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文档简介

山东省邹平县黄山中学2024年高考数学倒计时模拟卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,角的对边分别为,,若,,且,则的面积为()A. B. C. D.2.已知函数的零点为m,若存在实数n使且,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.3.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.4.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.5.在中,,则()A. B. C. D.6.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A. B. C. D.7.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.38.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.49.已知双曲线,为坐标原点,、为其左、右焦点,点在的渐近线上,,且,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.10.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.11.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.12.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.15二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为____.14.已知复数,其中为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数的值是__.15.若x,y满足,则的最小值为________.16.假设10公里长跑,甲跑出优秀的概率为,乙跑出优秀的概率为,丙跑出优秀的概率为,则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑,刚好有2人跑出优秀的概率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知是递增的等差数列,,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)在中,角、、所对的边分别为、、,角、、的度数成等差数列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)假设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.①若A为椭圆的上顶点,M为线段AB中点,连接OM并延长交椭圆C于N,并且ON=62OM,求OB的长;②若原点O到直线l的距离为1,并且20.(12分)已知函数.(1)若,且,求证:;(2)若时,恒有,求的最大值.21.(12分)已知椭圆的右顶点为,为上顶点,点为椭圆上一动点.(1)若,求直线与轴的交点坐标;(2)设为椭圆的右焦点,过点与轴垂直的直线为,的中点为,过点作直线的垂线,垂足为,求证:直线与直线的交点在椭圆上.22.(10分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线与直线的直角坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由,可得,化简利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面积.【详解】解:,,且,,化为:.,解得..故选:.【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2、D【解析】

易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,∴,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,∴.故选D.【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.3、C【解析】

由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.4、C【解析】

不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.5、A【解析】

先根据得到为的重心,从而,故可得,利用可得,故可计算的值.【详解】因为所以为的重心,所以,所以,所以,因为,所以,故选A.【点睛】对于,一般地,如果为的重心,那么,反之,如果为平面上一点,且满足,那么为的重心.6、D【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意,,故,故,故,故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.7、A【解析】,故,故选A.8、B【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.9、D【解析】

根据,先确定出的长度,然后利用双曲线定义将转化为的关系式,化简后可得到的值,即可求渐近线方程.【详解】如图所示:因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以渐近线方程为.故选:D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程,难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.10、A【解析】

先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.11、C【解析】

将函数解析式化简,并求得,根据当时可得的值域;由函数在上单调递减可得的值域,结合存在性成立问题满足的集合关系,即可求得的取值范围.【详解】依题意,则,当时,,故函数在上单调递增,当时,;而函数在上单调递减,故,则只需,故,解得,故实数的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用,恒成立与存在性成立问题的综合应用,属于中档题.12、A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【详解】取的中点E,连AE,,易证,∴为异面直线与所成角,设等边三角形边长为,易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.14、2【解析】

由题,得,然后根据纯虚数的定义,即可得到本题答案.【详解】由题,得,又复数为纯虚数,所以,解得.故答案为:2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用,属基础题.15、5【解析】

先作出可行域,再做直线,平移,找到使直线在y轴上截距最小的点,代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图,令,则,作出直线,平移直线,由图可得,当直线经过C点时,直线在y轴上的截距最小,由,可得,因此的最小值为.故答案为:4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题,是基础题。16、【解析】

分跑出优秀的人为:甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.【详解】刚好有2人跑出优秀有三种情况:其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为;其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为;其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为.故答案为:【点睛】本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)方程的两根为,由题意得,在利用等差数列的通项公式即可得出;(2)利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出.【详解】方程x2-5x+6=0的两根为2,3.由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而得a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++,两式相减得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考点:等差数列的性质;数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用,解答中方程的两根为,由题意得,即可求解数列的通项公式,进而利用错位相减法求和是解答的关键,着重考查了学生的推理能力与运算能力,属于中档试题.18、(1);(2).【解析】

(1)由角的度数成等差数列,得.又.由正弦定理,得,即.由余弦定理,得,即,解得.(2)由正弦定理,得.由,得.所以当,即时,.【方法点睛】解三角形问题基本思想方法:从条件出发,利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化.逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系,即考虑如下两条途径:①统一成角进行判断,常用正弦定理及三角恒等变换;②统一成边进行判断,常用余弦定理、面积公式等.19、(1)x22+y2【解析】

(1)根据椭圆的几何性质可得到a2,b2;(2)联立直线和椭圆,利用弦长公式可求得弦长AB,利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离,从而可求得三角形面积,再用单调性求最值可得值域.【详解】(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,所以a=2又由右准线方程为x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,椭圆C的方程为x2(2)①设B(x1,y1∵ON=6因为点B,N都在椭圆上,所以x122+y12所以OB=x②由原点O到直线l的距离为1,得|m|1+k2联立直线l的方程与椭圆C的方程:y=kx+mx2设A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面积S==1因为S=2λ(1-λ)在[并且当λ=45时,S=225所以△OAB的面积S的范围为[10【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;③利用基本不等式求出参数的取值范围;④利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.20、(1)见解析;(2).【解析】

(1)利用导数分析函数的单调性,并设,则,,将不等式等价转化为证明,构造函数,利用导数分析函数在区间上的单调性,通过推导出来证得结论;(2)构造函数,对实数分、、,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最小值,再通过构造新函数,利用导数求出函数的最大值,可得出的最大值.【详解】(1),,所以,函数单调递增,所以,当时,,此时,函数单调递减;当时,,此时,函数单调递增.要证,即证.不妨设,则,,下证,即证,构造函数,,所以,函数在区间上单调递增,,,即,即,,且函数在区间上单调递增,所以,即,故结论成立;(2)由恒成立,得恒成立,令,则.①当时,对任意的,,函数在上单调递增,当时,,不符合题意;②当时,;③当时,令,得,此时,函数单调递增;令,得,此时,函数单调递减...令,设,则.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,函数在处取得最大值,即.因此,的最大值为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式,同时也考查了利用导数求代数式的最值,构造新函数是解答的关键,考查推理能力,属于难题.21、(1)(2)见解析【解析】

(1)直接求出直线方程,与椭圆方程联立求出点坐

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