高数答案下习题册答案-第六版-下册-同济大学数学系-编

高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编/高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编第八章多元函数的微分法与其应用§1多元函数概念一、设.二、求下列函数的定义域：1、2、三、求下列极限：1、（0）2、()四、证明极限不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数在整个xoy面上连续。证明：当时，。当时，，所以函数在（0，0）也连续。所以函数在整个xoy面上连续。六、设且当y=0时，求f(x)与z的表达式.解：f(x)=，z§2偏导数1、设z=,验证证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与y轴正向夹角()3、设,求(1)4、设,求，，解：，5、设，证明:6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由连续；不存在，7、设函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求（2fx(a,b)）§3全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）2）解：3）解：3、设，求解：=4、设求：5、讨论函数在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：所以在（0，0）点处连续。，所以可微。§4多元复合函数的求导法则设，求解：=设，求设，可微，证明设，其中具有二阶连续偏导数，求，，解：,,=,设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求解：，设，，，求解：。7、设，且变换可把方程=0化为，其中具有二阶连续偏导数，求常数的值证明：得：a=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)§5隐函数的求导公式设，求解：令，设由方程确定，其中可微，证明设由方程所确定，其中可微，求设，求，(，)设由方程所确定，可微，求解：令，则6、设由方程所确定，求()7、设z=z(x,y)由方程所确定，求,,,§6微分法在几何中的应用求螺旋线在对应于处的切线与法平面方程解：切线方程为法平面方程求曲线在（3，4，5）处的切线与法平面方程解：切线方程为，法平面方程： 求曲面在（1，-1，2）处的切平面与法线方程解：切平面方程为与法线方程设可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令，则，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为证明：令，则在任一点处的切平面方程为在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t,总有k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明：两边对t求导，并令t=1设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：++=0此平面过原点（0，0，0）§7方向导数与梯度设函数，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为,方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到最小值的方向为。求函数在（1，2，-1）处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向与最大方向导数的值。解：：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为求函数在（1，1，-1）处沿曲线在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。解：：，，该函数在点（1，1，-1）处的方向导数为，4、求函数在（1，1，-1）处的梯度。解：：，§8多元函数的极值与求法1、求函数的极值。答案：（，）极小值点2．求函数的极值答案：极小值3.函数在点（1，1）处取得极值，求常数a(-5)求函数在条件下的条件极值解：，极小值为欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽2米，高3米）在球面（）上求一点，使函数达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明有证明：令令，解得驻点。所以函数在处达到极大值。极大值为。即，令得。7、求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度解：，，长半轴，短半轴第八章自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数则[]A、存在；B、不存在；C、存在，且在(0,0)处不连续；D、存在，且在(0,0)处连续。2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[]A、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。3、函数在(0,0)点处[]A、极限值为1；B、极限值为-1；C、连续；D、无极限。4、在处，存在是函数在该点可微分的[]（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。5、点是函数的[]（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；（C）极大值点；（D）最大值点。6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]（A）；（B）；（C）；（D）7、(A);(B);(C);(D)二、填空题：（每题３分，共18分）1、（0）２、设，则（）３、设则(0)４、设，则在点处的全微分.５、曲线在点处的切线方程为()６、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为()三、计算题（每题6分）1、设，求的一阶偏导数，。2、设，求此函数在点处的全微分。并求该函数在该点处沿着从P到方向的方向导数(，)３、设具有各二阶连续偏导数，求解：４、设求和。不存在，故不存在，同理，也不存在。当时，有５、设由方程所确定，求()６、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求７、设确定函数，求。８、设，式中二阶可导，求解：记，则，类似地，有四、（１０分）试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。设三个正数为，则，记，令则由解出。五、证明题：（１０分）试证：曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中连续可导。证明：曲面在任一点处的切平面的法向量为定直线L的方向向量若为，则，即则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。重积分§1二重积分的概念与性质由二重积分的几何意义求二重积分的值其中D为：(=)设D为圆域若积分=，求a的值。解：=设D由圆求解：由于D的面积为,故=4、设D：，，比较,与的大小关系解：在D上，,故5、设f(t)连续，则由平面z=0，柱面和曲面所围的立体的体积，可用二重积分表示为6、根据二重积分的性质估计下列积分的值()7、设f(x,y)为有界闭区域D：上的连续函数，求解：利用积分中值定理与连续性有§2二重积分的计算法1、设，其中D是由抛物线与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（）A：B：C：D：2、设D是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为（）A：0B：C：D：13、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2与y=2所围成的区域，则二重积分为（）A：B：C：D：4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分为（）ABCD5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重积分为（）ABCD6、设D1是由ox轴、oy轴与直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分为（）ABCD7、.设f(x,y)为连续函数，则为()ABCD8、求，其中由x=2,y=x,xy=1所围成.()9、设I=,交换积分次序后I为：I==10、改变二次积分的次序：=11、设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},求的值解：=12设I=,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I()13、计算二重积分，其中D是圆域解：=14、计算二重积分，其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}解：=15、计算二重积分，D：解：=§3三重积分1、设是由x=0，y=0，z=0与x+2y+z=1所围成的空间有界域，则为()ABCD2、设是由曲面x2+y2=2z,与z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分表示为累次积分，I=（）ABCD3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分解：==24、设是由曲面z=xy,y=x,x=1与z=0所围成的空间区域，求(1/364)5、设是球域：，求(0)6、计算其中为：平面z=2与曲面所围成的区域()7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以与y=x2所围成的闭区域(2/27))8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求解：=§4重积分的应用1、(1)、由面积=2x,=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（）ABCD(2)、位于两圆与之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是()A(0,)B(0,)C(0,)D(0,)(3)、由抛物面和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）A()B()C()D()(4)、质量分布均匀(密度为)的立方体所占有空间区域:,该立方体到oz轴的转动惯量IZ=()ABCD2、求均匀上半球体(半径为R)的质心解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=故质心为(0,0,)4、曲面将球面分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s1,s2,s3,求s1:s2:s3解：5、求曲面包含在圆柱内部的那部分面积解：6、求圆柱体包含在抛物面和xoy平面之间那部分立体的体积解：第九章自测题一、选择题:（40分）1、=()ABCD.2、设为,当()时,.A1BCD3、设,其中由所围成,则=(B).AB;CD.4、设是由三个坐标面与平面=1所围成的空间区域,则=().ABCD.5、设是锥面与平面所围成的空间区域在第一卦限的部分,则=().ABCD.6、计算,围成的立体,则正确的为()和（）ABCD.7、曲面包含在圆柱内部的那部分面积()ABCD.8、由直线所围成的质量分布均匀(设面密度为)的平面薄板,关于轴的转动惯量=().ABCD二、计算下列二重积分:（20分）1、,其中是闭区域:()2、,其中是由直线与圆周,所围成的在第一象限内的闭区域.()3、,其中是闭区域:()4、,其中:.()三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:（15分）1、()2、()3、()四、计算下列三重积分:（15分）1、:抛物柱面所围成的区域()2、其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围()五、（5分）求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积.()六、（5分）设在上连续,试证:==第十章曲线积分与曲面积分§1对弧长的曲线积分1设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，A.0B.C.D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则=A.4B.2C.D.3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它的质量A.B.C.D.4．求其中L为由所围区域的整个边界解：5．其中L为双纽线解：原积分=6．其中L为原积分=7．其中L为球面与平面的交线解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=8、求均匀弧的重心坐标，，§2对坐标的曲线积分一、选择题1.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，A.0B.C.D.ABC都不对2．设为的正向，则A.0B.4C.2D.-23．为的正向，A.2B.-2C.0D.二、计算1．，其中由曲线从到方向解：2．其中是正向圆周曲线解：由奇偶对称性，：3．其中为从点到的有向线段解：方程：，三、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时四、空间每一点处有力，其大小与到轴的距离成反比，方向垂直指向轴，试求当质点沿圆周从点到时，力所作的功解：由已知五、将积分化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周解：，于是§3格林公式与其应用一、选择题1.若是上半椭圆取顺时针方向,则=A.0B.C..D2.设为的正向，则A．2B.-2C.0D.3.设为曲线的正向，则A．9B.-18C.-9D.0二、计算题1.设是圆取逆时针方向，则解：将方程代入被积函数在由格林公式得2．其中为点到的抛物线的弧段解：因故积分与路径无关，取3．求，为(1)(2)正方形边界的正向解：(1)直接用格林公式=0(2)设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为所以4、验证在面上是某函数的全微分，求出解：，，5、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算的值解：取路径：沿从到；再沿从到则或§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分解：2、求曲面积分，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面解：=23、求曲面积分，其中是锥面被柱面所截得的有限部分解：==§5对坐标的曲面积分一、选择题1.设关于面对称反向，是在面的前侧部分，若关于为偶函数，则（） A.0B.C.D.ABC都不对2.设取上侧,则下述积分不等于零的是（）ABCD3.设为球面取外侧,为其上半球面,则有（）A.B.C.D.0二、计算1．其中由与三个坐标面所围成闭曲面的外侧2．其中为锥面被平面所截部分的外侧3.其中为被平面所截部分，其法向量与z轴成锐角三、用两类曲面积分之间的关系计算求其中是柱面在部分，是的外法线的方向余弦2．其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧=四、试求向量穿过由与与所围成圆台外侧面（不含上下底）的流量§6高斯公式1.设是抛物面介于与之间部分的下侧，求2．设为取外侧,求3.设为平面在第一卦限部分的上侧，则=4.求矢量场穿过曲面所围成的闭曲面外侧的通量5.求，其中有连续的二阶导数，是所围立体的外侧6.求，其中是与所围曲面的外侧7.，其中为取外侧§7斯托克斯公式1、设为依参数增大方向的椭圆：，求（0）2．设为平面与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求（2）3.设为圆周若从轴正向看依逆时针方向，则（）4、其中为圆周若从轴正向看依逆时针方向。5．,其中为曲线从轴正向看依逆时针方向。6．,其中为椭圆若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。第十章自测题一、填空（每题4分，共20分）1、设平面曲线为下半圆周，则曲线积分（）2、设为椭圆，其周长为,则(12)3、设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分（）4、设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则5、设为球面外侧，则曲面积分（0）二、选择题（每题5分，共15分）1、设是在第一卦限部分.则有A．B.C.D.2、设取上侧，则下述积分不正确的是A．B.C.D.3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分为（）A0B-1C2D–2三、计算（每题8分）1．计算曲面积分，其中为锥面在柱体内的部分2、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时3、计算曲线积分，其中是以为中心，为半径的圆周（取逆时针方向）解：设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为4、计算其中L是平面与柱面的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.（-24）5．计算曲面积分其中是曲面的上侧。（-）6．计算曲面积分其中S是由曲面与两平面围成立体表面的外侧（）7．设S是椭球面的上半部分，点,为S在点P处切平面,为点到切平面的距离,求（）四、（9分）在变力作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面第一卦限的点，问取何值时，力所作的功最大？求出的最大值。（第十一章无穷级数§1常数项级数的概念和性质1、设级数，则其和为（）A BCD2、若，则级数（）A收敛且和为0B收敛但和不一定为0C发散D可能收敛也可能发散3、若级数收敛于S，则级数（）A收敛于2SB收敛于2S+C收敛于2S-D发散4、若，,求的值解：所以5、若级数收敛，问数列{}是否有界解：由于，故收敛数列必有界。6、若，求级数的值解：故7、求的值解：故=8、求的和(§2常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性判定级数的敛散性解：由于<,而收敛，故收敛判定敛散性解：=故>,而级数发散，故发散判定敛散性收敛;1,发散判定敛散性(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性判定级数的敛散性解：>1,所以发散判定级数的敛散性解：，所以收敛7、收敛8、，收敛三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（绝对收敛）10、（条件收敛）四、判定是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛解：||，用比值判别法知,所以绝对收敛§3幂级数1、设幂级数在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（）A绝对收敛B条件收敛C发散D可能收敛也可能发散2、级数的收敛域（0，4]3、求幂级数的收敛半径（）4、若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛（绝对收敛）5、求幂级数的收敛域解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收敛域为（-7，-3）6、求幂级数的收敛域解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以收敛域为（-3，3]7、求幂级数的和函数（-1<x<1）8、求幂级数的和函数解：=（-1<x<-1）§4函数展开成幂级数将函数f(x)=展开成x的幂级数解：f(x)=由展开式可得f(x)=x将函数f(x)=展开成x的幂级数解：而=x两边积分得x3、将函数f(x)=展开成x的幂级数解：f(x)=4、将函数f(x)=展开成x-5的幂级数解：f(x)==x5、解：=x§5函数幂级数展开式的应用计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）解：在lnx的幂级数展开式中令x=2ln2=1-考虑误差范围可求得ln2计算定积分的进似值（要求误差不超过0.0001）解：==再考虑误差范围可求得计算积分的进似值，（要求误差不超过0.0001）再考虑误差范围可求得§7傅里叶级数设f(x)是周期为的周期函数，它在[-上的表达式为f(x)=试将f(x)展开成傅立叶级数解：b=再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式将函数展开成正弦级数将函数展开成正弦级数和余弦级数§8一般周期函数的傅立叶级数将f(x)=2+|x|(-1展开成以2为周期的傅立叶级数后求的值解：展开f(x)=代x=0得=+得将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的余弦级数解：f(x)=(0)将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、设f(x)=，S(x)=,其中=2求S(解：S(=S(==第十一章自测题一选择题:（40分）1、下列级数中,收敛的是().(A)；(B)；(C)；(D).2、下列级数中,收敛的是().(A)；(B)；(C)；(D).3、下列级数中,收敛的是()(A)；(B)；(C)；(D).4、部分和数列有界是正项级数收敛的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设为非零常数,则当()时,级数收敛.(A)；(B)；(C)；(D)6、幂级数的收敛区域是().(A)；(B)；(C)（0,2）(D)[0,2]7、是级数收敛的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件.8、幂级数的收敛区间是()(A)；(B)；(C)；(D).（8分）判别下列级数的收敛性1、；2、三、（6分）判别级数的敛散性.四、（6分）求极限.五（8分）求下列幂级数的收敛区间:1、；2、.六（6分）求幂级数的和函数.七（6分）求数项级数的和.八（6分）试将函数展开成.九（6分）设是周期为的函数,它在上的表达式为将展开成傅立叶级数.十（8分）将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.自测题答案一、1、B；2、B；3、C；4、C；5、D；6、A；7、B；8、B.二、1、发散；2、收敛.三、条件收敛.四、.(提示:化成)五、1、；2、.六、.七、.八、九、().十、.第十二章微分方程§1微分方程的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（）的解。A.(x-2y)y=2-xyB.(x-2y)y=2x-yC.(x-2)dx=(2-xy)dyD.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C2(C为任意常数)所满足的微分方程（）A.y=xy+y2B.y=Cx+y2C.xy+y2=CD.y=xy+y3如函数满足初始条件：y=(C1+C2x)e2x,y|x=0=0,y|x==1，则C1,C2的值为（）A.C1=0,C2=1B.C1=1,C2=0C.C1=,C2=0D.C1=0,C2=4.微分方程y=写成以y为自变量，x为函数的形式为（）A.B.C.x=2x-yD.y=2x-y5.已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2)y|x==1,y|x==0,确定C1,C2解：y=C1sin(x-C2),y=C1cos(x-C2)代入y|x==1,y|x==0得C1=1,C2=2k+6.设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则整理可得：eq\o\ac(○,1)而有eq\o\ac(○,2)其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。将eq\o\ac(○,2)代入eq\o\ac(○,1)得：初始条件：y(-1)=0,y(-1)=1§2可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（）A.可分离变量的微分方程B.一阶微分方程的对称形式。C.不是微分方程D.不能变成2、方程xy-ylny=0的通解为（）Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C3、方程满足初始条件：y=e2x-y,y|x=0=0的特解为（）A.ey=e2x+1B.C.y=lne2x+1-ln2D.ey=e2x+C4、已知y=y(x)在任一点x处的增量，且当x0时，是x的高阶无穷小，y(0)=,则y(1)=()A.2B.C.D.5、求特解cosxsinydy=cosysinxdx，y|x=0=解：分离变量为tanydy=tanxdx即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCcosy=ccosx代入初始条件：y|x=0=得：特解为：cosy=cosx6、求微分方程满足y(0)=的特解。解：由得：积分得：代入初始条件：y(0)=，得C=-27、求微分方程满足y(0)=0的特解8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得：又v(0)=v0=400.解得C=可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知即：e0.2k=400kT+1(*)由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即§3齐次方程1.(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（）A.y2=x2(2ln|x|+C)B.y=x(2ln|x|+C)C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C2.,y|x=1=2，则特解为（）A.y2=2x2(lnx+C)B.y2=2x2(lnx+2)C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+23.的通解为（）A.x=2y+CB.C.D.以上都不对4、求yx2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。解：，则解得：5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解解：可得解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y6、求初值问题的解解：原方程化为令y=xu这里可得：将y|x=1=0代入的特解为或7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y(X-x)又得整理得：解得：得通解六、求的解。解：令u=x+2y，则u=1+2y'2u-lnu=4x+C2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C§4一阶线性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（）A.B.C.D.2、微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=的解为（）A.B.C.D.3、y+y=y2(cosx-sinx)的通解为（）A.y=Cex-sinxB.=Cex-sinxC.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C4、求通解解：，令得即2.xdy-ydx=y2eydy解：整理得5、求通解xdy-ydx=y2eydy解：整理得6、求初值问题的解y(x)，其中a是常数，f(x)是连续函数解：7、求微分方程ycosy-cosxsin2y=siny的解。（提示令z=siny）解：设z=siny，则方程化为z-z=z2cosx，是伯努利方程令u=z-1得u+u=-cosx从而得8、设环境保持恒定温度20C，有一个物体在10秒内从温度100C降到60C，问此物体从100C解：设物体在时刻t的温度为u(t)，则u+ku=20k解得,需40秒。9、已知连续函数f(x)满足方程，求f(x)解：原方程两边对x求导数f(x)=3f(x)+2e2xf(x)-3f(x)=2e2x解得：f(x)=Ce3x-2e2x又f(0)=1，所以C=3f(x)=3e3x-2e2x§5全微分方程1.下面方程中不是全微分方程的是（）A.(3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0B.eydx+(xey-2y)dy=0C.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0D.y(x-2y)dx-x2dy=02、设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()A.B.C.D.3、设函数(x)具有二阶连续导数，且(0)=(0)=0，并已知y(x)dx+(sinx-(x))dy=0是一个全微分方程，则(x)=()A.B.C.x2exD.4、若(x)是连续函数，且(0)=1，并设曲线积分与路径无关，则A=()A.B.C.D.5、判别下列方程的类型并求其通解（1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程通解为（2）(1+e2)d+2e2d=0解：是全微分方程d(+e2)=0通解为+e2=C6、若f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,，求解：对任意闭曲线L有，知由此得f(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-27、若(x)是连续函数，且(0)=1，并设曲线积分与路径无关，求A解：曲线积分与路径无关，得(x)=-(x)tanx解得(x)=Ccosx,又因为(0)=1得C=1所以(x)=cosx§6可降阶的高阶微分方程1、yy+y2=0满足初始条件y|x=0=1，y|x=0=的特解为（）A.y2=x+CB.C.D.y2=C1x+C22、方程xy=ylny的通解为（）A.B.C.D.以上都不对3、(1)求y=y+x的通解解：令y=p得p-p=xp=-x-1+C1ex(2)求xy+y=0的通解解：令y=p，则xp+p=0得y=C1lnx+C24、求下列方程所满足初始条件的特解(1)yy+(y)2=0,y(0)=1,y'(0)=解：由yy+(y)2=0得(yy)=0,yy=C1又y(0)=1,y'(0)=得C1=y2=x+C2代入初始条件得C2=1，y2=x+1(2)y3y+y=0解：令y=p，则xp+p=0解得y=C1lnx+C25、求y2y+1=0的积分曲线方程，使其通过点且在该点处切线的斜率为2解:y2y+1=0,y|x=0=,y|x=0=2令y=p，，方程化为解得：，由y|x=0=,y|x=0=2得C1=0解得6、设在x>-1时所定义的可微函数y(x)满足，与y(0)=1，求y(x)解：原方程化为(x+1)(y(x)+y(x))=令y(x)=p则有解得：ln|p|=-(x+ln|x+1|)+C由y(0)=-y(0)=-1,p|x=0=-1得C=0§7高阶线性微分方程1、证明：是方程y-3y+2y=e5x的通解2、已知二阶线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求方程满足初始条件y(0)=1,y(0)=3的特解。解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：ex-x,e2x-x，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).由y(0)=1，y(0)=3代入得：C1=-1,C2=2所以特解为y=2e2x-ex§8常系数齐次线性微分方程设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为（）A.y+2y+y=0B.y-2y+2y=0C.y-2y=0D.y+y=02、设y1=excos2x,y2=exsin2x都是方程y+py+qy=0的解，则（）A.p=2,q=5,B.p=-2,q=5C.p=-3,q=2D.p=2,q=23、设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2=-1,r3,4=i，则此方程通解为（）A.y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinxB.y=C1e-x+C2cosx+C3sinxC.y=C1e-x+C2cosx+C3xsinxD.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx4、求下列微分方程的通解(1)y-4y+13y=0解：r2-4r+13=0r1,2=23iy=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(2)y+25y=0解：r2+25=0r=5iy=C1cos5x+C2sin5x(3)解：r2+2r+1=0r1,2=-1y=(C1+C2t)e-t(4)y(4)-2y+5y=0解：r4-2r3+5r2=0r1,2=0,r3,4=12iy=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)5、求下列初值问题的特解y+(1+2)y+12y=0(12且为实数)满足y(0)=0,y(0)=1解：r2+(1+2)r+12=0r1=1r2=2通解为由y(0)=0,y(0)=1得：6、一单位质点受一力的作用沿x轴作直线运动，该力与M点到原点O的距离成正比（比例系数为4），介质的阻力与运动速度成正比（比例系数为3），求该质点的运动规律，设开始时质点静止并且距原点1cm§9常系数非齐次线性微分方程1.、方程y+16y=sin(4x+a)(a为常数）的特解形式为y*=()A.Acos4x+Bsin4xB.x(Acos4x+Bsin4x)C.Acos4x-Bsin4xD.x2(Acos4x-Bsin4x)2.、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)=f(x)的特解，则函数y=(1-C1-C2)y1+C1y2+C2y3()（C1,C2为任意常数）A.是所给方程通解B.不是方程的解C.是所给方程的特解D.可能是方程的通解，但一定不是其特解。3、方程y-2y=xe2x的特解具有形式（）A.y*=Axe2xB.y*=(Ax+B)e2xC.y*=x(Ax+B)e2xD.y*=x2(Ax+B)e2x4.求解微分方程y+2y+2y=e-xsinx解：对应的齐次方程：y+2y+2y=0特征方程r2+2r+2=0r1,2=-1i齐次方程通解为：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)由于i=-1i是特征方程的根，设y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=,B=0即y*=xe-xcosx原方程通解为y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx)xe-xcosx5.求解初值问题y+9y=cosx,解：由y+9y=0得：r1,2=3i所以齐次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x由于i=i不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=,B=0，即Y=cosx通解为y=C1cos3x+C2sin3x+cosx由初始条件得特解6.求特解：y-y=4xex，y|x=0=0,y|x=0=1解：r2-1=0r1,2=1，所以y-y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x因=1是特征方程的单根，设y*=xex(Ax+B)是原方程的一个特解，代入原方程得：A=1,B=-1即y*=ex(x2-x)原方程的通解为：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x)代入初始条件得：C1=1,C2=-1所求特解为：y=ex(x2-x+1)-e-x7.求y-4y=e2x的通解8、证明：是方程y-9y=9的解，但不是其通解，C1,C2为任意常数证明：代入方程使方程成立，是方程的解。又因为只有一个常数。所以不是方程的通解。9、证明方程y+y=f(x)(其中f(x)连续)的通解为y=C1cosx+C2sinx+,C1,C2为常数证明：有2+1=0=1.故齐方程通解为Y=C1cosx+C2sinx记则所以y*+y*=f(x)，即y*是其一个特解。由解的结构定理：y==Y+y*=C1cosx+C2sinx+10、设，其中f(x)有连续的二阶导数，并且满足：，试求函数f(x)(f(x)=)第十二章自测题一、选择题(36=18分)1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是()A.线性非齐次方程B.可分离变量方程C.线性齐次方程D.伯努利方程2.微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为()A.y=x(C-ex)B.y=x(C+ex)C.x=y(C+ey)D.x=y(C-ey)3.由x2-xy+y2=C确定的隐函数满足的微分方程是()A.(x-2y)y=2x-yB.(x-2y)y=2xC.-2yy=2x-yD.xy=2x-y4.微分方程y-2y=xe2xA.y*=(Ax+B)e2xB.y*=Axe2xC.y*=Ax2e2xD.y*=x(Ax+b)e2x5.已知y1,y2,y3为方程y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，C1,C2,C3均为任意常数，则该方程的通解为()A.C1y1+C2y2