第二章标量衍射理论

第二章标量衍射理论2－1慧更斯-菲涅耳原理光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。光是一种电磁波，光波的衍射问题应该通过麦克斯韦的电磁理论来求解。但是这种求解过程相当复杂，且多数不能获得解析解。现代的光学教材多使用惠更斯－菲涅耳－基尔霍夫标量场理论。标量场理论的适用范围:①衍射孔径比照明光波波长大的多。②观察点较远。标量衍射理论的核心问题：用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一点的复振幅分布，如果边界面上复振幅分布相同，即使光的偏振方向不同，所得结果应该是一样的。惠更斯原理：1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，也可以说明衍射的存在；但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯－菲涅耳原理。惠更斯--菲涅耳原理波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。s0为点波源，S为从S0发出的球面波在某时刻到达的波面，P0为波场中的某个点。要问，波在P0点引起的振动如何？S0P0SP1dSrθS0P0SdSP1dSrθ由惠更斯--菲涅耳原理，P0点的复振幅可表示为：1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳作的各项假设时，只凭朴素的直觉。2－2基尔霍夫衍射理论一.数学预备知识1.亥姆霍兹方程设标量函数u(P,t)表示在t时刻空间P点的光扰动，假设光的角频率为ω，则：其中U(P)是光波的复振幅。u(P,t)在每一个无源点上满足标量波动方程：拉普拉斯算子：将波函数u(P,t)代入波动方程：此方程叫做亥姆霍兹方程。在自由空间传播的单色光波，其复振幅都满足亥姆霍兹方程。2.格林定理设U(P)和G(P)是空间域的两个复函数，闭合曲面S包围的体积为V。若在S曲面内和S曲面上，U(P)和G(P)均单值、连续，并且具有单值连续的一阶、二阶偏导数，则有：3.基尔霍夫定理基尔霍夫的衍射理论建立在一个积分定理的基础上，这个积分定理把齐次波动方程在任一点的解用包围这一点的的任意曲面上的解及其一阶导数的的值来表示。P0S我们要用S曲面上的光扰动值表示在P0点的光扰动。应用格林定理，并选择由P0点向外发散的单位振幅球面波为辅助函数(自由空间格林函数)。于是，任意一点P1上基尔霍夫格林函数G为：P1令U(P)为单色光场的复振幅。格林定理要求函数U、G及其一阶、二阶偏导数在体积V内连续，但在P0点，函数G并不连续。为此，可以以P0为球心，以ε为半径做小球面Sε。P0SP1Sεε格林定理的积分区域改为S和Sε之间的体积V’，面积分的积分区域是复合曲面S’＝S＋Sε，曲面的正方向如图所示。V‘在区域V’内，G(P)是一个从P0点向外传播的球面波，显然满足亥姆霍兹方程：将U(P)和G(P)的亥姆霍兹方程代入格林定理表达式左端：所以格林定理表达式右端简化为：即：对于S上任一点P1：对于Sε上任一点P1：令ε任意小，利用U及其导数在P0点的连续性：这个结果就是基尔霍夫积分定理。意义：衍射光场中任意点P0的复振幅U(P0)可以用任意包围P0点的闭合曲面S上各点的复振幅U及其偏导数求得。二.平面屏幕衍射的基尔霍夫公式现在考虑无限大不透明屏幕上的一个小孔引起的衍射问题。P0S2S1RΣ由基尔霍夫积分定理：其中：对于S2曲面，于是S2面上的积分：其中Ω是S2对P0点所张的立体角。我们注意到：所以只要满足条件：此条件称为索末菲辐射条件。那么什么情况下函数U满足索末菲辐射条件呢？先就球面波进行检验，令：代入上式：这说明球面波函数U满足索末菲辐射条件。实际上，S2面上的仅仅是小孔出射的光波，总可以看成一系列球面波的线性组合，也就是说索末菲辐射条件总是被满足的。现在我们知道P0点的扰动可以由紧靠屏幕的无限大平面S1上的扰动及其法向导数来决定：屏幕上除了孔径Σ之外，都是不透明的，从直观上看，对积分有贡献的主要是来自S1面上位于Σ内的那些点。基尔霍夫假设：1在孔径Σ上，光场分布U及其导数与无屏幕时一样。2在S1面孔径Σ之外，光场分布U及其导数为零。这两条假设称为基尔霍夫边界条件。这样积分公式可写成：这两条假设都不是严格成立的。三.菲涅耳－基尔霍夫衍射公式对U(P0)的表达式进一步简化。观察点到孔径的距离通常远远大于光波长，因此U(P0)的表达式简化为：假设小孔是由位于点P2的单色点光源产生的球面波照明，P2和P1点的距离为r21，则：P0P2Σr21P1r01U(P0)的表达式化为：上式称为菲涅耳－基尔霍夫衍射公式。讨论：1.点光源的位置与观察点的位置是对称的。这一结论称为亥姆霍兹互易定理。2.与慧更斯－菲涅耳原理相比较(2-1-1式)：不难得到：从而看出：慧更斯－菲涅耳原理中的倾斜因子有了具体形式。常数C不是实数。这表明P1点上次波源的相位比入射波的相位超前90o最后，虽然公式是在点光源照明的情况下导出的，但是对于其他光源，公式也是适用的，因为复杂的光波总可以分解成若干球面波的线性组合。四.衍射公式与叠加积分令：并注意到：其中：回忆一下第一章学习的叠加积分(1-9-1式)：就是衍射系统的点扩展函数。2－3衍射规律的频域表达式通过傅立叶分析，孔径平面和观察平面上的光场都可以看作许多沿不同方向传播的单色平面波的线性组合。式中α、β分别是光波传播方向与x轴、y轴的夹角。空间任意点的光扰动，都可以通过这些“平面波”相移后叠加而得。1.衍射规律的频域描述角谱考虑如下情况：衍射屏处复振幅为U(x,y,0)，观察屏上复振幅分布为U(x,y,z)，为了方便，衍射屏和观察屏都使用了同一种坐标系。并且，由傅立叶逆变换：前面已指出因子表示传播方向余弦为的单色平面波。这些平面波的复振幅由(fx,fy)决定，因此称函数为U(x,y,z)的角谱。引入角谱可以帮助我们进一步理解复振幅分解的物理含义：单色光场中某一平面上的场分布可以看作沿不同方向传播的单色平面波的叠加，参与叠加的各平面波成分有自己的振幅和初位相，它们分别取决于角谱的模和辐角。2.角谱的传播（G0和Gz的关系）在无源点上，复振幅满足亥姆霍兹方程(2-2-4式)：将(2-3-1式)代入亥姆霍兹方程(2-2-4式)，得到Gz所满足的方程：注意到Gz仅仅是z的函数，求导，化简，得这是一个二阶线性齐次常微分方程，解之，舍去倒退波，得，代入边界条件，积分常数，最后得到方程的解：上式正是衍射角谱理论最重要的结果，它指出了角谱的传播规律。在确定了光场平面的角谱之后，可以通过傅立叶逆变换求出复振幅的分布，因此，上式是基尔霍夫衍射公式的频域表达式，和基尔霍夫衍射公式具有同等的价值。我们对上式进行讨论，以便理解其物理意义。这时cosγ是实数，表示各平面波分量传播一段距离仅仅是引入一定相移，而振幅、传播方向等不变。这时cosγ是虚数，式子可改写为：其中：μ是很大的正实数，表示各平面波分量随着传播距离迅速衰减，在几个波长范围内衰减为零，这些角谱分量叫做倏逝波。倏逝波不能带走能量。这时cosγ是0，γ是90o

，表示平面波分量传播方向垂直于z轴。3.传播作为一种线性空间滤波器再次考虑光从z＝0平面传播到另外一个与它平行、距离为z的平面。可以认为第一个平面上的复振幅为U(x,y,0)经过一个传播变换成一个新的复振幅分布U(x,y,z)。这种变换满足我们前面对系统的定义，而表征系统特征的传递函数为：“自由传播系统”存在传递函数，因此是线性空不变系统。当空间频率时，当空间频率时，“自由传播系统”实际上是一个低通滤波器。4.衍射