高中数学选修2-2同步练习题库：定积分的简单应用(较难)

共页，第页定积分的简单应用（较难）1、由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（

）A．

B．

C．

D．2、已知，，则展开式中，项的系数为（

）A．

B．

C．

D．

3、的值为(

)A．0

B．

C．2

D．4

4、设则多项式的常数项是（

）A．-332.

B．332

C．166

D．-166

5、由直线，曲线及轴所围图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．

6、如图，函数与相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（

）

A．

B．

C．

D．

7、函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．

8、设，则多项式的常数项（

）A．

B．

C．

D．

9、曲线在点（1,）处的切线与坐标轴围成的三角面积为

（

）A．

B．

C．

D．

10、的值为A．0

B．

C．2

D．4

11、如图，函数y=与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（

）

A．1

B．

C．

D．2

12、设下列关系式成立的是

（

）A．

B．

C．

D．

13、设，则的值为（

）A．

B．

C．

D．

14、A．

B．

C．

D．

15、若S1＝dx，S2＝dx，S3＝dx，则S1，S2，S3的大小关系为(

)A．S1＜S2＜S3

B．S2＜S1＜S3

C．S2＜S3＜S1

D．S3＜S2＜S116、由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（

）A．

B．4

C．

D．6

17、下列等于1的积分是

（

）

A．

B．

C．

D．18、下列计算错误的是

（）A．

B．

C．

D．19、由曲线所围成的封闭图形的面积为A．

B．

C．

D．

20、如图，阴影部分的面积是(

)

A．2

B．2－

C．

D．

21、由曲线围成的封闭图形面积为

（

）A．

B．

C．

D．

22、定积分的值为，则（

）A．

B．

C．

D．

23、的值为

A．0

B．1

C．

D．2

24、函数与的图象所围成的封闭图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．

25、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为________．26、随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角不大于的概率是________________．27、若，则从小到大的顺序为

.28、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为

.29、直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为

.30、由直线，曲线及轴所围成的图形的面积是___________．31、函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形的面积等于__________．32、已知在区间上，，，对轴上任意两点,

都有.

若,

,,则的大小关系为_________．33、若一组数据的中位数为，则直线与曲线围成图形的面积为

.34、．给出下列命题：

①已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；

②在进制计算中，

；

③若，且，则；

④“”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；

⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是

个。35、已知（为自然对数的底数），函数，则__________.36、如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数的图象，则该质点运动的总路程

厘米．37、设函数，若，则

．

38、如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.

（1）求等待开垦土地的面积；

（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.

39、已知二次函数，直线，直线（其中为常数），若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示.

（1）求的值；

（2）求阴影面积关于的函数的解析式.40、已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.

（1）求的解析式；

（2）若常数，求函数在区间上的最大值.41、已知．

（Ⅰ）若在处的切线方程为，求与

的值；

（Ⅱ）求．42、（1）求定积分的值；

（2）若复数且为纯虚数，求.43、给定可导函数，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“平均值点”.

(1)函数在区间上的平均值点为；

(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”，则实数的取值范围是.44、已知二次函数，直线，直线（其中为常数），若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示.

（1）求的值；

（2）求阴影面积关于的函数的解析式.45、如图，已知二次函数的图像过点和，直线，直线（其中，为常数）；若直线与函数的图像以及直线与函数以及的图像所围成的封闭图形如阴影所示.

（1）求；

（2）求阴影面积关于的函数的解析式；

（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

46、已知．

（1）求的单调区间；

（2）求函数在上的最值．47、定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.

48、下列说法：（1）命题“”的否定是“”；

（2）关于的不等式恒成立，则的取值范围是；

（3）对于函数，则有当时，，使得函数

在上有三个零点；

(4）

（5）已知，且是常数，又的最小值是，则7.其中正确的个数是

.49、如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线

与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．

(1)求、及数列的通项公式；(2)设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；(3)在满足(2)的条件下,若数列的前项和为，求证：N.

参考答案1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、B8、D9、A10、C11、B12、A13、14、A15、B16、A17、C18、D19、B20、C21、A22、C23、A24、C25、-3．26、27、28、29、30、．31、32、33、

34、435、736、1137、38、（1）;（2）点C的坐标为.39、（1）（2）40、（1）（2）详见解析.41、（Ⅰ），；（Ⅱ）.42、（1）；（2）．43、(1)1；(2)44、（1）（2）45、（1）；（2）；（3）.46、（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）在上的最大值是，最小值是.47、948、449、(1)，，；(2)；(3)见解析.【解析】1、试题分析：

的范围为.所以，选A.

考点：定积分.2、

，

，因此

，项的系数为，选C.3、试题分析：原式等于，故选C.

考点：定积分4、试题分析：∵，则多项式

，故它的常数项为，故选：A．

考点：1.二项式系数的性质；2.定积分．5、试题分析：由直线，曲线及轴所围图形为下图中的曲边梯形ABCD，其面积为，故选C．

考点：定积分求面积．6、试题分析：函数与的交点为，则闭合图形的面积为

考点：定积分7、试题分析：

根据定积分的面积计算当时，与轴所围成的面积就是正方形的面积，减四分之一个圆的面积，即，当时，，当时，，面积相加等于.故选B.

考点：1.分段函数；2.定积分的面积计算.8、试题分析：，多项式等于，常数项为，故选D.

考点：1.定积分的计算；2.二项式定理指定项的求法.9、试题分析：，当时，，所以切线方程是，当时，，当时，,所以，都选

考点：1．导数的几何意义；2．截距10、试题分析：根据定积分的计算公式，原式.

考点：定积分的计算11、试题分析：，选B．

考点：定积分的应用．12、试题分析：

,．

．所以．故A正确．

考点：1定积分;2三角函数值．13、试题分析：由已知得：

，

令，得：，知：曲线是以坐标原点为圆心，1为半径的圆处在x轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知：

，

又，

故选A．

考点：定积分．14、试题分析：由题，因为函数为奇函数，为偶函数，故

考点：定积分15、S1＝dx＝x3＝×23－＝，S2＝dx＝lnx＝ln2，S3＝dx＝ex＝e2－e＝e(e－1)，ln2＜lne＝1，且＜2.5＜e(e－1)，所以ln2＜＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.16、解：根据定积分的定义，则可知由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为17、略18、略19、本题考查定积分的几何意义、定积分的计算。

由定积分的几何意义，几何图形，曲线所围成的封闭图形的面积。

20、试题分析：直线与抛物线，解得交点为和，抛物线与轴负半轴交点，设阴影部分的面积为，故选C.

考点：定积分求解曲边形的面积.

【方法点晴】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，体现了定积分的应用，解答中要注意分割，关键是要注意在轴下方的部分的定积分为负（定积分的几何意义强调代数和）属于基础题，解答中正确找到倍积函数，写出定积分式是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.21、考点：定积分在求面积中的应用．

分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2-x3）dx即可．

解：由题意得：所求封闭图形的面积为

∫01（x2-x3）dx═（x3-x4）|01

=×1-×1=，

故答案为：A．22、略23、略24、由得，，作出函数的图象，则所求封闭图形的面积为．25、试题分析：，由题意，，，易知，，所以．

考点：导数的几何意义，定积分的几何意义．26、所求概率为几何概型，测度为面积，区域面积为

，坐标原点与该点连线的倾斜角不大于的面积为

，所以概率为

27、试题分析：由题意得，，，，所以．

考点：定积分的计算．28、试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，直线与曲线所围图形的面积

而

∴曲边梯形的面积是．

考点：定积分29、试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为，曲线与直线在第一象限所围成饿图形的面积是，即围成的封闭图形的面积为．

考点：利用定积分求解曲边形的面积.30、试题分析：．

考点：1、定积分的应用；2、微积分基本定理．31、因为，所以，，则函数在点(1，2)处的切线为，即，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为.

32、试题分析：数形结合法，由已知可知f（x）的图象在过点A（a，f（a））和B（b，f（b））的直线的上方，过A点和B点做垂直于x轴的直线分别交x轴于C、D两点，过点A做直线BD的垂线交BD于点E，从而有为f（x）的图象与x=a、x=b、x轴围成的曲多边形的面积，而为直角梯形ABDC的面积，为矩形ACDE的面积，由图象可知.

考点：定积分的几何意义33、试题分析：由中位数的定义知，即，由微积分基本定理可知该直线与曲线围成图形的面积为。

考点：（1）中位数的定义及求法；（2）由微积分基本定理求定积分。34、试题分析：①由线性回归方程的意义可得结论正确；②，正确③由正态分布函数的性质可知正确；④由定积分的知识得：a=，所以根据周期公式知T=4，正确；⑤根据函数f（x）在单调递增和是一个奇函数，然后进行整体运算.

考点：（1）线性回归方程；（2）正态分布函数；（3）定积分；（4）函数的性质.35、试题分析：因为=，，

所以，答案为7.

考点：定积分计算，分段函数，对数计算.36、略37、略38、试题分析：（1）由于等待开垦土地是由曲线与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C的坐标为(x，0)，然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，再利用导数求此函数的最大值即可．

试题解析：（1）由于曲线与x轴的交点坐标为（－１，0）和(１,0),所以所求面积S=，

故等待开垦土地的面积为

3分

（2）设点C的坐标为，则点B其中，

∴

5分

∴土地总价值

7分

由得

9分

并且当时，

故当时，y取得最大值.

12分

答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大.

13分

考点：1.定积分;2.函数的最值.39、试题分析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，可求得二次函数的解析式。（2）由（1）知，函数的解析式为

，求出二次函数与（其中为常数）的交点，所以阴影部分面积要分两段积分，分[0,1]和[1,2]积分可求得面积。

试题解析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，

则.

（2）由（1）知，函数的解析式为

，

由，所以，

因为，所以直线与的图象位于左侧的交点坐标为，

由定积分的几何意义知：

.40、（1）由得.，由得，

∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为，从而得，∴.

（2）由（1）知.的取值变化情况如下：2单调

递增极大值

单调

递减极小值

单调

递增又，所以①当时,；

②当时,

综上可知：当时,；

当时,

考点：导数与积分在几何中的应用.41、试题分析：

（Ⅰ）求出函数的的导函数；根据题意知，可解得，；

（Ⅱ）根据微积分的基本定理设，解得，，得

，从而求得．

试题解析：

解：．

（Ⅰ）依题意：，解得，；

（Ⅱ）设，则

，解得，，即

，

∴．

考点：导数的几何意义；微积分的基本定理.42、试题分析：（1）去掉绝对值，化简积分式，即可计算定积分的值；（2）化简，利用复数为纯虚数，得出，求出的值，利用复数模的公式计算即可．

试题解析：（1）∫﹣21|x2﹣2|dx=+

=+=

故定积分是

（2）===

∵这个复数是一个纯虚数，∴3a﹣8=0，∴a=，∴|z1|==

故复数的模长是

考点：定积分的计算；复数的运算及复数的定义．43、试题分析：由“平均值点”的定义可得，存在，使得成立，

即有在区间[-2，2]上“平均值点”的个数为1．

由题设存在，使得，

所以在[-1,1]上有两解，问题转化为与直线有两个交点问题，因为直线横过，

结合图像不难得到.

考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系44、试题分析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，可求得二次函数的解析式。（2）由（1）知，函数的解析式为

，求出二次函数与（其中为常数）的交点，所以阴影部分面积要分两段积分，分[0,1]和[1,2]积分可求得面积。

试题解析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，

则.

（2）由（1）知，函数的解析式为

，

由，所以，

因为，所以直线与的图象位于左侧的交点坐标为，

由定积分的几何意义知：

.45、试题分析：（1）根据二次函数的图像过点和，法一：可以直接将点代入得到，进而求解即可；法二：由二次函数的图像过点，可设（两根式），进而再将代入可求出的值，最后写出函数的解析式即可；（2）先求出直线与函数的图像的交点坐标，进而根据定积分的几何意义即可求出；（3）先由条件判断点不在曲线上，于是设出切点，进而求出切线的斜率，一方面为，另一方面，于是得到等式即，根据题意，关于的方程要有三个不相等的实根，设，转化为该函数的极大值大于零且极小值小于零，最后根据函数的极值与导数关系进行求解运算即可求出的取值范围.

(1)二次函数的图像过点，则，又因为图像过点

∴

3分

∴函数的解析式为

4分

(2)由得，

∴直线与的图像的交点横坐标分别为，

6分

由定积分的几何意义知：

8分

（3）∵曲线方程为，

∴点不在曲线上，设切点为，则，且

所以切线的斜率为，整理得

10分

∵过点可作曲线的三条切线，∴关于方程有三个实根

设，则，由得

∵当时，在在上单调递增

∵当时，在上单调递减

∴函数的极值点为

12分

∴关于当成有三个实根的充要条件是

解得，故所求的实数的取值范围是

14分.

考点：1.二次函数的图像与性质；2.定积分的应用；3.导数的几何意义；4.函数的极值与导数.46、试题分析：（1）先根据导数公式，确定，进而计算出，然后通过求导，求解不等式、并结合函数的定义域，即可得到的单调区间；（2）根据（1）的单调性，分别求出在区间的极值、端点值，然后进行比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值，问题就得以解决.

试题解析：依题意得，，定义域是．

（1）

令，得或

令，得

由于定义域是

函数的单调递增区间是，单调递减区间是

（2）令，从中解得（舍去），

由于

在上的最大值是，最小值是.

考点：1.定积分的计算；2.函数的单调性与导数；3.函数的最值与导数.47、因为F(x,y)=(1+x)y,