2023年春季上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷

2023年上海市一般高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题〔48分〕计算：lim3n2 n4n3方程log3

(2x1)1的解x 3.函数f(x)3x5,x[0,1]的反函数f1(x) 4.不等式12x0的解集是x15.圆Cx5)2y2围是 .

r2(r0)和直线l:3xy50，假设圆C与直线l没有公共点，则r的取值范6.f(x)是定义在(上的偶函数.x(,0)f(x)xx4x(0,时，f(x) 电视台连续播放6个广告其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告要求首尾必需播放公益广告，则共有 种不同的播放方式〔结果用数值表示〕.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .在ABC中，BC8,AC5，三角形面积为12，则cos2C 假设向量a、b的夹角为150，a 3，b4，则2ab 直线lP(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 .同学们都知道，在一次考试后，假设按挨次去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，假设按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：假设有限数列aa,1 2

a满n足aa 1 2

a，则 〔结论用数学式子表示〕.n二．选择题〔16分〕〔A〕.〔〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.

4x的焦点坐标为 ( )14.假设14.假设，则以下不等式成立的是()〔A〕

，〔B〕a2b2，〔C〕

，〔D〕acbc。a b c21 c21假设kR，则k3”是“方程x2

y2

1表示双曲线”的( )k3 k3〔A〕充分不必要条件. 〔B〕必要不充分条件.〔C〕充要条件. 〔D〕既不充分也不必要条件.假设集合Ayy

，B yy2 ,0x

则A∩B等于( )1 x3,1〔A〕〔A〕(,1]，〔B〕[1,1].〔C〕.D〕。

1 1 x 三．解答题〔86分〕6题，解答以下各题必需写出必要的步骤.(12分)ABCDABCD

3ABBC11 1 1所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕.

1 1 118.(18.(12分)复数满足4(32ii为虚数单位〕，z52，求一个以为(14分)21826分. 函数f(x)2sin(x )2cosx,x[ , ]。〔1〕假设sinx

6 24f(x)〔2〕f(x)的值域。5(14分)21628分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行〔按顺时针方向〕的轨迹方程为x2 y2

1，变轨〔即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线〕后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0,64)100 25 7为顶点的抛物线的实线局部，降落点为D(8,0).观测点A(4,0)B(6,0)同时跟踪航天器.求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？(16分)3142636分.f(x)x24x5。〔1〕在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像；〔2〕Axf(x)5B(2][0,4][6,。试推断集合AB之间的关系，并给出证明；〔3〕当k2时，求证：在区间[1,5]ykx3kf(x)图像的上方.(18分)31428分.36分.数列aa1 2

, ,a30

，其中aa1 2

, ,a10

11a10

,a , ,a11

是公差为d的a20

,a , ,a21

是公差为d2的等差数列(d0)。〔1〕假设a 40，求d；20试写出a30

关于d的关系式，并求a30

的取值范围；续写数列，使得a30

,a , ,a31

是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把数列推广为无穷数列.提出同〔2〕类似的问题〔〔2〕应当作为特例〕，并进展争论，你能得到什么样的结论？2023年上海市一般高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准4..8..一．〔112题〕44..8..1. .2.2.3..5. .6.. 7.48.9..10.2.11.9..10.2.11.4.17.[解法一]连接，为异面直线与所成的角.……4分连接，在△中，，……6分则.……10分异面直线与所成角的大小为.……12分12.和二．〔1316题〕4分，否则一律得零分.12.和题号题号代号13B14C15A16B三．〔1722题〕[解法二]以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标则[解法二]以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标则，得.……6分设与的夹角为，则， ……10分与的夹角大小为，即异面直线设与的夹角为，则， ……10分与的夹角大小为，即异面直线与所成角的大小为.……12分18.[解法一]，……4分.……8分假设实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是.……12分[解法二]设，得，……4分19.[得，……4分19.[解]〔1〕，……2分……4分.……8分〔2〕，……10分，……4分.……8分〔2〕，……10分，，，函数的值域为〔1，2〕.……14分20.[解]〔1〕设曲线方程为，由题意可知，..……4分曲线方程为.……6分〔2〕设变轨点为，依据题意可知得，或〔不合题意，舍去〕.得或〔不合题意，舍去〕..……9分C点的坐标为，……11分.答：当观测点A、B.答：当观测点A、BAC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令..……8分由于.……10.……8分由于.……10分〔3〕[解法一]当时，.，……12分.又，21.[解]〔1〕〔2〕方程的解分别是和〔2〕方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此①当，即时，取，.则.……14分，②当，即时，取，①当，即时，取，.则.……14分，②当，即时，取，＝.由①、②可知，当时，，.[解法二]当时，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.……16分由得，令，解得或，……12分在区间时，的图像与函数的图像只交于一点时，的图像与函数的图像没有交点.……14分当时，.……12分〔3〕所给数列可推广为无穷数列11时，数列是公差为 的等差数列.……14分如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点