数学（选修12）练习4.3列联表独立性分析案例活页作业3

活页作业(三)列联表独立性分析案例1．对于分类变量X与Y的统计量χ2的值说法正确的是()A．χ2越大，“X与Y有关系”的把握性越小B．χ2越小，“X与Y有关系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X与Y无关系”的把握性越小D．χ2越接近于0，“X与Y无关系”的把握性越大解析χ2越大，X与Y越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．答案：B2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强()A．eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d) B．eq\f(a,c＋d)与eq\f(c,a＋b)C．eq\f(a,a＋d)与eq\f(c,b＋c) D．eq\f(a,b＋d)与eq\f(c,a＋c)解析eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系越强．答案：A3．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是()A．判断模型的拟合效果B．对两个变量进行相关分析C．给出两个分类变量有关系的可靠程度D．估计预报变量的平均值解析独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度．答案：C4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据计算得到χ2≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(已知当χ2＞7.879时，有99.5%的把握判定两个变量有关联)()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析χ2≈9.643＞7.879，P(χ2≈9.643＞7.879)＝0.005.∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．答案：D5．已知某校文理科教师与性别的列联表如下：文理性别理科文科总计男3785122女35143178总计72228300由表中的数据计算χ2的值约为________.(精确到0.0001)解析χ2＝eq\f(300×37×143－85×352,122×178×72×228)≈4.5139.答案：4.51396．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________.解析∵χ2＝8.01＞6.635，∴有99%的把握说学生性别与喜欢乡村音乐有关系．答案：99%7．某次全国性会议在北京召开．为了做好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：会俄语不会俄语总计男女总计30(2)能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？解(1)对应的2×2列联表如下：会俄语不会俄语总计男10616女6814总计161430(2)假设：是否会俄语与性别无关，由已知数据得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×16×14)≈1.1575＜2.706.∴不能在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关．8．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析．(1)按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图(图1)记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70,90)的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分布直方图(图2)．分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频率(2)为了考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩进行比较，得到统计数据如下表：物理成绩优秀物理成绩一般合计数学成绩优秀15318数学成绩一般51722合计202040能够有多大的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系？(已知当χ2＞10.828时，有99.9%的把握判定两个变量有关联)解(1)填表如下：分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频率0.10.20.40.20.1画图如下：(2)假设学生的物理成绩优秀与数学成绩优秀没有关系，则χ2＝eq\f(40×15×17－5×32,20×20×22×18)≈14.55＞10.828.∴有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系．1．两个分类变量X和Y的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于(已知当χ2＞5.024时，则有97.5%的把握认为变量X与Y有关系)()A．3 B．4C．5 D．6解析χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)＞5.024，把选项A，B，C，D代入验证可知选A．答案：A2．在打鼾与患心脏病之间的关系研究中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中，至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．在100个心脏病患者中，一定有打鼾的人D．在100个心脏病患者中，可能1个打鼾的都没有解析由题意知，“打鼾与患心脏病有关”的结论有99%以上的把握正确，而不是心脏病患者打鼾的概率为99%，故选D．答案：D3．独立性检验中，若两个分类变量“X和Y有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________________.解析当χ2＞3.841时，有95%的把握判定X与Y有关系，当χ2＞6.635时，有99%的把握判定X与Y有关系，∴3.841＜χ2≤6.635.答案：(3.841,6.635]4．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其中2×2列联表如下：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d下列各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为________.(填序号)①a＝5，b＝4，c＝3，d＝2；②a＝5，b＝3，c＝4，d＝2；③a＝2，b＝3，c＝4，d＝5；④a＝2，b＝3，c＝5，d＝4.解析四个选项中a＋b＋c＋d的值与(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)的值分别相等，则由χ2的计算公式，可知只需计算(ad－bc)2.经计算，知其值最大的一组是④.答案：④5．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，统计结果如下表：API空气质量天数[0,50]优4(50,100]良13(100,150]轻微污染18(150,200]轻度污染30(200,250]中度污染9(250,300]中度重污染11＞300重度污染15(1)某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(00≤ω≤100，,4ω－400100＜ω≤300，,2000ω＞300.))试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计100解(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39.∴P(A)＝eq\f(39,100).(2)根据已知数据得到如下列联表：非重度污染重度污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100χ2＝eq\f(100×22×7－63×82,85×15×30×70)≈4.575＞3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．6．目前，在“互联网＋”和“大数据”浪潮的推动下，在线教育平台如雨后春笋般蓬勃发展，与此同时，很多学生家长和相关专家对在线教学也产生了质疑，主要原因就是对在线教学，学生是否能认真听讲存在疑虑．在这种情况下，某市教育主管部门在该市各中小学采用分层抽样的方式抽出15周岁以下和15周岁以上各200人进行调查研究，其中15周岁以下的能认真听讲的有150人，不能做到认真听讲的有50人，15周岁以上的170人能认真听讲，不能做到认真听讲的有30人．(1)完成下列2×2列联表：不认真听讲能认真听讲总计15周岁以下15周岁以上总计(2)请说明是否有97.5%的把握认为能否认真听讲与年龄有关．(已知当χ2＞5.024时，有97.5%的把握判定两个变量有关联)(3)现用分层抽样的方法，从15周岁以下的人中抽取8人，在这8人中任取2人进行座谈，求抽到的人中至少有1人能认真听讲的概率．解(1)填表如下：不认真听讲能认真听讲总计15周岁以下5015020015周岁以上30170200总计80320400(2)根据题中的数据计算，得χ2＝eq\f(400×50×170－30×1502,80×320×200×200)＝6.25.因为6.25＞5.024，所以有97.5%的把握认为能否认真听讲与年龄有关．(3)由题意可知，从15周岁以下抽8人，其中能认真听讲的为6人，不能认真听讲的为2人．设能认真听讲的人为a1，a2，a3，a4，a5，a6，不能认真听讲的人为b1，b2，于是，在8人中任意抽取2人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a4，a5)，(a