2019-2020学年人教A版河北省保定市高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合—{x|2W「3},L{x|VW4},则PnQ=()

A.(1,3]B.{2}C.[0,2]D.[0,3]

2.若sinaVO且tana>0,则a是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.函数y=l。g?(x-1)—的定义域为)

A.(1,2)U(2,+oo)B.(1,+8)

C.(1,2)D.8,0)U(1,2)

4.设a=(4，k),b=(3,1),若之E，则k—()

1

A.1B.-1cD.

-i2

5.已知平行四边形48m的三个顶点的坐标分别为-4(-1,3),8(-2,1),G(2,2),

则顶点。的坐标为()

A.(-5,2)B.(-2,1)C.(1,0)D.(3,4)

6.已知函数y=A(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表

X123456

y121.435-7414.5-56.7-123.6

则函数y=A(x)在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

7.如图为函数y=A(x)的图象，则其定义域和值域分别为()

/：

026

A.[-4,0]U[2,6]、[0,+8)B.[-4,0]U[2,6)、[0,+8)

C.[-4,0]U[2,6]、[0,6)D.[-4,6)、[0,+8)

742

8.已知25则a,b,c的大小关系为()

a=4»b=2,c=5

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

JTjr

9.将函数f(x)=cos(,2x——)的图象向右平移一二个单位后得到函数y=g(x)的图

48

象，则y=g(x)图象的一条对称轴是直线()

10.若向量；，总《两两所成的角相等，且0=2,g=2,口=6,则lZ+E+W=()

A.4B.10C.4或10D.2或J1}

二、填空题

11.tan，(一-11兀—)、一=

12.已知W为单位向量，|E|=&.若Q+E|=娓，则之与己的夹角为.

13.设函数f(x)=---]，若贝45(-a)=.

2+14

14.已知角a的终边经过点(3a,4a)(a=#0),则sin2a=.

,、fex-3,(x>0),

15.已知函数f(x)={.则方程f|y(x)]=0的解的个数为_______

-X2-2X+1,(X40).

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

9

16.已知：函数f(x)=a一一.

x

(1)若函数A(X)为奇函数，求a的值；

(2)试用定义判断函数A(x)在区间(0,+8)上的单调性.

17.已知：a=(sin-_，V§)，b=(l，cos-|-),f(x)=a'b・

(1)求函数A(x)的最大值及其对应的x的值；

(2)该函数的图象可由y=2sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？

rJTTT

18.已知sin2a=彳且a求：

(1)sin4a、cos4a；

(2)cos6a.

19.要建造一段5000加长的高速公路，工程队需要把380名施工人员分为两组，一组负责

2000m的软土地带的施工，另一组完成剩下的3000勿硬土地带的施工.根据工程技术人

员的测算，软、硬地带每米公路的工程量分别为50人/天和30人/天.

(1)设参与软土地带工作的人数为x人，试分别写出在软、硬地带筑路的时间G(x),

t2(X)关于X的函数表达式；

(2)问如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？

20.在平面直角坐标系x0中，已知4(12,5),8(-4,12).

(1)求cos)/比;

(2)将04绕点0逆时针旋转45°到。C,求点C的坐标；

(3)若将以绕点。逆时针旋转90°到。,求证：

0SAAOB^-OB-OD.

参考答案

一、选择题：(本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.)

1.已知集合—{X|2WA<3},L{x|fW4},则PDQ=()

A.(1,3]B.{2}C.[0,2]D.[0,3]

【分析】求出集合尺o,由此能求出pnQ.

解：•集合—{X|2WA<3},仁{x|/W4}={x|-2W后2},

.*.pno={2}.

故选：B.

2.若sinaV0且tana>0,则。是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当

正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际

上我们解的是不等式组.

解：sina<0,a在三、四象限；tana>0,a在一1、三象限.

故选：G.

3.函数y=l。g2(x-l)七七的定义域为()

A.(1,2)U(2,+8)B.(1,+8)

C.(1,2)D.(-8,0)U(1,2)

【分析】由对数式的真数大于0,分式的分母不为0联立不等式组求解.

x-l>0

解：由,,解得x>1且x#=2.

2-x#0

二函数y=l。gKx-l)+"4的定义域为(1,2)U(2,+oo).

/2-x

故选：A.

4.设;=(卷，k),b=(3,1),IIb)贝1】力=()

A.1B.-1C.2D.

22

【分析】利用向量平行的性质直接求解.

解：,**a=k),b=(3,1),a“b，

3=1

:._3_k,

F

解得〃=-£.

故选：D.

5.已知平行四边形48曲的三个顶点的坐标分别为4(-1,3),8(-2,1),C(2,2),

则顶点。的坐标为()

A.(-5,2)B.(-2,1)C.(1,0)D.(3,4)

【分析】利用向量相等的性质直接求解.

解：设〃(x,y),

•.•平行四边形4脑的三个顶点的坐标分别为4(-1,3),8(-2,1),C(2,2),

•"•AD=BC»(户1，，-3)=(4,1)，

解得x=3,y=4,

二顶点。的坐标为(3,4).

故选：D.

6.已知函数y=A(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表

X123456

y121.435-7414.5-56.7-123.6

则函数y=A(x)在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】利用已知条件，结合零点判定定理，转化求解即可.

解：由题意可知f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.

函数零点个数为：3.

故选：B.

7.如图为函数y=A(x)的图象，则其定义域和值域分别为()

A.[-4,0]U[2,6]、[0,+8)B.[-4,0]U[2,6)、[0,+°0)

C.[-4,0]U[2,6]、[0,6)D.[-4,6)、[0,+~)

【分析】由图象观察即可得到答案.

解：由图可知，定义域为[-4,0]U[2,6);值域为[0,+8).

故选：B.

742

8.已知._y则a,b,c的大小关系为()

a=4,b-2n>c-5

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【分析】结合指数函数的单调性及特殊点的函数值分别确定a,b,c的范围，即可比较

大小

7-342I

解：Va=42>4=64,b=2#(1,2),c=5y>？7>2,

又c<5,

故a>c>b.

故选：C.

9.将函数f(x)=cos(2x——)的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图

48

象，则y=g(x)图象的一条对称轴是直线()

【分析】由条件利用y=4)os(u)A+d))的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用

正弦函数的图象的对称性，得出结论.

解：将函数f(x)=cos(2x——)图象上所有点向右平移-工一个单位

48

兀兀

得到函数y=g(x)=cos[2——]

84

%

=cos=sin2x的图象，

A兀KEk兀兀

令2x=kn+~^~,求得x=0+)，kGZ,

224

则y=g(x)的图象的一条对称轴是直线*=3-,

4

故选：C.

10.若向量之，E，3两两所成的角相等，且口1=2,g=2,%l=6,则Ia+b+cl=()

A.4B.10C.4或10D.2或J]}

【分析】由题意可得任意两个向量的夹角为。或三厂.分别求出|a+b+c|的值，从而

O

得出结论.

解：由于向量；，b,《两两所成的角相等，故任意两个向量的夹角为o或其二.

O

再由|a|=2,|bI=2,|c|=6,可得

①若任意两个向量的夹角为0,则G+E+3|=2+2+6=10.

②若任意两个向量的夹角为与~,贝。Z・E=2X2XCOS21L=-2,a-c=b-c=2x6

Oo

2兀

Xcos—^―=-6,

故Ia+b+cI=Va2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-^=V4+4+36-4-12-12=4,

故选：C.

二、填空题(本题共5个小题，每小题5分，)

〜/11兀、一V3

11.tan(--T-)=_-T-_•

b3

【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.

解:tan(-^^)=tan(《-2几)=tang=坐.

6663

故答案为：华

12.已知之为单位向量，|b|=V2,若|W+E|=V^,则：与二的夹角为45。

【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式可求.

解：设之与E的夹角为。，

因为IZI=1,|b|=V2.|"a+b|=V5.

所以5=；2+g2+2；.1=i+2+2a・b，

所以，a'b=h

a,b1_'h

则cos9x"

laI|bIiV2-T'

所以e=45°.

故答案为：45°.

13.设函数f(x)=-----]，若f(a)=-[,贝4尸(-a)=-y

2+124~4：—

【分析】根据题意，分析可得尸(x)+A(-x)=0,即可得函数尸(x)为奇函数，据此

分析可得答案.

解：根据题意，f(x)贝寸A(-x)='—2X1

XXX

2+122+12~2+1~2

112X1

则f(x)+f(-x)=)+(-------)=1-1=0,即函数A(x)为奇函

2X+122X+12

数，

若f(a)=-7,则尸(-a)=-f(a)=”；

44

故答案为：4

4

14.已知角a的终边经过点(3a,4a)(a=#0),则sin2a=_年

25

【分析】由已知利用任意角的三角函数定义求得sina,cosa的值，再由倍角公式求解.

解：由已知可得，点(3a,4a)到原点的距离r={9a2+16@2=5|软|,

4a43a324

若a>0,则sina-=>—,cosa=——=—,贝"sin2a=2sinacosa

5a55a525

4.0Ao04.

若HVO,则sina=~--=^—,cosQ=~~--,贝寸sin2a=2sinacosa

-5a5-5a525

24

sin2a.

25

故答案为：照24.

,、fex-3,(x>0),

15.已知函数f(x)=〈.则方程丹尸(x)]=0的解的个数为上

-X2-2X+1,(X40).

【分析】由题意画出大致图象，将方程f[f(x)]=0分f(x)大于0或小于等于。两

种情况讨论可得方程的解A(x)的值，转化为与函数5(x)的交点问题，数形结合可得

方程f[A(x)]=0的解的个数.

解：当f(x)>0,则方程f[A(x)]=0可得e"c-3=0,可得尸(x)=/〃3,而/"3

G(1,2),由图象可知，f(x)=/H与函数A(x)有3个交点，即是方程f[2(x)]

=0有3个解；

当f(x)<0,则方程/V(x)]=0可得-6(x))2-2f(x)+1=0,

可得/'(x)=-1--.[2<-2,由图象可知尸(x)=T-刃与函数f(x)仅有一个交

点，

所以方程丹尸(x)]=0仅有一个解；

综上所述：方程f[A(x)]=0有4个解.

故答案为：4.

2

16.已知：函数f(x)=a--.

x

(1)若函数2(x)为奇函数,求a的值；

(2)试用定义判断函数A(x)在区间(0,+℃)上的单调性.

【分析】(1)结合奇函数的定义可知A(-X)=-》(x),代入即可求解a,

(2)设0V*V用，结合函数单调性的定义，利用作差法比较尸(乂)与fQx：的大小

即可判断.

解：(1)因为函数尸(x)为奇函数，

所以/(-x)=a^-=-f(x)=-a^—,

XX

所以，当且=-2时，即a=0,

(2)设OVXVM,

222(X2-XP

贝4A(M)-2(及)=-(--------)=-------------

Xxxx

12l2

因为0＜乂＜及，所以*及＞0,Xz-x＞0,

所以/1(X)＜f(.Xi),

所以函数A(x)在区间(0,+8)上单调递增.

17.已知：a=(sirry»b=(l»cos.,f(x)=a,b-

(1)求函数A(X)的最大值及其对应的x的值；

(2)该函数的图象可由y=2sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？

【分析】1)根据已知关系式以及数量积直接求出函数的最值，及相应的集合.

(2)利用三角函数的平移变换和伸缩变换求出结果

解：(1)由题意得:

A(x)=：•E=siir|+Fcos£=2sin(j+g),

所以函数f(x)的最大值为2,

由兀=2攵Fpx=4kn+-^-f〃£Z.

2323

(2)y=2sinx向左平移个单位得出y=2sin(

o

再把函数的横标伸长为原来的2倍得到：y=2sin的图象.

乙O

CTTTT

18.已知sin2a=彳且a求：

XOri4

(1)sin4a、cos4a;

(2)cos6a.

【分析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2a的值，进而根据二倍角

公式即可求解.

(2)由(1)及两角和的余弦函数公式即可计算求值得解.

解：(1)由一^—<a得—V2aVre,

422

一5

又因为sin2a=75，

J.O

所以cos2a=-小-壹2=-"!，

所以sin4a=sin[2X(2a)]=2sin2acos2a=2X^-X,

1313169

c11q

cos4a=cos[2X(2a)]=1-2sin22a=1-2X(--)2=——.

13169

12、1195

(2)cos6a=cos(2a+4a)=cos2acos4a-sin2asin4a=(-—r-)X-------—

1316913

、,120、_-1428+600_828

xif--------)=----------------=----------.

169169X132197

19.要建造一段5000〃长的高速公路，工程队需要把380名施工人员分为两组，一组负责

2000m的软土地带的施工，另一组完成剩下的3000加硬土地带的施工.根据工程技术人

员的测算，软、硬地带每米公路的工程量分别为50人/天和30人/天.

(1)设参与软土地带工作的人数为X人，试分别写出在软、硬地带筑路的时间自(X),

t2(x)关于X的函数表达式；

(2)问如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？

【分析】(1)参与软土地带工作的人数为X人，则在硬地带工作的人数为(380-X)人，

列出函数的解析式.

(2)要使工期最短，需软硬地带同时完工.结合(1)令a=h求出x=200.利用函

数的单调性，求解函数的最小值，得到结果.

解：(1)因为参与软土地带工作的人数为X人，则在硬地带工作的人数为(380-X)人

所以，在软土地带筑路的时间为：

,、50X2000100000

tl(X)=---------------=------------,

XX

(、30x300090000甘七=小

tl(X)=^T—-------=——,其中XG(0,380),xGN,

380-x380-x

(2)要使工期最短，需软硬地带同时完工.结