函数的对称性

关于函数的对称性1-3-1-2165432-xx78（偶函数）Y=F(x)图像关于直线x=0对称知识回顾从”形”的角度看，从”数”的角度看，F(-x)=F(x)XY第2页,共34页，2024年2月25日，星期天1-3-1-216543278

f(x)=

f(4-x)

f(1)=f(0)=f(-2)=

f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)图像关于直线x=2对称f(3)f(4)从”形”的角度看，从”数”的角度看，xy第3页,共34页，2024年2月25日，星期天1

f(1+x)=

f(3-x)

f(2+x)=

f(2-x)

f(x)=

f(4-x)

对于任意的x你还能得到怎样的等式？从”形”的角度看，从”数”的角度看，Y=f(x)图像关于直线x=2对称1-3-1-26543270x4-xYx第4页,共34页，2024年2月25日，星期天-2-x1-3-1-216543278x=-1

f(x)=

f(-2-x)x思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称Yx第5页,共34页，2024年2月25日，星期天-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1

f(-1+x)=

f(-1-x)思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称

f(x)=

f(-2-x)Yx第6页,共34页，2024年2月25日，星期天1猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)第7页,共34页，2024年2月25日，星期天在y=f(x)图像上任取一点P点P关于直线x=a的对称点P’则有P’的坐标应满足y=f(x)也在f(x)图像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)即：

f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)图像关于直线x=a对称（代数证明）

求证已知y=f(x)图像关于直线x=a对称

f(x)=f(2a-x)第8页,共34页，2024年2月25日，星期天在y=f(x)图像上任取一点P若点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)

f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)图像关于直线x=a对称（代数证明）

已知求证y=f(x)图像关于直线x=a对称

则y=f(x)图像关于直线x=a对称?

f(x)=f(2a-x)P’在f(x)的图像上第9页,共34页，2024年2月25日，星期天y=f(x)图像关于直线x=a对称

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)y=f(x)图像关于直线x=0对称

f(x)=f(-x)特例：a=0轴对称性思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于

对称

a+b2x=直线第10页,共34页，2024年2月25日，星期天-xxxyoF(-x)+F(x)=0y=F(x)图像关于(0,0)中心对称中心对称性类比探究

a从”形”的角度看，从”数”的角度看，第11页,共34页，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0xyo

ay=F(x)图像关于(a,0)中心对称从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究x2a-x第12页,共34页，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0xyo

a从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究

a+x

a-xy=F(x)图像关于(a,0)中心对称b第13页,共34页，2024年2月25日，星期天aF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心对称性y=F(x)图像关于(a,b)中心对称类比探究xyo第14页,共34页，2024年2月25日，星期天思考？(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,则函数图像关于

对称

a+b2(,0)点则函数图像关于

对称

a+b2(,C)点第15页,共34页，2024年2月25日，星期天

知识内容：函数图像的对称性对称关系式y=F(x)图像关于x=a轴对称F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x)

y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b第16页,共34页，2024年2月25日，星期天

数学思想方法:1.数形结合2.由特殊到一般3.类比思想第17页,共34页，2024年2月25日，星期天知识迁移：已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),当x[2,3]，y=x求当x[-1,0]时，f(x)的解析式？第18页,共34页，2024年2月25日，星期天谢谢!第19页,共34页，2024年2月25日，星期天奇函数F(-x)=-F(x)即：F(-x)+F(x)=0函数图像关于(0,0)中心对称-xx第20页,共34页，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函数图像关于(a,0)中心对称-xx第21页,共34页，2024年2月25日，星期天a函数图像关于(a,0)中心对称F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=0第22页,共34页，2024年2月25日，星期天函数图像关于(a,0)中心对称第23页,共34页，2024年2月25日，星期天-xx

函数图像关于直线x=0对称F(-x)=F(x)

函数图像关于直线x=a对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于(0,0)中心对称函数图像关于(a,0)中心对称F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0轴对称中心对称性a第24页,共34页，2024年2月25日，星期天函数图像关于轴对称证明：

（必要性）第25页,共34页，2024年2月25日，星期天第26页,共34页，2024年2月25日，星期天1-3-1-265432第27页,共34页，2024年2月25日，星期天1-3-1-22-xx第28页,共34页，2024年2月25日，星期天第29页,共34页，2024年2月25日，星期天1-3-1-2165432-xx78思考？若函数图像关于轴对称，有怎样的对称关系式？第30页,共34页，2024年2月25日，星期天函数y=f(x)图像关于x=a轴对称证明：

（必要性）任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)若点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上．分析：P(x0,y0)P’P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)

Y0=f(2a-x0)y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点都在y=f(x)图像上则y=f(x)图像上图象关于x=a对称则由P的任意性可知？

f(x)=f(2a-x)第31页,共34页，2024年2月25日，星期天

函数图像关于直线x=0对称F(-x)=F(x)

函数图像关于直线x=a对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于(0,0)中心对称函数图像关于(a,0)中心对称第32页,共34页，2024年2月25日，星期天?

任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0))设P’是P关于直线x=a的对称点由f(x)图像关于x=a对称P’也在y=f(x)图像上P(x0,y0)P’f(2a-x0)=f(x0