/OT+m，—.

L44J2

利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论.

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键.

17.答案：当2Wa<10时，均有ACB=B.

2

解析：解：4={x\x-3%+2=0}={1,2},

由久2—ax+3a—5=0,知/=a?-4(3a—5)=a?—12a+20=(a—2)(a—10).

(1)当2<a<10时，4<0,S=e)S.A;

(2)当aW2或a210时，A>0,则B力。.

若久-1,贝！|1—a+3a—5=0,得a=2,

此时B={x}x2-2x+1=0}={1}C：X;

若x-2,贝！|4—2a+3a—5=0,得a=1,

此时B={2,-l}CA.

综上所述，当2Wa<10时，均有ACB=B.

18.答案：解：(I)根据题意，函数/0)=%+:，且"1)=5,

则f(l)=1+m=5,解得nr=4；

(II)由(I)可知/(x)=x+:，，其定义域为{久40},关于原点对称，

又由/'(-X)=一万一(=一(久+》=-f(x)，

所以/(%)是奇函数；

(m)f(乃在(2,+8)上是单调递增函数.

证明如下：

设2<X]V%2，

/(/)-/(%2)=01+/)一(％2+/)=(X1-久2)

人2人142

因为2<无1<乂2，

所以％1久2>4,%1-%2<0,

则f(Xl)—1(不)<0,即/。1)<f(X2),

所以f(%)在(2,+8)上是单调递增函数.

解析：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意先求出函数的解析式，属于基础题.

(I)根据题意，将x=l代入函数解析式，求解即可；

(口)利用奇函数的定义判断并证明即可；

(HI)利用函数单调性的定义判断并证明即.

19.答案:解:(1)因为函数f(x)=sin(x+。)为偶函数，所以sinQ+。)=sin(-x+(/)'),2sinx-cos(f)=

0,cos©=0,

所以。=/CTT+pkez,

0的值Mr+],kEZ,

(2)/(%)=sin(2x+-)+V3sin(2x+巴)=V3sin2x+2cos2x=V7sin(2x+0)G[—V7,V7],其中

63'--1

..2,V3

sin(p1=万，cos(p1=万，

所以/=[—V7,V7]»g(x)=x2—(4夕tern。)％+1=(%—2V7tan0)2+1—28tan20

由题意可知：2由tan。>V7.tand>|,

所以/ot+arctan|<x<fczr+pkEZ.

解析：(1)根据偶函数的性质，求得cos。=0,即可求得0的值；

(2)利用两角和的正弦公式展开，利用辅助角公式求得〃久)，即可求得4由题意可知：2V7tand>V7,

3+c=4,

(2)由表格可以知道3+c+b(10—a)=10,

、3+c+b(16—CL)=19.

a=6,

b=I，

(c=1.

f4(0<%<6),

所以y=b,、

［-x—5(%>6).

图象如图：

解析：(1)利用已知条件，结合分段函数写出每个月的煤气费y(元)关于该月使用的煤气量支(租3)的函

数解析式；

(2)利用某个居民7〜9月份使用煤气与收费情况，列出方程组即可求出a,b,c,然后画出函数图象；

本题考查实际问题的解决方法，分段函数的应用，考查数形结合以及发现问题解决问题的能力，是

中档题.

21.答案：解：(/)函数定义域为x〉0,且尸O)=2x—(a+2)+/=(2=?(XT),

①当aW0,即与WO时，令尸(x)<0,得0<乂<1,函数/(x)的单调递减区间为(0,1),

令((%)>0,得1>1,函数/(%)的单调递增区间为(1,+8);

②当0<BV1,即0VaV2时,令/'(%)>0,得0V%V|或汽>1,

函数/(%)的单调递增区间为(0,今，(1,+8),

令「(久)<0,得；<久<1,函数f(x)的单调递减区间为©,1)；

③当三=1,即a=2时，f(x)>0恒成立，函数/(久)的单调递增区间为(0,+8)；

(II)①当aW0时，由(I)可知，函数/(X)的单调递减区间为(0,1),/(©在(1,2］单调递增.

所以f(x)在(0,2］上的最小值为f(l)=a+1,

由于f(。)=|一展一)+2=(4-1)2_已+1>0,

要使/(x)在(0,2］上有且只有一个零点，

需满足/⑴=0或有？::解得a=—1或a<--

②