高中数学第三章导数及其应用3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二学案新人教A版选修1-1

PAGE3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)内容标准学科素养1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第59页[基础认识]知识点一函数和、差的导数eq\a\vs4\al(预习教材P84－85，思考并完成以下问题)若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？提示：设f(x)，g(x)是可导的．Δy＝h(x＋Δx)－h(x)＝f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)－f(x)－g(x)＝[f(x＋Δx)－f(x)]＋[g(x＋Δx)－g(x)]＝Δf＋Δg∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)＝eq\f(Δf,Δx)＋eq\f(Δg,Δx)∴lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝limeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Δf,Δx)＋\f(Δg,Δx)))＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)＋eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δg,Δx)＝f′(x)＋g′(x)即h′(x)＝[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)同理可证I′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)知识梳理和、差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．特别提醒：两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．知识点二函数积、商的导数知识梳理(1)函数积的导数[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)．(2)函数商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fx·g′x,[gx]2)(g(x)≠0)．(3)常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即[cf(x)]′＝cf′(x)．[自我检测]1．函数y＝(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－1)的导数等于()A．1 B．－eq\f(1,2\r(x))C.eq\f(1,2x) D．－eq\f(1,4x)答案：A2．已知f(x)＝exlnx，则f′(x)＝()A.eq\f(ex,x) B．ex＋eq\f(1,x)C.eq\f(exxlnx＋1,x) D.eq\f(1,x)＋lnx答案：C授课提示：对应学生用书第59页探究一利用导数四则运算法则求导[阅读教材P84例2]根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y＝x3－2x＋3的导数．题型：运用导数的运算法则求导．方法步骤：①由基本函数的导数公式知(x3)′＝3x2，x′＝1,3′＝0.②由导数的运算法则得y′＝3x2－2.[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).[解析](1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(4)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).方法技巧利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪探究1.求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(cosx,x)；(2)y＝xsinx＋eq\r(x)；(3)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))；(4)y＝lgx－eq\f(1,x2).解析：(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).(2)y′＝(xsinx)′＋(eq\r(x))′＝sinx＋xcosx＋eq\f(1,2\r(x)).(3)∵y＝eq\f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq\f(1－\r(x)2,1－x)＝eq\f(2＋2x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－41－x′,1－x2)＝eq\f(4,1－x2).(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgx－\f(1,x2)))′＝(lgx)′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝eq\f(1,xln10)＋eq\f(2,x3).探究二导数运算法则的综合应用[阅读教材P84例3]日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq\f(5284,100－x)(80<x<100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%.题型：导数的应用．方法步骤：①利用商的求导法则求出C′(x)．②再将90,98分别代入C′(x)即得到所求．[例2](1)设曲线y＝eq\f(2－cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2))处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.[解析]y′＝eq\f(sin2x－2－cosxcosx,sin2x)＝eq\f(1－2cosx,sin2x)，当x＝eq\f(π,2)时，y′＝eq\f(1－2cos\f(π,2),sin2\f(π,2))＝1，直线x＋ay＋1＝0的斜率是－eq\f(1,a)，由题意－eq\f(1,a)＝－1，所以a＝1.[答案]1(2)已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x)＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系．[解析]由题意得f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝eq\f(1－ln1,1)＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝eq\f(lnx,x)－2x，得f(e)＝eq\f(lne,e)－2e＝eq\f(1,e)－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝eq\f(1,e)－2e＋2<0，得f(e)<f(1)．方法技巧1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪探究2.设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．解析：因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x⇒f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.答案：43．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)等于()A．－3 B．2eC.eq\f(2,1－2e) D.eq\f(3,1－2e)解析：f′(x)＝2exf′(1)＋eq\f(3,x)∴f′(1)＝2ef′(1)＋3∴f′(1)＝eq\f(3,1－2e)，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第60页[课后小结]求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．[素养培优]1．未能区分好变量与常量而致错求f(x)＝ax＋cosa的导数(其中a为常数)．易错分析本题错在忽视变量ax与常量cosa的不同，常量的导数应为0.考查数学运算的学科素养．自我纠正f′(x)＝axlna.2．导数的四则运算记忆不准