湖南省长沙市师大附属中学2022年高二数学文期末试题含解析

湖南省长沙市师大附属中学2022年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论，则其中正确的结论的个数有（）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可能是异面直线，所以不正确；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行，满足直线与平面垂直的性质定理，正确；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行，满足直线与平面垂直的性质定理，正确；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行，也可能相交，所以不正确；故选：C．2.在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则=+；类比此性质，如图，在四面体P﹣ABC中，若PA，PB，PC两两相垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为（）A．=++

B．=++C．=++ D．=++参考答案：B【考点】F3：类比推理．【分析】直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做垂线，垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似．【解答】解：由平面类比到空间，是常见的一种类比形式，直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做垂线，垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似：=++，故选：B【点评】本题考查类比推理，是一个平面图形与空间图形之间的类比，注意两个图形中的条件的相似的地方．3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选B．4.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D5.设实数满足，则的取值范围是（

）A．]

B．

C．

D．参考答案：C6.已定义在R上的函数f(x)无极值点，且对任意都有，若函数在[－1,2]上与f(x)具有相同的单调性，则实数k的取值范围为（

）A.(－∞,0] B.(－∞,12] C.[0,+∞) D.[1,+∞)参考答案：A分析：易得函数是单调函数，令，则，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可．详解：∵定义在上的函数的导函数无零点，∴函数是单调函数，

令，则，在]恒成立，故在递增，

结合题意在上递增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故选：A．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．8.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是(

）A.

B.1或–2

C.1或 D.1参考答案：D

9.从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A.24 B.27 C.30 D.36参考答案：C【分析】分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可.【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有个奇数，第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有个奇数，综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个，故选C．【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10.已知数列{an}的通项公式为(n∈N*),若前n项和为9,则项数n为(

)A.99

B.100

C.101

D.102参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．参考答案：略12.已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的两根，则a7+a8+a9+a10+a11=

．参考答案：15【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a3+a15=6，再由等差数列的性质可得a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，由此求得要求式子的值．【解答】解：由题意可得a3+a15=6，又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，∴a7+a8+a9+a10+a11=（2+）（a3+a15）=×6=15，故答案为15．【点评】本题主要考查一元二次方程等于系数的关系，等差数列的定义和性质的应用，属于中档题．13.若满足

．参考答案：－2则，据此可得：.

14.已知中，AB=4，AC=5，且的面积等于5，则=

．参考答案：或

15.投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为______.参考答案：【分析】计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数后可得所求的概率.【详解】记为“投掷两个骰子，向上的点数之和为12”，则投掷两个骰子，向上的点数共有种，而投掷两个骰子，向上的点数之和为只有1种，故，故填.【点睛】古典概型的概率计算，关键在于基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，可用枚举法或排列组合的知识来计算，注意基本事件要符合等可能这个要求.16.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是

参考答案：(—,)17.某同学在研究函数的性质时，得到如下的结论：①的单调递减区间是；②无最小值，无最大值；③的图象与它在（0，0）处切线有两个交点；④的图象与直线有两个交点．其中正确结论的序号是

.参考答案：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，直线与曲线切于点，且与曲线切于点.

（Ⅰ）求，的值和直线的方程；

（Ⅱ）证明：参考答案：见解析：（Ⅰ），，

则，，又，.

则曲线在点处的切线方程为；

曲线在点处的切线方程为，即，

则，直线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

设，则，由，可得，当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，所以设，则，当且仅当时等号成立.由上可知，，且两个等号不同时成立，故.19.在平面直角坐标系中，已知（－3，0）（3，0）P（x，y）M（，0），若向量满足（1）

求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；（2）

过点且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x＝－9上找一点C，使为正三角形。参考答案：解：（1）由已知可得----------2’-------------4’即P点的轨迹方程是即，故P点的轨迹是与6为长轴，2为焦距的椭圆---------6’（只答椭圆的扣1分）（2）过点且斜率为1的直线方程为y＝x＋3---------7’由得-----------10’从而------------11’设C（－9，y），-----------12’因为是正三角形，，即，无解，---------13’所以在直线x＝-9上找不到点C，使是正三角形。-----略20.（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能证明PA⊥平面ABC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角．（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…∴D（），=（﹣）．…平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）记BD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ==，…（7分）∴，∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣）．

…（11分）记二面角D﹣AB﹣C的大小为α，则cosα==，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。参考答案：(1).(2)当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.分析】设包装盒的高为，底面边长为，（1）中，求得，根据二次函数的性质，即可求解.（2）中，求得容积，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设包装盒的高为，底面边长为.由已知得，，.（1），所以当时，取得最大值.（2）由题意，可得，则.由得（舍去）或.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，此时.即当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.【点睛】本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，列出函数的解析